材料力学课件-孙训方第五版ppt.ppt

第一章第一章 绪论绪论主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮23 一月 2023 第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务 在保证构件既安全又适用的在保证构件既安全又适用的前提下，最大限度的发挥材料的前提下，最大限度的发挥材料的经济性能，为构件选择适当的材经济性能，为构件选择适当的材料，设计合理的截面形状和尺寸。料，设计合理的截面形状和尺寸。材料力学：研究构件的材料力学：研究构件的承载能力承载能力 第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务*承载能力：承载能力：构件承受荷载的能力构件承受荷载的能力几个方面来考虑：几个方面来考虑：几个方面来考虑：几个方面来考虑：强强强强 度度度度:构件具有足够的抵抗破坏的能力构件具有足够的抵抗破坏的能力 刚刚刚刚 度度度度:构件具有足够的抵抗变形的能力构件具有足够的抵抗变形的能力构件具有足够的抵抗变形的能力构件具有足够的抵抗变形的能力 稳定性稳定性稳定性稳定性:对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态 第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务*失效失效:由于材料的力学行为而使由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能（承载能力）构件丧失正常功能（承载能力）的现象的现象几个方面来考虑：几个方面来考虑：几个方面来考虑：几个方面来考虑：强强强强 度度度度：不因发生断裂或塑性变形而失效：不因发生断裂或塑性变形而失效 刚刚刚刚 度度度度：不因发生过大的弹性变形而失效：不因发生过大的弹性变形而失效 稳定性稳定性稳定性稳定性：不因发生因平衡形式的突然转变而失效：不因发生因平衡形式的突然转变而失效第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务1.1.强度问题强度问题第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务强度失效强度失效第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务2.2.刚度问题刚度问题第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务刚刚度度失失效效第一节第一节 材料力学的任务材料力学的任务3.3.稳定性问题稳定性问题1983年年10月月4日，高日，高54.2m、长、长17.25m、总重总重565.4kN大型脚手架失稳坍塌，大型脚手架失稳坍塌，5人死亡、人死亡、7人受伤人受伤。横杆之间的距离太大横杆之间的距离太大横杆之间的距离太大横杆之间的距离太大 2.2m2.2m规定值规定值规定值规定值1.71.7m;m;地面未夯实，局部杆受力大；地面未夯实，局部杆受力大；地面未夯实，局部杆受力大；地面未夯实，局部杆受力大；与墙体连接点太少；与墙体连接点太少；与墙体连接点太少；与墙体连接点太少；安全因数太低：安全因数太低：安全因数太低：安全因数太低：1.11-1.751.11-1.7511）塑性材料：塑性材料：u=s脆性材料：脆性材料：u=b第七节第七节 应力集中的概念应力集中的概念应力集中：应力集中：杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增的现象引起的局部应力骤增的现象FF 应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处应力趋于平缓（应力能增大应力趋于平缓（应力能增大应力趋于平缓（应力能增大应力趋于平缓（应力能增大3 35 5倍）倍）倍）倍）第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题FN1N2N3N1N2P一、超静定问题一、超静定问题一、超静定问题一、超静定问题第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题二、超静定问题的求解方法二、超静定问题的求解方法二、超静定问题的求解方法二、超静定问题的求解方法平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程+补充方程（变形协调方程）补充方程（变形协调方程）补充方程（变形协调方程）补充方程（变形协调方程）例题例题1 已知：杆已知：杆1、2的抗拉（压）刚度相等，均为的抗拉（压）刚度相等，均为EA，杆，杆3横截面横截面面积为面积为A3，弹性模量为，弹性模量为E3，杆，杆3长为长为L。求三个杆的内力。求三个杆的内力。P（1）（2）（3）30A解：解：N3N2N1（1 1）平衡方程：）平衡方程：（2 2）补充方程（变形协调方程）：）补充方程（变形协调方程）：L2L3L1A第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题P（1）（2）（3）30AN3N2N1L2L3L1A补充方程补充方程第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题例题例题2 已知：图示结构，已知：图示结构，A1=A2=A3=200mm2，=160MPa，P=40kN，L1=L2=L。试在下列两种情况下，校核各杆的强度。试在下列两种情况下，校核各杆的强度。