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计算机控制系统理论基础本讲稿第一页，共七十页二、采样过程二、采样过程所所谓谓采采样样过过程程，就就是是利利用用采采样样开开关关将将连连续续信信号号转转换换成成离离散散信信号号的过程。的过程。如如图图2-2所所示示，采采样样开开关关每每隔隔一一定定时时间间T闭闭合合一一次次，每每次次闭闭合合持持续续时时间间为为，由由于于远远小小于于采采样样周周期期T，也也远远小小于于系系统统中中连连续续部部份份的的时时间间常常数数，因因此此在在分分析析采采样样系系统统时时，可可近近似似忽忽略略不不计计。于于是是，原原来来在时间上连续的信号就变成了离散的信号。在时间上连续的信号就变成了离散的信号。因因此此，采采样样过过程程可可视视为为单单位位理理想想脉脉冲冲序序列列被被输输入入的的连连续续信信号号进进行行幅值调制的过程，采样过程的数学描述为：幅值调制的过程，采样过程的数学描述为：第二章 1-2本讲稿第二页，共七十页第二章 1-3图2-2 采样过程本讲稿第三页，共七十页第二章 1-4（2-1）其中其中（2-2）称为单位理想脉冲序列。称为单位理想脉冲序列。由由于于离离散散信信号号仅仅在在采采样样时时刻刻有有效效，而而处处的的值值即即为为，故故式式（2-1）也可写作：也可写作：（(2-3)本讲稿第四页，共七十页 第二章 1-5采样的幅值调制过程如图2-3所示。图2-3*对单位脉冲序列的调制本讲稿第五页，共七十页三、采样定理三、采样定理由采样过程不难发现，采样周期由采样过程不难发现，采样周期T越短，采样信号越短，采样信号 就越接就越接近被采样信号近被采样信号 。反之，。反之，T T 越大，越大，与与f(t)f(t)的差别就越大。的差别就越大。第二章 1-6图2-4 f(t)及f*(t)的频谱a)f(t)的频谱 b)f*(t)的频谱f*(t)本讲稿第六页，共七十页通常连续信号（模拟信号）的频谱宽度是有限的，一般为一孤立频谱。为保证采样信号f*(t)的频谱是f(t)的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），以便f*(t)采样信号能反映被采样信号f(t)的变化规律，采样频率至少应是f(t)频谱的最高频率 的 两倍，即第二章 1-7这就是著名的采样定理，即香农(shannon)定理。本讲稿第七页，共七十页第二章 1-8第二节第二节 零阶保持器零阶保持器一、信号复现一、信号复现保持器是将采样信号复现为连续信号的装置。a)b)图2-5 理想滤波器及其输出信号频谱a)理想的滤波器b)滤波器输出信号频谱 本讲稿第八页，共七十页第二章 1-9二、零阶保持器二、零阶保持器零阶保持器的作用是把前一采样时刻kT的采样值一直保持到下一个采样时刻(k+1)T，从而使采样信号f*(t)变为阶梯信号fk(t)，图2-6所示为其输入、输出特性。图2-6 零阶保持器的输入输出特性 本讲稿第九页，共七十页 第二章 1-10若给零阶保持器的输入端加上单位脉冲，则输出为一个高度为1持续时间为T的矩形波gk(t)，gk(t)即脉冲响应函数，它可分解为两个单位阶跃函数的叠加，T01tT10t1图2-7 零阶保持器单位脉冲响应如图2-7所示，其表达式为：（2-4）本讲稿第十页，共七十页如图2-7所示，其表达式为：第二章 1-11（2-4）式中，T为采样周期。对式（2-4）取拉氏变换，得（2-5）令 ，得零阶保持器的频率特性（2-6）因为，那么上式可表示为 本讲稿第十一页，共七十页第二章 1-12（2-7）其频率特性如图2-8所示。图中采样角频率 。可见，零阶保持器在允许采样信号的主频分量通过的同时，还允许部分高频分量通过。因此，它不是一个理想的低通滤波器。另外它的相频特性具有滞后的相位移，对采样系统的稳定性带来不利影响。