实验四导数应用.ppt

MATLAB 高等数学实验实验四 导数应用n n实验目的n n理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。进一步熟悉和掌握用MATLAB做平面图形的方法和技巧，掌握用MATLAB求方程的根（包括近似根）和求函数极值（包括近似极值）的方法。4.1 学习MATLAB命令4.1.1 求多项式方程近似根的命令n n用用MATLABMATLAB求多项式方程求多项式方程n n的解的命令是的解的命令是rootsroots，使用方法为：，使用方法为：rootsroots（c c）n n其中其中c c是上述方程左端多项式的系数向量是上述方程左端多项式的系数向量4.1.2 求方程f(x)=0近似根的命令n n命令的一般形式如下：命令的一般形式如下：n n(1)(1)建立函数：建立函数：f=inline(f=inline(表达式表达式)n n(2)(2)求函数零点：求函数零点：c=fzero(f,a,b)c=fzero(f,a,b)%求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的零点内的零点c cc=fzero(f,x0)c=fzero(f,x0)%求函数求函数f(x)f(x)在在x0 x0附近的零点附近的零点c c 4.1.3 求非线性函数f(x)的极小值n n用用MATLABMATLAB求一元函数极小值命令是求一元函数极小值命令是fminbndfminbnd，格式如下：，格式如下：n n(1)x=fminbnd(fun,x1,x2)(1)x=fminbnd(fun,x1,x2)n n(2)x,fav1=fminbnd(fun,x1,x2)(2)x,fav1=fminbnd(fun,x1,x2)n n(3)x,fav1,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2)(3)x,fav1,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2)n n其中：其中：n nx=fminbnd(fun,x1,x2)x=fminbnd(fun,x1,x2)是求是求(x1,x2)(x1,x2)上上funfun函数的最小值函数的最小值x x。n nx,fav1=fminbnd(fun,x1,x2)x,fav1=fminbnd(fun,x1,x2)返回解返回解x x处目标函数的值。处目标函数的值。n nx,fav1,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2)x,fav1,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2)返回包含返回包含优化信息的结构输出。优化信息的结构输出。n n注注(1)(1)函数函数fminbndfminbnd的算法基于黄金分割法和二的算法基于黄金分割法和二次插值法，要求目标函数必须是连续函数，此命次插值法，要求目标函数必须是连续函数，此命令可能给出局部最优值。令可能给出局部最优值。n n注注(2)(2)命令命令fminbndfminbnd是求函数是求函数f(x)f(x)的极小值，若的极小值，若要求函数要求函数f(x)f(x)的极大值，只需求的极大值，只需求-f(x)-f(x)的极小值即的极小值即可。可。4.2 实验内容4.2.1 求函数的单调区间n n【例【例1 1】求】求 的单调区间。的单调区间。n n输入：输入：syms xsyms xdy=dy=diff(x3-2*x+1)diff(x3-2*x+1)n n执行后得到函数的一阶导数：执行后得到函数的一阶导数：dydy=3*x2-23*x2-2n n输入：输入：x=-4:0.1:4;x=-4:0.1:4;y1=x.3-2*x+1;y1=x.3-2*x+1;y2=3*x.2-2;y2=3*x.2-2;plot(x,y1,k-,x,y2,b*)plot(x,y1,k-,x,y2,b*)n n其输出如图其输出如图4-14-1，其中米字线是导函数的图形。，其中米字线是导函数的图形。图4-1n n观察函数的增减与导函数的正负之间的关系。输入：观察函数的增减与导函数的正负之间的关系。输入：c=roots(3,0,-2)c=roots(3,0,-2)n n得到导函数的两个零点为：得到导函数的两个零点为：n nc=c=0.81650.8165-0.8165-0.8165n n因为导函数连续，在它的两个零点之间，导函数保持相同因为导函数连续，在它的两个零点之间，导函数保持相同符号。因此，只需在每个小区间上取一点计算导数值，即符号。因此，只需在每个小区间上取一点计算导数值，即可判定导数在该区间的正负，从而得到函数的增减。可判定导数在该区间的正负，从而得到函数的增减。