（1）三杆的材料相同，即：）三杆的材料相同，即：E1=E2=E3=E（2）杆）杆1、2为弹性杆，且为弹性杆，且E1=E2=E，杆，杆3为刚性杆为刚性杆C（1）（2）（3）P45变形条件：变形条件：N1N3N2CP解解：（：（1 1）L1L2L3变形协调方程变形协调方程C第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题满足强度条件满足强度条件（2 2）3 3为刚性杆为刚性杆第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题C（1）（2）（3）P45L1CL2N1N3N2CP平衡方程平衡方程变形条件变形条件满足强度条件满足强度条件第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题例题例题3 已知：杆长为已知：杆长为L，横截面面积为，横截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E。求：在力。求：在力P作用下杆内力。作用下杆内力。N1N2L1L2P解解：变形协调方程：变形协调方程：第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题总总 结结（1 1）列静定平衡方程）列静定平衡方程（2 2）从变形几何方面列变形协调方程）从变形几何方面列变形协调方程（3 3）利用力与变形之间的关系，列补充方程）利用力与变形之间的关系，列补充方程（4 4）联立平衡方程，补充方程，即可求未知力）联立平衡方程，补充方程，即可求未知力（5 5）强度、刚度的计算与静定问题相同）强度、刚度的计算与静定问题相同第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题例题例题4 已知：钢杆已知：钢杆1、2、3的面积均为的面积均为A=2cm2，长度，长度L=1m，弹性模，弹性模量为量为E=200GPa，若制造时杆，若制造时杆3短了短了=0.08cm。试计算安装后。试计算安装后1、2、3杆的内力杆的内力（1）（3）（2）N1N2N3解解：平衡方程平衡方程（1）（3）（2）变形条件变形条件L L1 1L L2 2L L3 3第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题（1）（3）（2）L L1 1L L2 2L L3 3变形协调方程变形协调方程第八节第八节 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题例题例题5 已知：不计自重的刚杆挂在三根平行的金属杆上，杆间距为已知：不计自重的刚杆挂在三根平行的金属杆上，杆间距为a，横截面面积为，横截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，杆长为，杆长为L，杆，杆2短了短了，当，当B点受点受荷载荷载P时求：各杆内力。时求：各杆内力。（1）（2）（3）P PP PN1N2N3解解：平衡方程平衡方程L L1 1L L3 3L L2 2变形条件变形条件第三章第三章 剪切与挤压剪切与挤压主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮23 一月 2023剪切与挤压剪切与挤压工程中承受剪切变形的构件常常是连接件工程中承受剪切变形的构件常常是连接件剪切与挤压剪切与挤压一、剪切一、剪切受力特点：受力特点：受力特点：受力特点：杆件受到相距非常近的横向力（平行力系）杆件受到相距非常近的横向力（平行力系）的作用的作用变形特点：变形特点：变形特点：变形特点：构件沿平行力系的交界面发生相对错动构件沿平行力系的交界面发生相对错动单剪面单剪面双剪面双剪面剪切与挤压剪切与挤压1 1 剪切面：剪切面：剪切面：剪切面：发生相对错动的面（平行于作用力的方向）发生相对错动的面（平行于作用力的方向）2 2 剪力：剪力：剪力：剪力：剪切面的内力剪切面的内力3 3 剪应力：剪应力：剪应力：剪应力：剪力在剪切面上的分布极度剪力在剪切面上的分布极度二、剪切计算二、剪切计算假设：假设：假设：假设：剪力在剪切面上是均匀分布的剪力在剪切面上是均匀分布的剪应力剪应力剪应力剪应力（平均剪应力）（平均剪应力）（平均剪应力）（平均剪应力）（名义剪应力）（名义剪应力）（名义剪应力）（名义剪应力）剪切与挤压剪切与挤压求剪切面上的剪力：求剪切面上的剪力：求剪切面上的剪力：求剪切面上的剪力：截面法截面法剪应力：剪应力：剪应力：剪应力：剪切强度条件剪切强度条件剪切强度条件剪切强度条件剪切与挤压剪切与挤压三、挤压计算三、挤压计算1 1 挤压力：挤压力：挤压力：挤压力：接触面上的相互作用力（为非均匀分布）接触面上的相互作用力（为非均匀分布）2 2 挤压面：挤压面：挤压面：挤压面：挤压力的作用面挤压力的作用面3 3 挤压计算面积挤压计算面积挤压计算面积挤压计算面积A Absbs：挤压面的直径投影面挤压面的直径投影面假设：假设：假设：假设：挤压力在挤压计算面积上是均匀分布挤压力在挤压计算面积上是均匀分布剪切与挤压剪切与挤压挤压应力：挤压应力：挤压应力：挤压应力：挤压强度条件：挤压强度条件：挤压强度条件：挤压强度条件：例题例题1 1 键连接。已知：键连接。已知：Me、d；键的尺寸：；键的尺寸：l、b、h。求：。求：，bs剪切与挤压剪切与挤压解：解：键受力键受力剪切与挤压剪切与挤压例题例题2 2 销钉连接。已知：销钉连接。已知：FP=18kN，t1=8mm，t2=5mm，=60MPa，bs=200MPa，d=16mm。试校核销钉的强度。试校核销钉的强度。解：双剪面解：双剪面1 1 剪切强度校核剪切强度校核2 2 挤压强度校核挤压强度校核安全安全安全安全剪切与挤压剪切与挤压例题例题3 3 木接头。求：木接头。求：，bs解：解：剪切面剪切面挤压面挤压面剪切与挤压剪切与挤压例题例题4 4 边长为边长为a的正方形截面立柱，放在尺寸为的正方形截面立柱，放在尺寸为LLh的基础上。的基础上。