量子力学的矩阵形式与表象变换精选文档.ppt

量子力学的矩阵形式与表象变换本讲稿第一页，共二十八页4.5.1 4.5.1 量子态的不同表象，幺正变换。量子态的不同表象，幺正变换。1 1、同一矢量、同一矢量A A的不同坐标表示及其变换。的不同坐标表示及其变换。同一同一量子态量子态的不同的不同表象表象表示及其变换类似于同一表示及其变换类似于同一矢量矢量A A的不同的不同坐标坐标表示及其变换。表示及其变换。A A）.取一个坐标系，相当取三个基矢取一个坐标系，相当取三个基矢:三个基矢是正交归一：三个基矢是正交归一：e ei ie ej j=ijijB B）任一矢量可按基矢）任一矢量可按基矢 e ei i 展开：展开：A AA A1 1e e1 1+A+A2 2e e2 2+A+A3 3e e3 3矢量可按展开系数即坐标来表示：矢量可按展开系数即坐标来表示：其中，系数其中，系数A Ai i=(e=(ei i A)A)本讲稿第二页，共二十八页C C）.同一矢量同一矢量A A，取不同的坐标系，其坐标表示是不，取不同的坐标系，其坐标表示是不同的。不同坐标系同的。不同坐标系基矢基矢之间、同一矢量不同之间、同一矢量不同坐标表示坐标表示之间可以变换。这样的三维空间叫之间可以变换。这样的三维空间叫位形空间或牛顿空位形空间或牛顿空间。间。本讲稿第三页，共二十八页以二维坐标系间变换为例。以二维坐标系间变换为例。设新坐标系相对原坐标系顺时针设新坐标系相对原坐标系顺时针转过转过角。则角。则本讲稿第四页，共二十八页U是么正矩阵，是么正矩阵，UU1，即，即U+U=I。B称厄米共轭矩阵，定义：称厄米共轭矩阵，定义：这样变换称这样变换称么正变换么正变换练习，求证练习，求证U是么正矩阵。是么正矩阵。本讲稿第五页，共二十八页基矢变换：基矢变换：同一矢量不同坐标变换：同一矢量不同坐标变换：么正变换小结么正变换小结2、量子态的表象及其变换、量子态的表象及其变换设力学量，本征函数设力学量，本征函数n n,满足：满足：由由 U Un n 的完备性，任何态函数的完备性，任何态函数(x)(x)都可以用都可以用 U Un n 展开，展开，即即 (x)(x)n n a an n U Un n(x).(x).其中其中 a an nU Un n(x)(x)dx.(x)(x)dx.A）、量子态的表象定义）、量子态的表象定义本讲稿第六页，共二十八页现把力学量算符的本征函数现把力学量算符的本征函数n n看成是某多维看成是某多维坐标系的一套基矢坐标系的一套基矢,任何态函数任何态函数(x)(x)看成一个矢量，叫看成一个矢量，叫态矢。态矢。展开系数展开系数a ak k 就是坐标，排成单列矩阵：就是坐标，排成单列矩阵：量子力学把选定算符量子力学把选定算符Q Q与正交归一完备本征函数与正交归一完备本征函数 U Un n 称之称之为为表象表象。任一态。任一态(x)(x)按算符按算符Q Q的本征函数的本征函数 U Un n 展开系展开系数数a ak k 所成的所成的单列矩阵单列矩阵就是就是(x)(x)所描述的态在表所描述的态在表象的象的表示表示。本讲稿第七页，共二十八页B)B)、表象与三维空间的类比、表象与三维空间的类比 1）表象本征函数表象本征函数三维空间坐标系基矢三维空间坐标系基矢都都是正交归一是正交归一,但表象是多维的，甚至是无限维但表象是多维的，甚至是无限维的。的。这这种由无限或有限种由无限或有限维维的本征函数的本征函数作基矢构成作基矢构成的空的空间间叫叫希希尔尔伯特空伯特空间间 2）态函数（叫态矢）三维空间的矢量A；3 3）态函数在表象单列矩阵态函数在表象单列矩阵三维空间矢量三维空间矢量坐标表示；坐标表示；4 4）不同表象之间变换（表象变换）不同表象之间变换（表象变换）坐标系之间坐标系之间变换。变换。