浙江省高考数学总复习 第8单元 第7节 抛物线课件 文 新人教A.ppt

第七节抛物线第七节抛物线 2021/8/8 星期日1基础梳理基础梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_2.抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)2021/8/8 星期日2标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)图形性质范围_准线方程x=_x=_焦点_对称轴关于_对称顶点_离心率e=_2021/8/8 星期日3标准方程x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形性质范围_准线方程y=_y=_焦点_对称轴关于_对称顶点_离心率e=_2021/8/8 星期日43.抛物线的焦半径、焦点弦(1)y2=2px(p 0)的焦半径|PF|=；x2=2py(p 0)的焦半径|PF|=.(2)过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径其长度为_(3)AB为抛物线y2=2px的焦点弦，则xAxB=p2/4，yAyB=-p2，|AB|=xA+xB+p.2021/8/8 星期日5答案：1.相等焦点准线2.x0，yR Rx0，yR R-F F x轴O(0,0)1y0，xR Ry0，xR R-F F y轴O(0,0)13.(2)2p2021/8/8 星期日6基础达标基础达标1.(教材改编题)抛物线y=x2的准线方程是()A.4y+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0 D.2x+1=02.(教材改编题)以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x3.(2010湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6C.8 D.122021/8/8 星期日74.连接抛物线x2=4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点 A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为()A.-1+B.3/2-C.1+D.3/2+5.(2010上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为_.答案：1.A解析：p=，准线方程为y=-=-，即4y+1=0.2.D解析：圆心为(1，-3)，设x2=2py，则p=-，即x2=-y；设y2=2px，则p=，即y2=9x.2021/8/8 星期日83.B解析：点P到y轴的距离为4，则到准线的距离为6，因此，点P到焦点的距离为6，选B.4.B解析：线段FM所在直线方程x+y=1与抛物线交于A(x0，y0)，则 y0=3-2 ，SOAM=*1*(3-2 )=-，选B.5.y2=8x解析：定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=4，所以其方程为y2=8x.2021/8/8 星期日9经典例题经典例题题型一抛物线的定义及应用题型一抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标解：将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=.2，点A位置如图设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义，知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PAl时，|PA|+d最小，最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，此时P点的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，即点P的坐标为(2,2)2021/8/8 星期日10变式变式1-11-1(2011广东东莞五校联考)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=()A.4 B.8 C.8 D.16答案：B解析：设A(-2，b)，则kAF=-，所以b=4 ，把(x,4 )代入y2=8x，得x=6，所以P(6,4 )，所以|PF|=6+2=8.2021/8/8 星期日11题型二抛物线的几何性质和标准方程题型二抛物线的几何性质和标准方程【例2】已知抛物线C的顶点在原点，焦点 F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求抛物线的方程 解：设抛物线的方程为y2=2px(p0)，其准线为x=-.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|+|BF|=8，所以x1+x2+=8，即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，所以由点Q到A、B两点距离相等易得(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为AB与x轴不垂直，所以x1 x2，故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4.从而抛物线方程为y2=8x.2021/8/8 星期日12变式2-1分别求满足下列条件的抛物线方程(1)抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P(-3，a)到焦点的距离为5；(2)以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，并且经过点P(-2，-4)解：(1)由已知设所求抛物线方程为y2=-2px(p0)，则准线方程为x=，因为抛物线上点P(-3，a)到焦点的距离为5，由定义知 +3=5，从而得p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x.