微积分基本公式(IV).ppt

二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第三节微积分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.定积分等于被积函数的原函数的增量考察定积分记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数问题：积分上限函数问题：积分上限函数 (x)是否可导？若能，其是否可导？若能，其导数等于什么？导数等于什么？则变上限函数证证:则有定理定理1.若1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.3)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.（微积分基本定理）（微积分基本定理）说明说明:2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.？（1）积分上限本身也是自变量 x 的可导函数，即若令则 G(x)由 F(u)，u=(x)复合而成，即（2）积分上限是常数，积分下限是自变量 x 的可导函数，即（3）积分上下限都是自变量 x 的可导函数。积分限为变量的函数求导汇总例例1.求求解解:原式分析分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.证明在内为单调递增函数.证证:只要证例例2.证证令例例4.确定常数 a,b,c 的值,使解解:原式=c 0,故又由,得洛洛例5：设 其中，f(x)为连续函数。解解：例例5：设 其中，f(x)为连续函数。解解：三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)证证:根据定理 1,故因此得记作定理定理2.函数,则微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意 进一步揭示了定积分与原函数或不定积分之间的联系.求定积分问题转化为求原函数的问题.例例6.计算解解:例例7.计算正弦曲线的面积.解解:例例8.设 求 解解例例9.9.求 解：解：例例10：因为函数与所计算的结果矛盾。这是由于所以由性质5 知知在积分区间上不连续，在 x=0 处为无穷间断，不能用牛顿莱布尼兹公式。性质5：如果在区间 a,b 上，f(x)0,则则例11：求解解：先去被积函数中的绝对值例例12：设设求 k 值，使解解：因为故由定积分的可加性有已知函数例例1313.求 解：解：由图形可知思考与判断题思考与判断题（1）（2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原 函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（）内容小结内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理积分中值定理微分中值定理微分中值定理牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2.变限积分求导公式 备用题备用题解解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.2.设证证：试证:当 时,=o().所以 =o().洛高数A