求：求：解：解：地基对基础的约束反力集度地基对基础的约束反力集度剪力剪力剪切面面积剪切面面积第四章第四章 扭转扭转主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮23 一月 2023第一节第一节 扭转的概念扭转的概念扭转：扭转：直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直直杆的轴线垂直直杆的轴线垂直直杆的轴线垂直第一节第一节 扭转的概念扭转的概念ABOmmOBA 扭转角（两端面相对转过的角度）扭转角（两端面相对转过的角度）扭转角（两端面相对转过的角度）扭转角（两端面相对转过的角度）剪切角，也称为剪应变或切应变剪切角，也称为剪应变或切应变剪切角，也称为剪应变或切应变剪切角，也称为剪应变或切应变第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图一、扭矩一、扭矩MMMT 圆杆扭转横截面的内力合成结圆杆扭转横截面的内力合成结圆杆扭转横截面的内力合成结圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩果为一合力偶，合力偶的力偶矩果为一合力偶，合力偶的力偶矩果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的称为截面的称为截面的称为截面的扭矩扭矩扭矩扭矩，用，用，用，用T T表示。表示。表示。表示。扭矩的正负号，按扭矩的正负号，按扭矩的正负号，按扭矩的正负号，按右手螺旋法右手螺旋法右手螺旋法右手螺旋法则则则则来确定。即右手握住杆的轴线，来确定。即右手握住杆的轴线，来确定。即右手握住杆的轴线，来确定。即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。反之为负。反之为负。反之为负。x第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MTx扭矩的大小由平衡方程求得：扭矩的大小由平衡方程求得：扭矩的大小由平衡方程求得：扭矩的大小由平衡方程求得：二、扭矩图二、扭矩图表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤：1.1.1.1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线2.2.2.2.将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点3.3.3.3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画4.4.4.4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上标出数值和正负号侧，并在图上标出数值和正负号侧，并在图上标出数值和正负号侧，并在图上标出数值和正负号第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图例题例题1 1 画出图示杆的扭矩图画出图示杆的扭矩图3kNm5kNm2kNm解：解：ACBAC段段3kNmT1BC段段2kNmT22kNm3kNm 扭矩图扭矩图第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图三、外力偶矩换算三、外力偶矩换算 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传动功和转数来换算偶矩可通过传动功和转数来换算偶矩可通过传动功和转数来换算偶矩可通过传动功和转数来换算 若传动轴的传动功率为若传动轴的传动功率为若传动轴的传动功率为若传动轴的传动功率为P P，每分钟转数为，每分钟转数为，每分钟转数为，每分钟转数为n n其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图例题例题2 2 已知：一传动轴转数已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮输出功率，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试绘制扭矩图。试绘制扭矩图。解：解：（1 1）计算外力偶矩）计算外力偶矩ABCDP1P2P3P4n第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图ABCDM1M2M3M4n（2 2）求扭矩（扭矩按正方向假设）求扭矩（扭矩按正方向假设）截面截面截面截面截面截面（3 3）绘制扭矩图）绘制扭矩图4.78kNm9.56kNm6.37kNm第二节第二节 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图例题例题3 3 画出图示杆的扭矩图画出图示杆的扭矩图2m2m1m3m4kNm 6kNm8kNm6kNm解：解：截面截面截面截面截面截面4kNm2kNm6kNm第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚（r0：为平均半径）为平均半径）一、实验一、实验1 1 实验前：实验前：实验前：实验前：绘制绘制绘制绘制纵向线，圆周线纵向线，圆周线纵向线，圆周线纵向线，圆周线 两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶MMe e第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转2 2 实验后：实验后：实验后：实验后：圆周线不变圆周线不变圆周线不变圆周线不变 纵向线变成螺旋线纵向线变成螺旋线纵向线变成螺旋线纵向线变成螺旋线3 3 结果：结果：结果：结果：圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。变，满足平面假设。变，满足平面假设。变，满足平面假设。