本讲稿第十二页，共七十页第四章 1-13图2-8 零阶保持的频率特性 本讲稿第十三页，共七十页第三节第三节z变换理论变换理论一、一、z变换的定义变换的定义如图2-3所示，对连续信号f(t)进行周期为T的采样f*(t)，可以得到采样信号,它是在采样时刻t=0,T,2T,定义的，即第二章 1-14对上式进行拉氏变换，可得到采样信号f*(t)的拉氏变换F*(s)（2-8）因复变量s含在e-kTs中，e-kTs是超越函数，不便于计算，故引进个新变量，令 本讲稿第十四页，共七十页第二章 1-15将F*(s)写作F(z)，把z=e-kTs代人式(2-8)中，便得到了以z为变量的函数，即 F(z)称为采样信号f*(t)的z变换。二、二、z变换的求法变换的求法求一个函数的z变换，常用的有直接法、部分分式法和留数法，这里只介绍直接法和部分分式法。1、直接法直接法就是直接根据z变换的定义式（2-9）来求一个函数的z变换。下面用一例来说明。本讲稿第十五页，共七十页第二章 1-16图图2-9 2-9 采样值相同的两个不同的连续函数采样值相同的两个不同的连续函数例2-1求单位阶跃1(t)函数的z变换。解令f(t)=1(t)，由z变换定义有本讲稿第十六页，共七十页第二章 1-17(2-10)将上式两端同时乘以z-1有式（2-10）减式（2-11）得 所以 例2-2求指数函数的e-z(0)变换。解令f(t)=e-t，由z变换的定义有本讲稿第十七页，共七十页第二章 1-18采用上例的方法，将上式写成闭合形式的z变换，有2、部分分式法设连续函数f(t)的拉氏变换F(s)为s的有理函数，将F(s)展开成部分分式形式式中，si为的非重极点，Ai为常系数。由拉氏反变换可知，与 项对应的时间函数为 ，由例2-2可知本讲稿第十八页，共七十页第二章 1-19所以（2-12）例2-3已知 ，求F(z)。解 由式（2-12）可得本讲稿第十九页，共七十页第二章 1-20可见，如果能将F(s)化成部分分式之和，然后根据式（2-12）便可方便地求取其z变换。附录中列出了常用函数的z变换表 三、三、Z变换的基本定理变换的基本定理 和拉氏变换一样，z变换有不少重要的性质，可用于演算或直接分析离散控制系统，这里介绍其中最常用的几条。1、线性定理对于任何常数和，若 ，若 ，则（2-13）2、延迟定理 若Zf(t)=F(z)，则（2-14）本讲稿第二十页，共七十页第二章-21即离散信号在时域内延迟T，则其z变换应乘以z-1，所以z-1可看作是滞后一个采样周期的算子。3、超前定理若Zf(t)=F(z)，则（2-15）特殊地，如果初始值为零，即则（2-16）由此可以进一步明确算子z的物理意义：在满足初始条件为零的前提下，z1代表超前一个采样周期。4、复位移定理若Zf(t)=F(z)，则本讲稿第二十一页，共七十页第二章 1-22(2-17)5、复微分定理 若 Zf(t)=F(z)，则(2-18)6、初值定理若 Zf(t)=F(z)，则（2-19）利用初值定理，对于已知z变换系统，可以求取其初值。7、终值定理若 Zf(t)=F(z)，则(2-20)终值定理是研究离散系统稳态误差的重要数学工具。例2-4已知 ，求终值f()。本讲稿第二十二页，共七十页第二章 1-23解 8、卷积定理设则 四、四、z反变换反变换由f(t)的z变换F(z)，求其相对应的脉冲序列f*(t)或数值序列f(kT)，称为z反变换，表示为需数值序列时 需脉冲序列时 本讲稿第二十三页，共七十页第二章 1-24z变换对应的脉冲序列和数值序列都是唯一的，但对应的时间函数不唯一。1、直接除法z变换的闭合形式是z-1的多项式之比，因此可以用直接除法把它们变换成开放形式，即式中f(0),f(T),f(2T)，的即为所求的数值序列。例例2-5求下列函数的z反变换：解解 本讲稿第二十四页，共七十页第二章 1-25得即2、部分分式法直接除法只有在只需数值序列的最初几个数值时才可用。