n n再输入：再输入：x=-1;x=-1;daoshuzhi=eval(daoshuzhi=eval(dydy)x=0;x=0;daoshuzhi=eval(daoshuzhi=eval(dydy)x=1;x=1;daoshuzhi=eval(daoshuzhi=eval(dydy)n n输出：输出：daoshuzhi=daoshuzhi=1 1daoshuzhi=daoshuzhi=-2-2daoshuzhi=daoshuzhi=1 1n n说明导函数在区间说明导函数在区间(-,-0.8165),(-0.8165,0.8165),(-,-0.8165),(-0.8165,0.8165),(0.8165,+)(0.8165,+)上分别取上分别取+，-，+。n n因此，函数在区间因此，函数在区间(-,-0.8165(-,-0.8165和和0.8165,+)0.8165,+)上单调上单调增加，在区间增加，在区间-0.8165,0.8165-0.8165,0.8165上单调减少。上单调减少。4.2.2 求函数的极值n n【例【例2 2】求函数求函数 的极值的极值n n输入：输入：ezplot(x/(1+x2),-6,6)ezplot(x/(1+x2),-6,6)n n如图如图4-24-2所示。所示。n n观察它的两个极值，输入：观察它的两个极值，输入：f=x/(1+x2);f=x/(1+x2);xmin,ymin=fminbnd(f,-10,10)xmin,ymin=fminbnd(f,-10,10)n n输出：输出：xmin=-1.0000 xmin=-1.0000ymin=-0.5000ymin=-0.5000n n表明表明x=-1x=-1是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为-0.5-0.5。图4-2n n接下来将求极大值的问题转换为求极小值，输入：接下来将求极大值的问题转换为求极小值，输入：f1=-x/(1+x2);f1=-x/(1+x2);xmax,ymax=fminbnd(f1,-10,10)xmax,ymax=fminbnd(f1,-10,10)n n输出：输出：xmax=xmax=1.00001.0000ymax=ymax=-0.5000-0.5000n n注意注意f=-f1f=-f1，所以，所以x=1x=1是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为-(-0.5)=0.5-(-0.5)=0.5。4.2.3 求函数的凹凸区间和拐点n n【例【例3 3】求函数求函数 的凹凸区间和拐点。的凹凸区间和拐点。n n输入：输入：syms xsyms xy=1/(1+2*x2);y=1/(1+2*x2);y1=diff(y,x)y1=diff(y,x)y2=diff(y,x,2)y2=diff(y,x,2)n n执行后得到函数的一阶、二阶导数分别为：执行后得到函数的一阶、二阶导数分别为：y1=-(4*x)/(2*x2+1)2y1=-(4*x)/(2*x2+1)2y2=(32*x2)/(2*x2+1)3-4/(2*x2+1)2y2=(32*x2)/(2*x2+1)3-4/(2*x2+1)2n n再输入：再输入：x=-3:0.1:3;x=-3:0.1:3;y=(1+2*x.2).(-1);y=(1+2*x.2).(-1);y1=-4*x.*(1+2*x.2).2).(-1);y1=-4*x.*(1+2*x.2).2).(-1);y2=32*(x.2).*(1+2*x.2).3).(-1)-.y2=32*(x.2).*(1+2*x.2).3).(-1)-.4*(1+2*x.2).2).(-1);4*(1+2*x.2).2).(-1);y3=zeros(1,length(x);y3=zeros(1,length(x);plot(x,y,b-,x,y1,g*,x,y2,r:,x,y3)plot(x,y,b-,x,y1,g*,x,y2,r:,x,y3)n n输出如图输出如图4-34-3所示。其中虚线是函数的二阶导数，米字线所示。其中虚线是函数的二阶导数，米字线是函数的一阶导数。观察二阶导数的正负值与函数的凹凸是函数的一阶导数。观察二阶导数的正负值与函数的凹凸之间的关系。之间的关系。图4-3n n输入：输入：f=inline(32*(x.2).*(1+2*x.2).3)f=inline(32*(x.2).*(1+2*x.2).3).(-1)-4*(1+2*x.2).2).(-1);.(-1)-4*(1+2*x.2).2).(-1);c1=fzero(f,-3,0)c1=fzero(f,-3,0)c2=fzero(f,0,3)c2=fzero(f,0,3)n n得到二阶导数的零点为：得到二阶导数的零点为：c1=c1=-0.4082-0.4082c2=c2=0.40820.4082n n即得到二阶导数等于零的点是即得到二阶导数等于零的点是0.40820.4082。