江西省信丰县高中数学 《放缩法与反证法证明不等式 新人教A选修45.ppt

不等式的证明不等式的证明2021/8/8 星期日1复习复习不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法2021/8/8 星期日2反证法反证法 先假设要证明的命题不成立，以此为出发点先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。从而间接说明原命题成立的方法。2021/8/8 星期日32021/8/8 星期日4例题例例2、已知、已知a+b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：求证：a,b,c 0 证：设证：设a 0,bc 0,则则b+c a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0矛盾，矛盾，必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0,c 02021/8/8 星期日5例例3、设0 a,b,c 又又0 a,b,c 1/4,(1 b)c1/4,(1 c)a1/4,2021/8/8 星期日6 在证明不等式过程中，有时为了证明的在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：实现证明。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。放缩法放缩法2021/8/8 星期日7例例1、若、若a,b,c,d R+，求，求证：证：记m=a,b,c,d R+1 m 2 即原式成立即原式成立2021/8/8 星期日82021/8/8 星期日9 法法：证明：在时，显然成立.当时，左边 2021/8/8 星期日10法：法：法：函数的方法法：函数的方法2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12例例4、巳知：、巳知：a、b、c，求证：，求证：略略解解2021/8/8 星期日13小结 在证明不等式过程中，有时为了证明的在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：实现证明。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是定理的依据就是定理2（传递性性质）（传递性性质）2021/8/8 星期日14课堂练习课堂练习 1、当、当 n 2 时，求，求证：证：n 2 n 2时,2021/8/8 星期日15课堂练习课堂练习2、若、若p0,q0,且且p3+q3=2,求证：求证：p+q22021/8/8 星期日16课堂小结课堂小结 证明不等式的特殊方法证明不等式的特殊方法:（1）放缩法：放缩法：对不等式中的有关式子进行对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。适当的放缩实现证明的方法。（2）反证法：反证法：先假设结论的否命题成立，先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。论成立的方法。2021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18