二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数）与展开二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数）与展开系数间的变换。系数间的变换。本讲稿第八页，共二十八页C C）表象例子）表象例子D D）不同表象间变换不同表象间变换设设F F表象，基矢为表象，基矢为k k,F F表象，基矢为表象，基矢为k k,a=Sa基矢变换：基矢变换：S-1，a=a=Sa本讲稿第九页，共二十八页有关矩阵知识有关矩阵知识(参考周世勋书参考周世勋书P250255）1对角矩阵对角矩阵Anm=amnm.2.2.转置矩阵转置矩阵3厄米共轭矩阵厄米共轭矩阵(或称共轭矩阵或称共轭矩阵)运算规则：运算规则：4.厄米矩阵厄米矩阵，当当A是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。5.么正矩阵么正矩阵，或或，称，称A为么正矩阵为么正矩阵。本讲稿第十页，共二十八页本征方程本征方程：AX=XX=XA是是nn方方阵阵，X是是n行行的的单单列列矩矩阵阵，称称本本征征矢矢，是常数，称本征值。是常数，称本征值。7.7.矩阵的本征方程与求解矩阵的本征方程与求解1).矩阵矩阵A A本征方程、本征矢与本征值本征方程、本征矢与本征值2).矩阵矩阵A A的本征方程求解的本征方程求解由由AX=X,X=X,得得 （A-II）X=0-X=0-（1 1）要有非零解，其系数矩阵行列式必须为要有非零解，其系数矩阵行列式必须为0 0，即即 ，称为，称为久期方程久期方程。具体形式具体形式为为：这这是是的的n n次次方方程程,解解出出的的n n个个根根i i(会会有有重重根根,这这是是简简并并情情况况),),就就是是n n个个本本征征值值.将将n n个个本本征征值值一一一一代代入入本本征征方方程程(1),(1),可可以以解解出出n n个个对对应应的的本本征征矢矢X Xi i(i=1,2,(i=1,2,n).n).本讲稿第十一页，共二十八页8.8.厄米矩阵的本征矢特点厄米矩阵的本征矢特点B.B.不不同同本本征征值值的的本本征征矢矢是是正正交的交的.当当ij时时,则则A.A.本征值是实数；本征值是实数；(列矩阵的本征矢正交定义列矩阵的本征矢正交定义:.).)（若简并情况下（若简并情况下k k个本征矢不正交个本征矢不正交,可以通过线性组合可以通过线性组合,变为正交的变为正交的k k个本征矢）个本征矢）.C.C.厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。.本征矢的归一化本征矢的归一化:.未归一的归一化系数未归一的归一化系数C C:.任意列矩阵任意列矩阵X X可用厄米矩阵的本征矢展开可用厄米矩阵的本征矢展开(练习练习1 1）本讲稿第十二页，共二十八页练习练习2 2，求，求x=的本征矢与本征值。的本征矢与本征值。9.9.矩阵迹（矩阵迹（spur or tracespur or trace）定义：定义：spA=spA=，（或写成（或写成trAtrA）.公式：公式：sp(AB)=sp(BA).sp(AB)=sp(BA).厄米矩阵重要性：厄米矩阵重要性：厄米算符厄米算符厄米矩阵，厄米矩阵，厄米算符的本征函数厄米算符的本征函数厄米矩阵的本征矢。厄米矩阵的本征矢。量子力学的所有公式都有对应的矩阵量子力学的所有公式都有对应的矩阵公式，求厄米算符的本征函数与本征值公式，求厄米算符的本征函数与本征值等价于求厄米矩阵的本征矢与本征值。等价于求厄米矩阵的本征矢与本征值。本讲稿第十三页，共二十八页4.5.2 4.5.2 力学量（算符）的矩阵表示。力学量（算符）的矩阵表示。1 1、取一个表象、取一个表象Q Q，其基矢为，其基矢为 U Un n.算符算符在在Q Q表象的表象的矩阵表示定义为：矩阵表示定义为：例例1波函数公式波函数公式在在Q表象里的矩表象里的矩阵表示为：阵表示为：B=FAB=FA具体形式为具体形式为是波函数是波函数在在Q Q表象的矩阵表示，表象的矩阵表示，是波函数在是波函数在Q Q表象的矩阵表示。表象的矩阵表示。本讲稿第十四页，共二十八页算符与算符矩阵的对应算符与算符矩阵的对应1 1）若是厄米算符，则对应矩阵）若是厄米算符，则对应矩阵F F是厄米矩阵，即是厄米矩阵，即F F+=F=F2）若的矩阵分别为）若的矩阵分别为A，B，则，则的矩阵的矩阵=ABAB。2 2、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点.即在自身即在自身Q Q表象的表示。表象的表示。分立谱：，分立谱：，Q Q是对角矩阵是对角矩阵，对角元是本征值对角元是本征值q qn n。连续谱：连续谱：Q Q也是对角矩阵，但对角元是无穷大。也是对角矩阵，但对角元是无穷大。本讲稿第十五页，共二十八页练习练习4 4：求：求L Lx x算符在（算符在（L L2 2,L,Lz z)的共同表象：的共同表象：(Y Y1111,Y,Y1010,Y,Y1-11-1)的矩阵。（答案见周世勋书的矩阵。（答案见周世勋书P130P130习题习题4.54.5）答案：答案：练习练习3 3：求：求L Lz z算符在（算符在（L L2 2,L,Lz z)的共同表象：的共同表象：(Y Y1111,Y,Y1010,Y,Y1-11-1)的矩阵。的矩阵。本讲稿第十六页，共二十八页.本征矢在自身本征矢在自身Q Q表象的表示。表象的表示。分立谱分立谱:U Un n(x)=(x)=m ma am mU Um m(x),(x),a am m=U=U*m m(x)U(x)Un n(x)dx=(x)dx=mnmn写成列矩阵形式写成列矩阵形式:连续谱：连续谱：在自身表象下，连续谱本征函数就是在自身表象下，连续谱本征函数就是函数。例如，函数。例如，坐标的本征函数在坐标表象里表示为：坐标的本征函数在坐标表象里表示为：。动量的本征函数在动量表象里表示为：。动量的本征函数在动量表象里表示为：。本讲稿第十七页，共二十八页3、算符在坐标、动量表象的矩阵表示、算符在坐标、动量表象的矩阵表示1 1）坐标表象，本征矢为）坐标表象，本征矢为小小结结论论：算算符符在在坐坐标标表表象象的的矩矩阵阵表表示示是是函函数数形形式式。在在行行列列下下标标对对应应一一致致的的前前提提下下，则则此此函函数数前前面面那那部部分分就就是是此此算算符符在在坐坐标标表象的算符表示。表象的算符表示。例子见书例子见书P129练习练习1。本讲稿第十八页，共二十八页2 2）动量表象，本征矢为）动量表象，本征矢为小小结结论论：算算符符在在动动量量表表象象的的矩矩阵阵表表示示也也是是函函数数形形式式。在在行行列列下下标标对对应应一一致致的的前前提提下下，则则此此函函数数前前面面那那部部分分就就是是此此算算符符在在动量动量表象的算符表示。具体讲：表象的算符表示。具体讲：a)a)在动量表象的算符表示分别为：在动量表象的算符表示分别为：或在动量表象的算符表示为：或在动量表象的算符表示为：b)b)动量算符在动量表象的算符表示为：动量算符在动量表象的算符表示为：c)其他算符其他算符在动量表象的算符表示为：在动量表象的算符表示为：本讲稿第十九页，共二十八页练习练习5:在动量表象在动量表象,的本征函数是什么的本征函数是什么?坐标表象、动量表象小结坐标表象、动量表象小结坐标表象坐标表象动量表象动量表象,本征矢本征矢本征矢本征矢本讲稿第二十页，共二十八页4.5.3 4.5.3 量子力学的矩阵表示。量子力学的矩阵表示。介绍三个公式介绍三个公式:薛定谔方程、平均值公式、薛定谔方程、平均值公式、本征方程的矩阵表示本征方程的矩阵表示.一一.薛薛定定谔谔方方程程的的矩矩阵阵表表示示 已知态函数已知态函数,力学量力学量L L的平均值公式为的平均值公式为:二二.平均值公式的矩阵表示平均值公式的矩阵表示取取F F表象表象,其本征矢为：其本征矢为：n n 本讲稿第二十一页，共二十八页三三.本征方程的矩阵表示本征方程的矩阵表示变换的规则变换的规则:只要将波函数变为列矩阵只要将波函数变为列矩阵,算符变算符变为方矩阵为方矩阵,就可以将波函数与算符的量子力学就可以将波函数与算符的量子力学公式变为矩阵表示的公式公式变为矩阵表示的公式.本征方程求解，二个步骤：本征方程求解，二个步骤：1 1、解解乆乆期期方方程程，得得本本征征值值。2 2、将将本本征征值值一一一一代代入入本本征征方方程程，解解出出相应的本征矢。相应的本征矢。本讲稿第二十二页，共二十八页四四.标积的标积的矩阵表示矩阵表示设态矢量设态矢量，在在Q Q表象的表示分别为：表象的表示分别为：本讲稿第二十三页，共二十八页4.5.4 4.5.4 力学量的表象变换。力学量的表象变换。设二个表象设二个表象A A，基矢：，基矢：=(=(1 1，2 2，).).B B，基矢：，基矢：=(=(1 1,2 2,).).1.1.表象表象ABAB的基矢间变换与变换矩阵的基矢间变换与变换矩阵S S (1 1,2 2,)=()=(1 1，2 2，)S)S-1-1。S S+=S=S-1-1，么正矩阵，么正矩阵。2.2.同一态矢从同一态矢从ABAB表象的变换表象的变换设态设态 在在A A表象：表象：，在在B B表象表象：b=Sab=Sa本讲稿第二十四页，共二十八页3.3.同一算符不同表象的矩阵之间变换同一算符不同表象的矩阵之间变换算符算符 在在A A表象的矩阵：表象的矩阵：在在B B表象的矩阵：表象的矩阵：在在A A表象矩阵表象矩阵F F与在与在B B表象矩阵表象矩阵F F的变换为：的变换为：4.4.从从ABAB表象的变换矩阵表象的变换矩阵S S的一个简单求法的一个简单求法已知已知A A表象本征矢（表象本征矢（a a1 1,a,a2 2,）在自身表象中矩阵为：）在自身表象中矩阵为：又设又设 在在A A表象的矩阵为表象的矩阵为B(BB(B非对角非对角)。求解。求解B B本征方程，得本征方程，得其本征矢为：其本征矢为：(k k1 1,k,k2 2,).).本讲稿第二十五页，共二十八页这样，在这样，在A A表象，有表象，有 的基矢（的基矢（a a1 1,a,a2 2,）与）与 的基矢（的基矢（k k1 1,k,k2 2,），），它们的变换关系应为：它们的变换关系应为：（k k1 1,k,k2 2,）=（a a1 1,a,a2 2,）S S-1-1因因 为为（a a1 1,a,a2 2,）是是 一一 个个 单单 位位 矩矩 阵阵，所所 以以，S S-1-1=（k k1 1k k2 2）。）。简言之简言之，若若B是是A表象的一个矩阵，那么由表象的一个矩阵，那么由B的本征的本征方程解出的本征矢所构成的矩阵就是从方程解出的本征矢所构成的矩阵就是从AB表象表象的变换矩阵的逆的变换矩阵的逆S-1。5.5.么正变换的特点么正变换的特点1 1么正变换不改变算符的本征值么正变换不改变算符的本征值2 2么正变换不改变算符矩阵的迹。么正变换不改变算符矩阵的迹。3 3么正变换不改变标积。么正变换不改变标积。本讲稿第二十六页，共二十八页作业作业1，分别写出，分别写出LZ在坐标表象与动量在坐标表象与动量矩阵元。矩阵元。作业作业2，习题，习题418作业作业3，在某，在某Q表象，表象，1、求、求H本征矢与本征值；本征矢与本征值；2、求在自身表象中的、求在自身表象中的H；3、求从、求从Q表象表象H表象的变换矩阵表象的变换矩阵S；4、验证、验证HSHS+。本讲稿第二十七页，共二十八页作业作业3答案：答案：本讲稿第二十八页，共二十八页