(2)由于抛物线过点P(-2，-4)，故设方程为y2=-2p1x(p10)或x2=-2p2y(p20)，将点P(-2，-4)代入得p1=4，p2=，故所求的抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.2021/8/8 星期日13题型三直线与抛物线题型三直线与抛物线【例3】(2010福建)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的存在；若不存在，说明理由2021/8/8 星期日14 (1)(1)将将点点A A (1(1,2)2)代代入入抛抛物物线线C C：y y2 22 2pxpx(p p0)0)，解解得得p p2 2，所求抛物线所求抛物线C C的方程为的方程为y y2 24 4x x，准线方程为，准线方程为x x1.1.(2)(2)假假设设存存在在适适合合题题意意的的直直线线l l，设设其其方方程程为为y y2 2x xt t，由由 得得y y2 22 2y y2 2t t0 0，直线直线l l与抛物线与抛物线C C有公共点，有公共点，4 48 8t t00，解得，解得t t .又又直线直线OAOA与与l l的距离等于的距离等于 ，解得，解得t t1.1.1 1 ，1 1 ，存在适合题意的直线存在适合题意的直线l l，其方程为，其方程为y y2 2x x1.1.2021/8/8 星期日15变式变式3-13-1顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P、Q两点，已知|PQ|，求抛物线的方程设抛物线的方程为设抛物线的方程为y y2 22 2pxpx，则，则消消去去y y得得4 4x x2 2(2(2p p4)4)x x1 10 0，x x1 1x x2 2 ，则则x x1 1x x2 2 ，|PQPQ|x x1 1x x2 2|，化简得化简得p p2 24 4p p12120 0，解得，解得p p2 2或或6 6，y y2 24 4x x或或y y2 21212x x.2021/8/8 星期日16【例例4 4】已已知知过过抛抛物物线线y y2 22 2pxpx(p p0)0)的的焦焦点点F F的的直直线线交交抛抛物物线线于于A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)两点求证：两点求证：(1)(1)x x1 1x x2 2为定值；为定值；(2)(2)为定值为定值证明证明2021/8/8 星期日17(1)(1)抛物线抛物线y y2 22 2pxpx的焦点为的焦点为F F ，当直线，当直线ABAB的斜率存在时，的斜率存在时，设直线设直线ABAB的方程为的方程为y yk k (k k0)0)由由 消去消去y y，整理得，整理得k k2 2x x2 2p p(k k2 22)2)x x 0.0.由韦达定理，得由韦达定理，得x x1 1x x2 2 (定值定值)当当ABABx x轴时，轴时，x x1 1x x2 2 ，x x1 1x x2 2 也成立也成立(2)(2)由抛物线的定义知，由抛物线的定义知，|FAFA|x x1 1 ，|FBFB|x x2 2 .2021/8/8 星期日18 为定值为定值 2021/8/8 星期日19变式变式4 41 1已已知知抛抛物物线线C C的的顶顶点点在在坐坐标标原原点点，焦焦点点为为F F(1,0)(1,0)，直直线线l l与与抛抛物物线线C C相相交交于于A A，B B两两点点，若若ABAB的的中中点点为为(2,2)(2,2)则则直直线线l l的的方程为方程为_2021/8/8 星期日20 解解 ：y yx x解解析析：由由焦焦点点F F(1,0)(1,0)知知抛抛物物线线的的方方程程为为y y2 24 4x x.当当直直线线l l的的斜斜率率存存在在时时，设设直直线线l l的的方方程程为为y y2 2k k(x x2)2)，A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，代代入入抛抛物物线线方方程程得得(kxkx2 22 2k k)2 24 4x x，整理得整理得k k2 2x x2 2(4(4k k4 4k k2 24)4)x x(2(22 2k k)2 20 0，即即 2 2，解解得得k k1 1，则则直直线线l l的的方程为方程为y yx x.当斜率不存在时的直线不合题意当斜率不存在时的直线不合题意 2021/8/8 星期日21题型四抛物线的应用题型四抛物线的应用【例5】一水渠的横截面如图所示，它的横截面边界AOB是抛物线的一段，已知渠宽AB为2 m，渠深OC为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m求水面EF的宽度解：建立如图所示的直角坐标系，则A(-1,1.5)，B(1，1.5)，C(0,1.5)设抛物线方程为x2=2py(p0)，把点A(-1，1.5)代入方程，得1=2p1.5，即p=，所以抛物线方程为x2=y，由点E的纵坐标为1，得点E的横坐标为-，所以水面EF的宽度为 m.2021/8/8 星期日22易错警示易错警示【例1】抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3，求抛物线的方程错解准线方程为x=-m/4，因为准线与直线x=1的距离为3，所以准线方程为x=-2.则-m/4=-2，所以m=8，所以抛物线方程为y2=8x.错解分析 本题错误在于忽视了一次项系数m的正负，以为只有m0这种情况，其实m0时，准线方程为x=-=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y2=8x.当m0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2 知识准备：1.利用“点差法”求解可简化解题过程；2.会利用斜率公式和中点坐标公式求解正解：B解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y21=2px1，y22=2px2，两式相减得：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)，又因为直线的斜率为1，所以 =1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1，故选B.2021/8/8 星期日262021/8/8 星期日27