高二数学三垂线定理ppt课件 人教.ppt
直线和平面直线和平面三垂线定理三垂线定理2021/8/11 星期三1这是偶然的巧合，还是必然？这是偶然的巧合，还是必然？EMDBOAAEOD？cos cos=cos =AOB =AOD =DOBA aOPPO a？2021/8/11 星期三2A aOP 已知已知 PA、PO分别分别是平面是平面 的垂线、斜的垂线、斜线，线，AO是是PO在平面在平面 上的射影。上的射影。a ，aAO。求证：求证：aPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理三垂线定理2021/8/11 星期三3A aOP证明：证明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA a2021/8/11 星期三4三垂线定理三垂线定理：在平面内在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。它就和这条斜线垂直。A aOP证明：证明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA a2021/8/11 星期三5PCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BCM2021/8/11 星期三6例例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点求证：求证：POBD，PCBD(3)在正方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD2021/8/11 星期三7(1)PA正方形正方形ABCD所在平所在平面，面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD又又AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影POBD 同理，同理，ACACBD AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影PCBD2021/8/11 星期三8PMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMBCAM证明证明:PB=PCM是是BC的中点的中点PM BCPA平面平面PBCPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影2021/8/11 星期三9(3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射上的射影影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 2021/8/11 星期三10PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾，怎么找？，怎么找？2021/8/11 星期三11三垂线定理解题的关键：找三垂！三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa2021/8/11 星期三12PAOabcde三垂线定理三垂线定理是平面是平面的一条斜线与平面内的的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：这两条直线可以是：相交直线相交直线 异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？使用三垂线定理还应注意些什么？解解题题回回顾顾2021/8/11 星期三13直线直线a 在一定要在在一定要在平面内，如果平面内，如果 a 不不在平面内，定理就在平面内，定理就不一定成立。不一定成立。PAOa例如：当例如：当 b 时，时，bOA注意注意：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条件的条件去掉，结论仍然成立去掉，结论仍然成立吗？吗？b但但 b不垂直于不垂直于OP 解解题题回回顾顾2021/8/11 星期三14若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b垂直于垂直于 a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 ab （）若若a是平面是平面的斜线的斜线,b,直线直线 b垂直于垂直于a在平面在平面内的射影，内的射影，则则 ab （）若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b 且且b垂直于垂直于a在另一平面在另一平面内的射内的射 影则影则ab （）若若 a是平面是平面的斜线，平面的斜线，平面内内 的直线的直线b垂直于垂直于a在平面在平面内的射内的射 影，则影，则 ab （）练习：练习：判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：面面ABCD 面面直线直线A1C 斜线斜线 a直线直线B1B 垂线垂线 bADCBA1D1C1B12021/8/11 星期三15PAOal已知：已知：PA，PO分别是平分别是平面面 的垂线和斜线，的垂线和斜线，AO是是PO在平面在平面 的射影，的射影，a ,a AO，l 平行于平行于 a 。求证：求证：l 垂直于垂直于PO若若a是平面是平面的斜线的斜线,b,直线直线 b垂直垂直于于a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 ab2021/8/11 星期三16PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直2021/8/11 星期三17线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理？2021/8/11 星期三18 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理2021/8/11 星期三19三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂么，它也和这条斜线的射影垂直。直。三垂线定理三垂线定理：在平面内在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定定理理逆逆定定理理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定定 理理逆定理逆定理2021/8/11 星期三20例例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO分析：分析：要证要证 BAO=CAO只须证只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：证明：PO OE、OF是是PE、PF在在 内的射影内的射影 PE=PF OE=OF由由OEOE是是PEPE的射影且的射影且PEAB OEAB同理可得同理可得OFAC结结论论成成立立2021/8/11 星期三21例例4 在四面体在四面体ABCD中，已知中，已知ABCD，ACBD求证：求证：ADBCDOBC，于是，于是ADBC.证明：作证明：作AO平面平面BCD于点于点O，连接连接BO，CO，DO，则，则BO，CO，DO分别为分别为AB，AC，AD在平面在平面BCD上的射影。上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理同理COBD，于是于是O是是BCD的垂心，的垂心，2021/8/11 星期三221.在正方体在正方体AC1中，中，E、G分别是分别是AA1和和CC1的中点，的中点，F在在AB上，且上，且C1EEF，则则EF与与GD所成的角的大小为（所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是是EC1在平面在平面AB1内的射影内的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG练习与作业练习与作业2021/8/11 星期三232.已知已知 PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，求证：求证：P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是ABC的垂心。的垂心。CBPAH3.经过一个角的顶点引这个角经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。的平分线所在的直线。4.在在ABCDA1B1C1D1中，中，求证：求证：AC1平面平面BC1DD1DCBAC1B1A12021/8/11 星期三242021/8/11 星期三25