用例。用例1 1中类似的中类似的方法可知，在方法可知，在(-,-0.4082)(-,-0.4082)和和(0.4082,+)(0.4082,+)上二阶导上二阶导数大于零，曲线弧向上凹。在数大于零，曲线弧向上凹。在(-0.4082,0.4082)(-0.4082,0.4082)上二阶上二阶导数小于零，曲线弧向上凸。导数小于零，曲线弧向上凸。n n再输入：再输入：x=-0.4082;x=-0.4082;zhi=eval(1/(1+2*x2)zhi=eval(1/(1+2*x2)x=0.4082;x=0.4082;zhi=eval(1/(1+2*x2)zhi=eval(1/(1+2*x2)n n输出：输出：zhi=zhi=0.75000.7500zhi=zhi=0.75000.7500n n说明函数在说明函数在-0.4082-0.4082和和0.40820.4082的值都是的值都是0.750.75。因此两个。因此两个拐点分别是拐点分别是(-0.4082,0.75)(-0.4082,0.75)和和(0.4082,0.75)(0.4082,0.75)4.2.4 求极值的近似值n n【例【例4 4】求】求 位于区间位于区间 内内的极值的近似值。的极值的近似值。n n输入：输入：f=2*(sin(2*x)2+5/2*x*(cos(x/2)2;f=2*(sin(2*x)2+5/2*x*(cos(x/2)2;f1=-2*(sin(2*x)2-5/2*x*(cos(x/2)2;f1=-2*(sin(2*x)2-5/2*x*(cos(x/2)2;xmin,ymin=fminbnd(f,0,pi)xmin,ymin=fminbnd(f,0,pi)xmax1,ymax1=fminbnd(f1,0,1)xmax1,ymax1=fminbnd(f1,0,1)xmax2,ymax2=fminbnd(f1,2,pi)xmax2,ymax2=fminbnd(f1,2,pi)n n输出：输出：xmin=1.6239xmin=1.6239ymin=1.9446ymin=1.9446xmax1=0.8642xmax1=0.8642ymax1=-3.7323ymax1=-3.7323xmax2=2.2449xmax2=2.2449ymax2=-2.9571ymax2=-2.9571n n输入输入ezplot(f,0,pi)ezplot(f,0,pi)n n输出如图输出如图4-44-4。从图中可看出，极大值为。从图中可看出，极大值为3.73233.7323和和2.95712.9571，极小值为，极小值为1.9946.1.9946.图4-44.2.5 证明函数的不等式n n【例【例5 5】证明不等式】证明不等式 ,当当 时。时。n n先做图，输入：先做图，输入：x=0:0.1:3;x=0:0.1:3;y1=exp(x);y1=exp(x);y2=1+x;y2=1+x;plot(x,y1,k-,x,y2,b*)plot(x,y1,k-,x,y2,b*)n n输出如图输出如图4-54-5所示。所示。图4-5n n再输入：再输入：syms x;syms x;y=exp(x)-x-1;y=exp(x)-x-1;f1=diff(y,x)f1=diff(y,x)c=fzero(exp(x)-1,0)c=fzero(exp(x)-1,0)n n输出：输出：f1=exp(x)-1f1=exp(x)-1c=0c=0n n当当X=0X=0时两曲线交于一点，当时两曲线交于一点，当x x增加时，差距逐渐增大。增加时，差距逐渐增大。这正是用单调性证明不等式的典型特征这正是用单调性证明不等式的典型特征 。n n通过计算知通过计算知y(0)=0y(0)=0，且，且y(x)=y(x)=，仅当，仅当x=0 x=0时，时，y(x)=0y(x)=0。因为。因为x0 x0时，时，所以当，所以当x0 x0时，时，y(x)0y(x)0。于是。于是y(x)y(x)单调增加，当单调增加，当x0 x0时，有时，有 。n n【例【例6 6】证明】证明 ，当，当x1,x1,且且x0 x0时。时。n n作图，输入：作图，输入：x=-1:0.1:1/2;x=-1:0.1:1/2;y1=exp(x);y1=exp(x);y2=(1-x).(-1);y2=(1-x).(-1);plot(x,y1,b-,x,y2,r*)plot(x,y1,b-,x,y2,r*)n n如图如图4-64-6所示，两条曲线在所示，两条曲线在x=0 x=0处相交，在两侧差距逐渐增处相交，在两侧差距逐渐增大。一个证明方法是用单调性，此时应从点大。一个证明方法是用单调性，此时应从点x=0 x=0出发，向出发，向两侧分别证明。另一个证明是用最大值。为此，改写不等两侧分别证明。另一个证明是用最大值。