（1）特征方程无重根的情况 例例2-6 求下列的z反变换：本讲稿第二十五页，共七十页第二章 1-26解解 的特征方程式为此式表明特征方程无重根，设故根据附录可知 由于 ，所以本讲稿第二十六页，共七十页 第二章 1-27（2）特征方程有重根的情况例例2-7求下列函数的z反变换：解解 F(z)的特征方程式为此式表明特征方程有重根，设本讲稿第二十七页，共七十页第二章 1-28故 根据附录可知，本讲稿第二十八页，共七十页第二章 1-29所以有 3、留数法经推导，可得z反变换公式（2-22）例2-8已知 ，试用留数法求 。解：本讲稿第二十九页，共七十页第二章 1-30其极点为：，故 本讲稿第三十页，共七十页 第二章 1-31第四节第四节 采样控制系统的数学模型采样控制系统的数学模型一、线性常系数差分方程及其解法一、线性常系数差分方程及其解法采样系统的动态过程可用差分方程描述，并可采用z变换法使时域中的差分方程转化为z域中的代数方程进行求解。1、差分的定义、差分的定义设采样信号f(kT)，并令T=1s一阶前向差分定义为(2-23)二阶前向差分定义为本讲稿第三十一页，共七十页第二章 1-32二阶前向差分定义为(2-24)n阶前向差分定义为(2-25)本讲稿第三十二页，共七十页第二章 1-33同理，一阶后向差分定义为二阶后向差分定义为n阶后向差分定义为：本讲稿第三十三页，共七十页 第二章 1-342、用z变换法解差分方程若方程的变量除了含有f(k)以外，还有f(k)的差分 ，则称该方程为差分方程。对于线性定常系统，其线性定常差分方程可表示为：=式中，,为常系数，r(k)为输入信号；c(k)为输出信号。例例2-9 用z变换解下列差分方程 本讲稿第三十四页，共七十页第二章 1-35初始条件为：解解 对上式进行z变换得代入初始条件，并解得 查表得可见，用z变换法解线性常系数差分方程时，关键在于求z反变换。本讲稿第三十五页，共七十页第二章 1-36二、脉冲传递函数的定义二、脉冲传递函数的定义与此类似，在采样控制系统中，也是在初始静止（输入量r(-1),r(-2),和输出量c(-1),c(-2),均为零）的条件下，一个环节（系统）的输出脉冲序列的z变换与输入脉冲序列的z变换之比，被定义为该环节（系统）的脉冲传递函数。在图2-10所示的环节中，若R(z)和是C(z)初始静止条件下的输入脉冲序列和输出脉冲序列的z变换，则该环节的脉冲传递函数为图2-10 字环节脉冲传递函数 数本讲稿第三十六页，共七十页第二章 1-37三、开环系统（或环节）的脉冲传递函数三、开环系统（或环节）的脉冲传递函数1、串联环节的环脉冲传递函数a)b)图2-11 串联环节框图的两种形式a）两环节间有采样开关 b）两环节间无采样开关在图2-11a中，串联环节之间有采样器隔开本讲稿第三十七页，共七十页第二章 1-38所以(2-26)一般，几个串联环节之间都有采样器隔开时，等效的脉冲传递函数等于几个环节的脉冲传递函数之积。在图2-11b中，两个串联环节之间无采样器隔开，因此为简化起见，表示为(2-27)本讲稿第三十八页，共七十页第二章 1-39所以，等效的脉冲函数为（2-28）z变换的乘积和传递函数乘积的z变换是不同的，即显然，下面分析一下离散系统中的连续元件。对于这些元件，由于输入、输出端存在有或无采样开关两种情况，使输入、输出关系变得较为复杂。图2-12给出了这些元件可能存在的输入、输出情况。本讲稿第三十九页，共七十页第二章 1-40a)b)c)d)图2-12 连续元件的四种输入、输出情况a）连续输入，连续输出b）连续输入，采样输出c）采样输入，采样输出d）采样输入，连续输出 本讲稿第四十页，共七十页第二章 1-41对图2-12a，连续输入，连续输出：C(s)=G(s)R(s)。对图2-12b，连续输入，采样输出：C(z)=ZR(s)G(s)=RG(z)。对图2-12c，采样输入，采样输出：C(z)=R(z)G(z)。