各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转二、薄壁筒切应力二、薄壁筒切应力 薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转向一致向一致向一致向一致TA A0 0为平均半径所作圆的面积为平均半径所作圆的面积为平均半径所作圆的面积为平均半径所作圆的面积第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转三、切应力互等定理三、切应力互等定理acddxb dy tzyx切应力互等定理：切应力互等定理：切应力互等定理：切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，在单元体相互垂直的两个截面上，在单元体相互垂直的两个截面上，在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线线线线第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转纯剪应力状态：纯剪应力状态：纯剪应力状态：纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而单元体上四个侧面上只有切应力，而单元体上四个侧面上只有切应力，而单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力作用无正应力作用无正应力作用无正应力作用四、剪切虎克定律四、剪切虎克定律acddxb dy tzyx 单元体单元体单元体单元体abab边的倾角边的倾角边的倾角边的倾角 称为切称为切称为切称为切应变，切应变是单元体直角的该应变，切应变是单元体直角的该应变，切应变是单元体直角的该应变，切应变是单元体直角的该变量，实验表明，在弹性范围内，变量，实验表明，在弹性范围内，变量，实验表明，在弹性范围内，变量，实验表明，在弹性范围内，切应力与且应变成正比，即：切应力与且应变成正比，即：切应力与且应变成正比，即：切应力与且应变成正比，即：G G：剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量G G、与弹性模量、与弹性模量、与弹性模量、与弹性模量E E和泊松比和泊松比和泊松比和泊松比 一样，一样，一样，一样，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆杆扭转实验观察1 1 横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设2 2 轴向无伸缩，横截面上没有正应力轴向无伸缩，横截面上没有正应力轴向无伸缩，横截面上没有正应力轴向无伸缩，横截面上没有正应力3 3 纵向线变形后仍为平行线纵向线变形后仍为平行线纵向线变形后仍为平行线纵向线变形后仍为平行线第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件二、等直圆杆扭转横截面上的切应力二、等直圆杆扭转横截面上的切应力dxADCBO1O2CBdxRO1O2abcdDBACbcBC1 1 变形的几何条件变形的几何条件变形的几何条件变形的几何条件横截面上横截面上横截面上横截面上b b点的切应变点的切应变点的切应变点的切应变单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件2 2 物理条件（剪切虎克定律）物理条件（剪切虎克定律）物理条件（剪切虎克定律）物理条件（剪切虎克定律）横截面上横截面上横截面上横截面上b b点的切应变：点的切应变：点的切应变：点的切应变：3 3 静力条件静力条件静力条件静力条件dAO2bdAT称为截面对圆心的称为截面对圆心的称为截面对圆心的称为截面对圆心的极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件4 4 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩ODdDd环形截面：环形截面：环形截面：环形截面：极惯性矩单位：极惯性矩单位：极惯性矩单位：极惯性矩单位：m4第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件 同一截面，扭矩同一截面，扭矩同一截面，扭矩同一截面，扭矩T T，极惯性矩，极惯性矩，极惯性矩，极惯性矩I IP P为常数，因此各点为常数，因此各点为常数，因此各点为常数，因此各点切应力切应力切应力切应力 的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂成正比，方向垂成正比，方向垂成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致直于圆的半径，且与扭矩的转向一致直于圆的半径，且与扭矩的转向一致直于圆的半径，且与扭矩的转向一致TT实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处最大切应力在外圆处最大切应力在外圆处最大切应力在外圆处第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件5 5 最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力令：令：令：令：称为称为称为称为抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数单位：单位：单位：单位：实心圆截面：实心圆截面：实心圆截面：实心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件例题例题1 1 已知空心圆截面的扭矩已知空心圆截面的扭矩T=1kNm，D=40mm，d=20mm，求最，求最大、最小切应力。大、最小切应力。解：解：TDd第四节第四节 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件三、圆轴扭转时的强度条件三、圆轴扭转时的强度条件第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形MeMe单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角 当当当当T T、GIGIP P为常数时，长为为常数时，长为为常数时，长为为常数时，长为l l的干段两端相对扭转角的干段两端相对扭转角的干段两端相对扭转角的干段两端相对扭转角为：为：为：为：GIGIP P为为为为抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件二、刚度条件二、刚度条件单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题例题1 1 图示圆轴，已知：图示圆轴，已知：mA=1kNm，mB=3kNm，mC=2kNm；l1=0.7m，l2=0.3m，=60MPa,=0.3o/m,G=80GPa。