习题课(导数的应用.ppt

中值定理和导数的应用 拉格朗日中值定理 一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 2.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结证明有关中值问题的结论论3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维,设辅助函数设辅助函数.一般解题方法一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值定理.必须必须多次应用多次应用中值定理中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数,多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式,(5)若结论为不等式若结论为不等式,要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.例例1.设函数设函数在内可导内可导,且证明在内有界内有界.证证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证证:问题转化为证设辅助函数显然在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例例3 3证证由介值定理由介值定理,注意到注意到由由,有有+,得得例例 4洛必达法洛必达法则 二、二、洛必达法则洛必达法则 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o.及时求出已定式的极限及时求出已定式的极限.1o.先做无穷小代换先做无穷小代换.用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？3o.需要先验证条件需要先验证条件.应该怎么做？应该怎么做？.解：解：.例例1例例2解：解：.三、导数的应用1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题单调性做证明题.2.熟练掌握求函数极值熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小确定极大还是极小)和最值以及拐点的方法和最值以及拐点的方法.3.求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线.4.会做会做y=f(x)的图形的图形.5熟悉常用的克劳林公式熟悉常用的克劳林公式定理定理 1 函数函数单调性的判定法性的判定法2.求函数极值和最值求函数极值和最值求极值的步骤：求极值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不存在的点；求求a,b上连续函数上连续函数f(x)的最值的步骤：的最值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2)把把 f(x)在这些点的值与在这些点的值与f(a),f(b)比较，最大者为最大值，最小者比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。为最小值。注注：若连续函数：若连续函数f(x)在区间在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；极小值就是最小值。极小值就是最小值。3计算函数凹凸区间计算函数凹凸区间方法方法1:1:方法方法2:2:3 计算函数拐点方法计算函数拐点方法.4.给定函数给定函数 y=f(x),求其竖直渐近线及斜渐近线求其竖直渐近线及斜渐近线。.5.常用常用马克劳林公式：马克劳林公式：2m-1阶阶2m阶阶.5.常用马克劳林公式：常用马克劳林公式：.例1例2例3例4例例1.证毕证毕.例例2解：解：.例例3解：解：xy(,0)(,+)(0,+).(,+)例例4 4解解奇函数奇函数列表如下列表如下:极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图作图