对图2-12d，采样输入，连续输出：如果不必掌握所有时刻的输出c(t)，而只需注意采样瞬间c*(t)的信号，则可以在输出端人为地附加一个理解的采样开关，这时，元件的输出就和图2-12c情况相同，即C(z)=R(z)G(z)。2、有零阶保持器的开环脉冲传递函数系统的结构如图2-13所示r*(t)r(t)G(s)C(t)C*(t)图2-13 有零阶保持器的开环系统本讲稿第四十一页，共七十页其开环传递函数为因为 中包含两个分量，一个分量是输入采样信号 经 后所产生的 响应，其z变换另一个分量是输入采样r*(t)信号经 所产生的响应 ，而e-Ts是一个延迟环节，因此 所以本讲稿第四十二页，共七十页故开环脉冲传递函数为 例2-10具有零阶保持器的开环采样系统结构图如图2-13所示，其中T=1秒，试求脉冲传递函数G(z)。解：因为本讲稿第四十三页，共七十页所以有 本讲稿第四十四页，共七十页四、闭环系统脉冲传递函数四、闭环系统脉冲传递函数闭环脉冲传递函数，是指系统的输出信号和输入信号的z变换之比。例2-11求图2-14所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。D(z)、G(z)分别表示计算机和连续部分的脉冲传递函数。图2-14 典型计算机控制系统 本讲稿第四十五页，共七十页解：由于输入、输出信号都是连续信号，不能直接作z变换。为了清楚地表示闭环传递函数是C(z)和R(z)之比，在图中用虚线画出虚拟的采样开关，两个采样开关是同步的，采样周期是T，由图2-14得又因为 所以 消去中间变量可得本讲稿第四十六页，共七十页所以 教材P25表2-1列出了常见的采样系统（包括开环和闭环）及其C(z)的表达式。读者可对表中所列的系统进行分析，进一步熟悉闭环脉冲传递函数的求取。有些系统仅仅只能求得输出的表达式C(z)，而求不到闭环的脉冲传递函数。本讲稿第四十七页，共七十页第五节第五节采样控制系统的稳定性分析采样控制系统的稳定性分析在z平面上研究采样系统的稳定性，最重要的是必须弄清s平面与z平面的关系。1、z平面与s平面的关系根据z变换的定义(2-29)其中s是复变量，即 代入式（2-29）中得本讲稿第四十八页，共七十页不难看出，在s平面的虚轴上，,那么在z平面上为即s平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆。即s平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆。同时，s左半平面内的点，有 ，则 ，对应于z平面上的单位圆内；反之，s右半平面上的点，有 ，对应于z平面上的单位圆外。2、z域稳定条件采样控制系统稳定的充要条件是闭环系统的特征根均位于z平面的单位圆之内；若有一个或一个以上的闭环特征根在单位圆外，系统就不稳定；若有一个或一个以上在单位圆上时，系统就处于临界稳定。本讲稿第四十九页，共七十页分析采样系统稳定性，最直接的是解出特征根，或者根据特征方程各系数来判别稳定性，如劳斯判据等。二、劳斯稳定判据二、劳斯稳定判据在连续系统中，劳斯判据是基于判别闭环特征根是否均位于s左半平面，从而确定系统的稳定性。在采样系统中，由于稳定性取决于根是否全在单位圆内，所以不能直接引用劳斯判据，必须寻求一种变换，使z平面上单位圆内映射到一个新平面的虚轴之左，我们称该新平面为平面。然后，便可直接应用劳斯判据了。根据双线性变换或(2-30)式中，z、w均为复变量。令 本讲稿第五十页，共七十页则由式（2-30）有 因为平面的虚轴对应于，即 或（z平面的单位圆方程）可见，z平面的单位圆内的点，即 ，对应于平面虚轴之左半平面（u0）。本讲稿第五十一页，共七十页例例2-13设采样控制系统的特征方程为试用劳斯判据判别稳定性。解：解：因为 代入D(z)中，有本讲稿第五十二页，共七十页化简得 列劳斯表 由于第一列元素的符号有两次改变，则有两个根在右半平面，即有两个根处于平面单位圆外，故该系统不稳定。