试选择该轴。试选择该轴的直径。的直径。mAmBmCABCl1l2解：解：1kNm2kNm扭矩图扭矩图（1 1）按强度条件）按强度条件第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件mAmBmCABCl1l2（2 2）按刚度条件）按刚度条件该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题例题2 图示圆轴，已知：图示圆轴，已知：mA=1.4kNm，mB=0.6kNm，mC=0.8kNm；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m，=60MPa,=1o/m,G=80GPa。试校核该轴的强度和刚度，并计。试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。算两端面的相对扭转角。mCmAmBCABl2l1d1d2解：解：扭矩图扭矩图0.8kNm0.6kNm（1 1）按强度校核）按强度校核第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件满足强度条件满足强度条件（2 2）按刚度校核）按刚度校核不满足刚度条件不满足刚度条件第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件（3 3）两端相对扭转角）两端相对扭转角第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题例题2 长为长为l=2m的圆杆受均布力偶，的圆杆受均布力偶，m=20Nm/m的作用，如图，若的作用，如图，若杆的内外径之比为杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力许用切应力=30MPa,试设试设计杆的外径；计杆的外径；=2o/m。试校核此杆的刚度，并求右端面的扭转角。试校核此杆的刚度，并求右端面的扭转角。20Nm/m解：解：（1 1）设计圆杆的外径）设计圆杆的外径2m第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件20Nm/m2m第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件（2 2）刚度校核）刚度校核（3 3）右端面扭转角）右端面扭转角第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题例题3 图示圆轴，图示圆轴，BC段为空心，已知：段为空心，已知：D=50mm，d=25mm，a=250mm；G=80GPa。试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。0.5kNm 0.3kNm 0.8kNmABCababDd11223344解：解：本题应分本题应分4 4段考虑段考虑第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件abab0.5kNm 0.3kNm 0.8kNmABCDd11223344扭矩图扭矩图1kNm0.5kNm0.8kNm第五节第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件abab0.5kNm 0.3kNm 0.8kNmABCDd11223344第五章第五章 截面的几何性质截面的几何性质主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮主讲教师：郑新亮23 一月 2023截面的几何性质截面的几何性质 为什么要研究截面图形的几何性质？为什么要研究截面图形的几何性质？研究杆件的应力与变形，研究失效问题研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度和稳定问题，都要涉及到与以及强度、刚度和稳定问题，都要涉及到与截面的几何形状和尺寸有关的量，这些量统截面的几何形状和尺寸有关的量，这些量统称为几何量。称为几何量。包括：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、包括：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、包括：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、包括：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积主轴等等极惯性矩、惯性积主轴等等极惯性矩、惯性积主轴等等极惯性矩、惯性积主轴等等第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置xzy质心：质心：质量的中心质量的中心mirCri有限质点系有限质点系第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置有限质点系：有限质点系：有限质点系：有限质点系：无限质点系：无限质点系：无限质点系：无限质点系：矢量式矢量式矢量式矢量式分分分分量量量量式式式式有限质点系：有限质点系：有限质点系：有限质点系：无限质点系：无限质点系：无限质点系：无限质点系：质心坐标质心坐标质心坐标质心坐标是质点坐是质点坐是质点坐是质点坐标的质量标的质量标的质量标的质量加权平均加权平均加权平均加权平均第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置重心：重心：重力合力的作用点重力合力的作用点有限质点系：有限质点系：有限质点系：有限质点系：无限质点系：无限质点系：无限质点系：无限质点系：第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置1 