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结构动力学问题的有限元法本讲稿第一页，共三十四页工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达；工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达；受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需要进行动态分析，以了解产品动态特性。要进行动态分析，以了解产品动态特性。本讲稿第二页，共三十四页本讲稿第三页，共三十四页动载荷（又称动力分析）动载荷（又称动力分析）固有特性分析固有特性分析响应分析响应分析固固有有频频率率振振型型位位移移响响应应速速度度响响应应加加速速度度响响应应动动应应变变动动应应力力本讲稿第四页，共三十四页固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。本讲稿第五页，共三十四页第一节第一节 动态分析有限元法的特点动态分析有限元法的特点一、载荷特点一、载荷特点 结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。这是与静力分析的一个根这是与静力分析的一个根本区别。本区别。二、位移特点二、位移特点 1、节点位移、节点位移q不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节节点位移点位移q作为基本未知量。作为基本未知量。2、节点具有速度、节点具有速度 加速度。加速度。本讲稿第六页，共三十四页3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移一般仍采用与静力分析相同的形函数，一般仍采用与静力分析相同的形函数，N。当单元数量较多时，上述。当单元数量较多时，上述插值可以得到较好的插值精度。插值可以得到较好的插值精度。4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为 但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t变化的函数。变化的函数。本讲稿第七页，共三十四页5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。整个结构的平衡方程为整个结构的平衡方程为式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶常微分方程组。常微分方程组。求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模。求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模。本讲稿第八页，共三十四页第二节第二节 动态分析有限元法的一般步骤动态分析有限元法的一般步骤本讲稿第九页，共三十四页一、结构离散一、结构离散该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求有可能不一样。有可能不一样。静力分析：要求在应力集中部位加密网格；静力分析：要求在应力集中部位加密网格；动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求整个结构采用尽可能均匀的网格形式。整个结构采用尽可能均匀的网格形式。本讲稿第十页，共三十四页二、单元分析二、单元分析单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。动态分析中，动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。本讲稿第十一页，共三十四页在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 ，则单元，则单元内也产生相应的虚位移内也产生相应的虚位移 和虚应变和虚应变 。单元内产生的虚应变能为。单元内产生的虚应变能为:单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 和阻尼力和阻尼力 ，其中，其中为材料密度，为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：式中，式中，Pv、Ps、Pc分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；集中力；V为单元面积；为单元面积；A为单元面积。为单元面积。本讲稿第十二页，共三十四页由于由于且形函数仅为坐标且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有的函数，与时间无关，因此有根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为代入经整理，可得单元运动方程为本讲稿第十三页，共三十四页式中式中分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。本讲稿第十四页，共三十四页在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。1、一致质量矩阵、一致质量矩阵按按 形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函数的形式。数的形式。本讲稿第十五页，共三十四页2、集中质量矩阵、集中质量矩阵集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩阵。集中质量矩阵是一个对角阵，阵。集中质量矩阵是一个对角阵，本讲稿第十六页，共三十四页集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。