本讲稿第五十三页，共七十页第六节第六节 采样控制系统的稳态误差分析采样控制系统的稳态误差分析采样控制系统稳态误差的概念，与连续控制系统十分相似。下面以单位反馈系统为例，讨论采样系统的稳态误差和误差系数。系统如图2-16所示，因为应用终值定理，得系统的稳态误差为（2-31）本讲稿第五十四页，共七十页图2-16 单位反馈系统上式说明，和连续系统一样，采样系统的稳态误差，不仅与系统结构、参数有关，而且与输入信号有关。下面分别讨论三种典型输入信号的稳态误差。一、单位阶跃输入一、单位阶跃输入本讲稿第五十五页，共七十页令，称为位置误差系数。对于0型系统，G(z)没有z=1的极点，Kp为有限值（2-32）对于型系统或高于型的，G(z)有一个或一个以上z=1的极点，（2-33）本讲稿第五十六页，共七十页二、单位斜坡输入二、单位斜坡输入令，称为速度误差系数。对于0型系统，G(z)没有z=1的极点，Kp为有限值（2-32）本讲稿第五十七页，共七十页对于型系统，G(z)有一个或一个以上z=1的极点，Kp=e()=0三、单位加速度输入三、单位加速度输入（2-34）令 ，称为加速度误差系数。本讲稿第五十八页，共七十页对于0型、型系统（2-37）对于型系统 Ka=有限值，=有限值对于型或高于型系统 下表列出了不同典型输入信号作用时各类系统的稳态误差。本讲稿第五十九页，共七十页本讲稿第六十页，共七十页第七节第七节 采样控制系统的动态性能分析采样控制系统的动态性能分析本节主要介绍如何在时域中求取采样系统的时间响应，以及定性分析平面上闭环极点分布与瞬态响应的关系。一、采样系统的时间响应一、采样系统的时间响应在系统的动态性能指标中，最重要的两个指标是反映系统快速性的调整时间和反映系统阻尼特性的超调量。若采样控制系统的闭环脉冲传递函数为(z)，则系统对单位阶跃输入的输出响应为应用长除法，将分子分母相除，再用z反变换，即可得C*(t)。对一个稳定性较好的系统，过渡过程在有限个采样周期结束，故只需相除前几项，就能求得ts、等指标。下面我们通过实例介绍这种方法。本讲稿第六十一页，共七十页例2-14 求图2-17所示系统的ts、近似值。已知K=2，a=0.368，T=0。1s。图2-17 例2-14中的二阶系统解本讲稿第六十二页，共七十页闭环脉冲传递函数为系统的单位阶跃响应为 将分子分母相除，可得本讲稿第六十三页，共七十页因此采样输出为将输出采样函数c*(t)在采样时刻的值用标于图2-18中，圆滑连接图中各点，便得到了系统输出响应曲线c(t)的大致波形，由该波形曲线可得本讲稿第六十四页，共七十页图2-18 例2-14的输出响应二、闭环极点分布与瞬态响应的关系二、闭环极点分布与瞬态响应的关系1、实轴上的单极点本讲稿第六十五页，共七十页如果系统的闭环脉冲传递函数 中有一个实轴上的单极点 ，则相应的部分分式展开式中有一项为在单位脉冲作用下，对应于这一项的输出序列为对于a的不同位置，会有不同的c(k)序列，如图2-19所示。a1,c(k)是发散序列。a=1,c(k)是等幅脉冲序列。a a1，c(k)是单调衰减正序列。本讲稿第六十六页，共七十页a=-1，c(k)是交替变号的等幅脉冲序列。a-1，c(k)是交替变号的发散序列。显然，当a在单位圆内时，序列c(k)是收敛的，而且|a|越小，c(k)衰减越快。2、共轭复数极点设系统有一对共轭极点z=ajb，可以证明这一对共轭极点产生的输出序列为式中，d和 都是由部分分式展开式的系数所决定的常数，而本讲稿第六十七页，共七十页图2-19 实轴上根的位置和动态响应关系 本讲稿第六十八页，共七十页极点在z平面上的位置是由a、b确定的。如图2-20所示。图2-20 共轭极点的位置和动态响应的关系本讲稿第六十九页，共七十页 和，极点在单位圆外，c(k)振荡且发散。和，极点在单位圆上，c(k)等幅振荡。和，极点在单位圆内，c(k)衰减振荡。本讲稿第七十页，共七十页