为此，改写不等式为式为 。图4-6n n输入：输入：syms xsyms xf=exp(x)*(1-x);f=exp(x)*(1-x);g=diff(f,x)g=diff(f,x)h=diff(f,x,2)h=diff(f,x,2)n n输出：输出：g=exp(x)*(1-x)-exp(x)g=exp(x)*(1-x)-exp(x)h=exp(x)*(1-x)-2*exp(x)h=exp(x)*(1-x)-2*exp(x)n n输入：输入：c1=fzero(exp(x)*(1-x)-exp(x),-1,0)c1=fzero(exp(x)*(1-x)-exp(x),-1,0)c2=fzero(exp(x)*(1-x)-exp(x),0,1)c2=fzero(exp(x)*(1-x)-exp(x),0,1)x=0;x=0;h1=eval(exp(x)*(1-x)-2*exp(x)h1=eval(exp(x)*(1-x)-2*exp(x)f1=eval(exp(x)*(1-x)f1=eval(exp(x)*(1-x)n n输出：输出：c1=0c1=0c2=0c2=0h1=-1h1=-1f1=1f1=1n n即函数有唯一驻点即函数有唯一驻点x=0 x=0，且，且g(0)=f(0)=-10g(0)=f(0)=-10，f(0)=1f(0)=1。由于在驻点。由于在驻点x=0 x=0处函数的二阶导数小于处函数的二阶导数小于0 0，该点，该点是极大值点。又因为这是唯一驻点，所以它是函数的最大是极大值点。又因为这是唯一驻点，所以它是函数的最大值点。于是，值点。于是，在在x=0 x=0取最大值取最大值1 1。因此当。因此当x1x0 x0。n n作图，输入：作图，输入：ezplot(atan(x)+1/x,4,20)ezplot(atan(x)+1/x,4,20)n n输出如图输出如图4-74-7所示。所示。n n当当x x趋向于正无穷时，直线趋向于正无穷时，直线 是是 的的渐近线。这也是用单调性证明的不等式。渐近线。这也是用单调性证明的不等式。图4-7n n输入：输入：syms xsyms xy=atan(x)+1/x;y=atan(x)+1/x;y1=diff(y,x)y1=diff(y,x)limit(y,x,inf)limit(y,x,inf)n n输出：输出：y1=1/(1+x2)-1/x2y1=1/(1+x2)-1/x2ans=1/2*pians=1/2*pin n再研究单调性，输入再研究单调性，输入c=fzero(1/(1+x2)-1/x2,1,inf)c=fzero(1/(1+x2)-1/x2,1,inf)n n输出：输出：c=Infc=Infn n即当即当x0 x0时，函数时，函数y=arctan(x)+1/xy=arctan(x)+1/x无驻点。无驻点。n n再输入：再输入：x=2;x=2;y2=eval(1/(1+x2)-1/x2)y2=eval(1/(1+x2)-1/x2)n n输出：输出：n ny2=-0.0500y2=-0.0500n n即当即当x0 x0时，时，y1(x)=y(x)0y1(x)=y(x)0 x0时，有时，有 。n n【例【例8 8】证明证明 ，当，当 时。时。n n作图，输入：作图，输入：x=0:0.1:pi/2;x=0:0.1:pi/2;y1=sin(x);y1=sin(x);y2=2*x/pi;y2=2*x/pi;plot(x,y1,b-,x,y2,r)plot(x,y1,b-,x,y2,r)n n输出如图输出如图4-84-8所示。所示。图4-8n n当当x=0 x=0或或x=x=时，两曲线相交。在两点之间差距较时，两曲线相交。在两点之间差距较大。这是需要用凹凸性证明的不等式的特征。大。这是需要用凹凸性证明的不等式的特征。n n输入：输入：x=0;x=0;f1=eval(sin(x)-2*x/pi)f1=eval(sin(x)-2*x/pi)x=pi/2;x=pi/2;f2=eval(sin(x)-2*x/pi)f2=eval(sin(x)-2*x/pi)n n输出：输出：f1=0f1=0f2=0f2=0n n即在区间端点，函数值等于零。即在区间端点，函数值等于零。n n再输入：再输入：syms xsyms xf=sin(x)-2*x/pi;f=sin(x)-2*x/pi;g=diff(f,x,2)g=diff(f,x,2)n n输出：输出：g=-sin(x)g=-sin(x)n n即即g(x)=f(x)=-sin(x)g(x)=f(x)=-sin(x)。注意在区间。注意在区间(0,)(0,)内内f(x)=-sin(x)0f(x)=-sin(x)0，函数，函数f(x)f(x)的曲线上凸。又在区间的的曲线上凸。又在区间的两个端点都等于零，因此在区间内部两个端点都等于零，因此在区间内部f(x)f(x)恒大于零，即恒大于零，即当当 时，有时，有 。