本讲稿第十七页，共三十四页三、总体矩阵集成三、总体矩阵集成 总体矩阵集成的任务是将各单元特性矩阵装配成整个结构的特性矩阵，总体矩阵集成的任务是将各单元特性矩阵装配成整个结构的特性矩阵，从而建立整体平衡方程，即从而建立整体平衡方程，即式中，式中，q为所以节点位移分量组成的为所以节点位移分量组成的n阶列阵，阶列阵，n为结构总自由度数；为结构总自由度数；（i为节点数），称为节点载荷列阵；为节点数），称为节点载荷列阵；K、M、C分别为结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。分别为结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。本讲稿第十八页，共三十四页其中其中K与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵M、C也采用与也采用与K相同的集成方式，即相同的集成方式，即矩阵矩阵K、M和和C均为均为n阶对称阵。阶对称阵。本讲稿第十九页，共三十四页四、固有特性分析四、固有特性分析 结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。的振型，二是为响应分析提供必要依据。本讲稿第二十页，共三十四页 由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。尼自由振动方程计算固有特性。式中，式中，为简谐振动圆频率；为简谐振动圆频率；为节点振幅列向量。为节点振幅列向量。由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为本讲稿第二十一页，共三十四页 将解代入振动方程中，同时消去因子将解代入振动方程中，同时消去因子ejt，可得，可得振型振型i是结构按频率是结构按频率i振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系，振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系，它反映了结构振动的形式，并不是振幅的绝对大小。它反映了结构振动的形式，并不是振幅的绝对大小。上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出n个特个特征值征值 和相对应的和相对应的n个特征向量个特征向量 。其中特。其中特征值征值i(i=1,2,.,n)就是结构的就是结构的i阶固有频率，特征向量阶固有频率，特征向量i i(i=1,2,.,n)就是结构就是结构的的i阶模态振型。阶模态振型。本讲稿第二十二页，共三十四页 固有特性分析实际上就是求解广义特征值问题。求解的数值方法主要有固有特性分析实际上就是求解广义特征值问题。求解的数值方法主要有1、变换法、变换法基本思想是通过一系列矩阵变换，将矩阵基本思想是通过一系列矩阵变换，将矩阵MK化为对角阵，化为对角阵，变换后的特征值不变，即原问题与特征值问题变换后的特征值不变，即原问题与特征值问题具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征值和特征向量。该方法主要用于一些小型问题的求解。值和特征向量。该方法主要用于一些小型问题的求解。本讲稿第二十三页，共三十四页 2、迭代法、迭代法是对一选取的初始向量是对一选取的初始向量 和迭代公式和迭代公式求一向量序列求一向量序列 使它收敛于与使它收敛于与 绝对值最大的特征值相应绝对值最大的特征值相应的特征向量，在满足收敛精度时，以的特征向量，在满足收敛精度时，以 作为作为 的特征量，再求出相应的特的特征量，再求出相应的特征值。征值。先求特征向量，再求特征值，且从低阶到高阶依次求出各阶特征对，该法先求特征向量，再求特征值，且从低阶到高阶依次求出各阶特征对，该法只适合求解只适合求解35个低阶特征对。个低阶特征对。子空间迭代法，求大型结构的少数特征对。子空间迭代法，求大型结构的少数特征对。本讲稿第二十四页，共三十四页五、响应分析五、响应分析 响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组，的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组，求解主要有求解主要有1、振型叠加法、振型叠加法根据结构振动理论，在动载荷作用下，结构动态响应可以表示为其各阶根据结构振动理论，在动载荷作用下，结构动态响应可以表示为其各阶主模态振型的线性叠加，即主模态振型的线性叠加，即2、直接积分法、直接积分法是一种纯粹的数值方法。是一种纯粹的数值方法。连续时间区域连续时间区域 离散离散 为为n1离散点离散点 时间间隔时间间隔T/n 每个时间间隔上的状态向量每个时间间隔上的状态向量本讲稿第二十五页，共三十四页瞬态分析-术语和概念求解方法求解运动方程求解运动方程直接积分法直接积分法模态叠加法模态叠加法隐式积分隐式积分显式积分显式积分完整矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法缩减矩阵法完整矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法缩减矩阵法本讲稿第二十六页，共三十四页五、约束处理和求解线性方程组五、约束处理和求解线性方程组 本讲稿第二十七页，共三十四页制作振型动画：PlotCtrls Animate Mode Shape.循环对称结构的模态分析观察结果（接上页）典型命令：典型命令：ANMODE，10，0.05本讲稿第二十八页，共三十四页循环对称结构的模态分析观察结果（接上页）本讲稿第二十九页，共三十四页循环对称结构的模态分析观察结果（接上页）本讲稿第三十页，共三十四页循环对称结构的模态分析观察结果（接上页）本讲稿第三十一页，共三十四页盘片循环对称结构的模态分析本讲稿第三十二页，共三十四页这是一个对模型飞机翅膀这是一个对模型飞机翅膀的模态分析的模态分析的例题的例题本讲稿第三十三页，共三十四页汽车相撞的汽车相撞的动态分析动态分析本讲稿第三十四页，共三十四页