1 形心：形心：图形几何形状的中心图形几何形状的中心y0 xdAxyCyCxC第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置2 2 静矩：静矩：令：令：定义：定义：定义：定义：为图形对为图形对为图形对为图形对x x、y y轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置3 3 形心与静矩的关系：形心与静矩的关系：截面对通过形心的轴的静矩恒等于零截面对通过形心的轴的静矩恒等于零截面对通过形心的轴的静矩恒等于零截面对通过形心的轴的静矩恒等于零若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心面的形心面的形心面的形心4 4 组合图形的静矩和形心：组合图形的静矩和形心：静矩静矩静矩静矩形心形心形心形心第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置例题例题1 1 求图示图形的形心求图示图形的形心解：解：2010010020yx0A1yC1A2yC2C4080第一节第一节 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置例题例题2 2 求图示图形的形心求图示图形的形心101020020200A1yC1解：解：yx0A2yC2A3yC3C65155第二节第二节 极惯性矩极惯性矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积y0 xdAxy1 1 惯性矩：惯性矩：2 2 惯性积：惯性积：3 3 极惯性矩：极惯性矩：4 4 惯性半径：惯性半径：第二节第二节 极惯性矩极惯性矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积5 5 简单几何形状的惯性矩：简单几何形状的惯性矩：（1 1 1 1）矩形）矩形）矩形）矩形bhyx0dyy 坐标系中含有对称轴时，图形对该坐标系的惯性坐标系中含有对称轴时，图形对该坐标系的惯性坐标系中含有对称轴时，图形对该坐标系的惯性坐标系中含有对称轴时，图形对该坐标系的惯性积为零。积为零。积为零。积为零。第二节第二节 极惯性矩极惯性矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积（2 2 2 2）圆形）圆形）圆形）圆形yx0dyyd2x第二节第二节 极惯性矩极惯性矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积yx0d第二节第二节 极惯性矩极惯性矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积rdrR第三节第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式y0 xy101x1badAyxy1x1坐标变换：坐标变换：坐标变换：坐标变换：同理：同理：同理：同理：第三节第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式若若若若x x、y y轴过图形形心轴过图形形心轴过图形形心轴过图形形心C C，则：，则：，则：，则：图形对任意轴的惯性矩，图形对任意轴的惯性矩，图形对任意轴的惯性矩，图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行等于图形对于与该轴平行等于图形对于与该轴平行等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图的形心轴的惯性矩加上图的形心轴的惯性矩加上图的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平形面积与两平行轴间距平形面积与两平行轴间距平形面积与两平行轴间距平方的乘积；方的乘积；方的乘积；方的乘积；图形对于任意一对直角坐标图形对于任意一对直角坐标图形对于任意一对直角坐标图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于轴的惯性积，等于图形对于轴的惯性积，等于图形对于轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的形心轴的平行于该坐标轴的形心轴的平行于该坐标轴的形心轴的平行于该坐标轴的形心轴的惯性积，加上图形面积与两惯性积，加上图形面积与两惯性积，加上图形面积与两惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距的乘积；对平行轴间距的乘积；对平行轴间距的乘积；对平行轴间距的乘积；图形对于形心的惯性矩最小，图形对于形心的惯性矩最小，图形对于形心的惯性矩最小，图形对于形心的惯性矩最小，而由形心轴移轴后所得的惯而由形心轴移轴后所得的惯而由形心轴移轴后所得的惯而由形心轴移轴后所得的惯性积有可能增加也有可能减性积有可能增加也有可能减性积有可能增加也有可能减性积有可能增加也有可能减少。少。少。少。第三节第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式例题例题1 1 求图示图形对其形心轴求图示图形对其形心轴Xc轴的惯性矩轴的惯性矩100yx0A1yC1A2yC2C408010020 xC解：解：第四节第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律y0 xyxy1x1x1y1坐标变换：坐标变换：坐标变换：坐标变换：第四节第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式写写写写成成成成倍倍倍倍角角角角形形形形式式式式第四节第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式当当当当=0 0时，使