原函数与不定积分.ppt

第五章微分法:积分法:互逆运算不定积分 微分的逆运算微分的逆运算二、二、基本积分公式基本积分公式 三、不定积分的性质三、不定积分的性质(运算法则运算法则)一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节原函数与不定积分 第五章 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示,有多少个?定理定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数定理定理 2.也是f(x)的原函数,(其中C 为任意常数)证证:1)又知故即则(2)f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.定义定义 2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!例如,记作不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.例例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为例1 设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.解 设所求曲线为y=f(x)，(x,y)为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件有由于sinx是cosx的一个原函数，所以cosx的不定积分是y=sinx+C.于是所求的曲线族为 代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分曲线为 .二、二、基本积分表基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维利用逆向思维(k 为常数)或或例例3.求求解解:原式 =例例4.求解解:原式=三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:若则例2 求 解 例3 求 .解 例例4.求解解:原式 倍角公式倍角公式例例5.求解解:原式 例例6.求求解解:原式=例例7.求解解:原式=例例8.求求解解:原式=内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质5.求下列积分:提示提示: