第七章非线性系统PPT讲稿.ppt
第七章非线性系统第1页，共79页，编辑于2022年，星期二 组成控制系统的元件，其静态特性都存在着不同程度的非线性，因此，严格地讲，实际的控制系统都是非线性系统。对于非线性程度不很严重的，且仅仅在工作点附近小范围内工作的系统，可以用小偏差法将非线性特性线性化，线性化后的系统视为线性系统，用线性理论进行分析研究。这对解决大多数控制系统的分析和设计问题是行之有效的。对于非线性程度比较严重、输入信号变化范围较大的系统，某些元件将明显地工作在非线性范围，这样的系统称为本质非线性系统，必须用非线性理论进行研究。第2页，共79页，编辑于2022年，星期二7.1 7.1 非线性系统特性非线性系统特性 在控制系统中，非线性特性有很多类型，这里只介绍几种常见的非线性特性。为简化对问题的分析，通常将这些非线性特性用简单的折线来代替。第3页，共79页，编辑于2022年，星期二1.饱和特性饱和特性的静特性曲线饱和特性的数学表达式特点：当输入量 时，输出量与输入量呈线性关系，即y=kx当输入量 时，输出量不再随输入的变化而变化，而是被限制在某一常值上。-a,a为线性区，a为线性区宽度k为线性区斜率 几乎各类放大器和电磁元件都会出现饱和现象，执行元件的功率限制也是一种饱和现象。第4页，共79页，编辑于2022年，星期二2.死区特性死区特性的静特性曲线死区特性的数学表达式特点：当输入量 时，输出量y=0，当输入量 时，输出量与输入量呈线性关系。-a，a为死区范围 死区常见于许多控制设备与控制装置，如测量元件、放大元件和执行元件中。第5页，共79页，编辑于2022年，星期二3.滞环特性（间隙特性）滞环特性的静特性曲线滞环特性的静特性曲线滞环特性的数学表达式滞环特性的数学表达式特点：当输入量小于间隙a 时，输出量为零。当xa后，输出量随输入量线性变化。当输入反向时，输出量则保持在方向发生变化时的输出值上，直到输入反向变化2a后，输出才线性变化。a为间隙宽度k为输出特性斜率 齿轮传动中的齿隙，液压传动中的油隙，铁磁元件的磁滞等均属于这类特性。第6页，共79页，编辑于2022年，星期二4.继电器特性继电器特性的静特性曲线继电器特性的静特性曲线饱和特性的数学表达式饱和特性的数学表达式特点：兼有死区和滞环特性。输入与输出不是单值对应关系理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。第7页，共79页，编辑于2022年，星期二7.1.2 7.1.2 非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征1.叠加原理不适用于非线性系统，即几个输入信号作用于非线性系统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出的总和。2.线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与输入信号的大小和初始条件无关。只要系统在某一输入信号和某一初始条件下所得的解是稳定的，就可以断言，这个系统所有可能的运动状态都是稳定的。非线性系统的稳定性不仅取决于系统的结构和参数，而且与输入信号的大小和初始条件有关。对于同样结构和参数的非线性系统，在不同的初始条件下，系统的运动可能趋于不同的最终状态。第8页，共79页，编辑于2022年，星期二3.对于线性系统，时间响应如阶跃响应曲线的形状与输入信号的大小和初始条件无关，输入信号的大小改变时，只影响响应的幅值而不会改变响应曲线的形状。对于非线性系统，时间响应与输入信号的大小和初始条件有关。4.对于线性系统，当输入是正弦信号时，稳态输出是同频率的正弦信号。对于非线性系统，当输入是正弦信号时，稳态输出通常是非正弦周期函数，也可能出现跳跃谐波等现象。第9页，共79页，编辑于2022年，星期二5.线性系统的暂态响应模式只有两种：收敛和发散。当系统处于临界稳定时，才会产生等幅振荡。但是，线性系统的等幅振荡是暂时的、不稳定的，只要系统中的参数有微小的变化，等幅振荡就会消失。非线性系统常常产生自振荡。自振荡，就是在没有外界输入信号作用时，系统中产生的具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。自振荡是非线性系统特有的运动模式，振幅和频率由系统本身的特性所决定。自振荡是非线性系统的一个十分重要的特征，也是研究非线性系统的一个重要内容。第10页，共79页，编辑于2022年，星期二7.1.3 7.1.3 非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法 非线性系统的数学模型是非线性微分方程，除了极特殊的情况以外，多数非线性微分方程无法直接求得其解析解。因此，到目前为止，还没有一个通用的方法可用来分析和设计各种不同的非线性系统。目前研究非线性系统常用的工程近似方法有：1.描述函数法2.相平面法3.计算机求解法4.这些方法主要是解决非线性系统的分析问题，而5.且以稳定性为核心内容。本章着重讨论描述函数法和相6.平面法。第11页，共79页，编辑于2022年，星期二7.2 7.2 描述函数法描述函数法 描述函数法，首先通过描述函数将非线性元件线性化，从而将非线性系统近似为线性系统，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡问题 描述函数法是线性系统频率法在非线性系统中的推广，它不受系统阶次的限制。第12页，共79页，编辑于2022年，星期二7.2.1 描述函数的基本思想 非线性系统的方框图如下图所示。非线性系统的方框图如下图所示。它是由两部分组成的一个闭环结构，其中它是由两部分组成的一个闭环结构，其中 N N(A A)代表非线性环节；代表非线性环节；GG(s s)代表线性部分。代表线性部分。第13页，共79页，编辑于2022年，星期二设非线性元件的输入信号为正弦信号其输出y(t)一般为周期性非正弦信号，可以展开成傅氏级数即输出不仅含有与输入同频率的基波分量，而且还含有高次谐波分量。第14页，共79页，编辑于2022年，星期二两点假设两点假设：（1）非线性环节的静特性曲线是奇对称的，即y(x)=-y(-x)。非线性元件在正弦信号作用下的输出y(t)中的直流分量A0=0。（2）系统的线性部分G(s)具有良好的低通滤波特性。这样，非线性元件输出中的高次谐波通过线性部分后，其幅值被衰减得很小，可近似认为只有基波分量沿着闭环通道传递。这个条件对于一般控制系统来说都是可以满足的，而且线性部分阶次越高，低通滤波特性越好。第15页，共79页，编辑于2022年，星期二 于是，非线性元件在正弦信号作用下的输出可近似为与输入正弦信号同频的正弦信号，即 这就是描述函数的基本思想。这样，非线性元件在正弦信号作用下的输出就与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似，可以按照线性元件频率特性的定义，建立非线性元件的近似频率特性，即描述函数，从而将非线性元件近似成线性元件，将非线性系统近似成线性系统，于是就可以借助线性系统的频率法来近似分析非线性系统了。第16页，共79页，编辑于2022年，星期二7.2.2 7.2.2 描述函数描述函数设非线性元件的输入信号为正弦信号其输出y(t)为在非线性系统满足前述两个假设条件下正弦函数正弦函数非线性元件的非线性元件的描述函数：描述函数：第17页，共79页，编辑于2022年，星期二 可以看出：（1）描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件。这样，线性系统的频率法就可以推广到非线性系统中去。（2）描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。一般地，它是输入正弦信号幅值A 和频率 的函数，但绝大多数实际的非线性元件，由于它们不包含储能元件，它们的输出与输入正弦信号的频率 无关。因此，常见非线性环节的描述函数仅是输入正弦信号幅值A 的函数，用N(A)来表示。第18页，共79页，编辑于2022年，星期二7.2.3 7.2.3 描述函数的求法描述函数的求法由描述函数的定义式 求描述函数的一般步骤：（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式；（2）利用傅氏级数求出y(t)的基波分量；（3）将得到的基波分量代入定义式，即得N(A)。第19页，共79页，编辑于2022年，星期二理想继电器特性的描述函数理想继电器特性的描述函数理想继电器特性及其输入理想继电器特性及其输入-输出波形输出波形第20页，共79页，编辑于2022年，星期二理想继电器特性的描述函数为：负倒描述函数负倒特性曲线，如表7-1第21页，共79页，编辑于2022年，星期二饱和特性的描述函数饱和特性的描述函数饱和特性及其输入饱和特性及其输入-输出波形输出波形第22页，共79页，编辑于2022年，星期二饱和特性的描述函数为：负倒描述函数负倒特性曲线，如表7-1第23页，共79页，编辑于2022年，星期二7.2 7.2 描述函数法描述函数法 通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是可以应用线性系统的频率法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法。这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。第24页，共79页，编辑于2022年，星期二N(A)是非线性环节的描述函数，亦是其近似为线性环节的频率特性；G(s)是线性部分的传递函数，其频率特性为G(j);于是，整个系统近似为线性系统后的开环频率特性为N(A)G(j)。仿照线性系统的奈氏判据（P=0），非线性系统产生等幅振荡（即临界稳定）的条件是N(A)G(j)=-1即是一条曲线，称为非线性特性的负倒特性曲线。第25页，共79页，编辑于2022年，星期二(a)(b)(c)第26页，共79页，编辑于2022年，星期二自振荡自振荡若G(j)曲线与-1/N(A)曲线相交，则系统将产生自振荡。若系统受到扰动作用，偏离了原来的周期运动状态，当扰动消失后，系统能够重新收敛于原来的等幅振荡状态，则称为稳定的自振荡。反之，称为不稳定的自振荡。M1点是稳定的自振荡；M2点是不稳定的自振荡。自振荡的稳定性：第27页，共79页，编辑于2022年，星期二自振荡的稳定性判断：在复平面上，当-1/N(A)曲线沿着幅值A增大的方向经过自振荡点时，若系统从不稳定区进入稳定区，则该自振荡点代表的自振荡是稳定的。反之，若系统从稳定区进入不稳定区，则该点代表的自振荡是不稳定的。对于稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并可以计算得到。振幅可由自振荡点处-1/N(A)曲线的自变量A的大小来确定，而振荡频率由自振荡点处G(j)曲线的自变量来确定。值得注意的是，稳定自振荡的振幅和频率就是非线性环节的输入信号x(t)=Asint的振幅和频率。自振荡的振幅和频率：第28页，共79页，编辑于2022年，星期二利用描述函数法分析非线性系统的一般步骤：（1）求非线性环节的描述函数、负倒描述函数，绘制负倒特性曲线，即-1/N(A)曲线；（2）求线性部分的频率特性，绘制幅相曲线，即G(j)曲线；（3）由-1/N(A)曲线和G(j)曲线的相对位置判断系统的稳定性，判断是否存在自振荡，计算自振荡的振幅和频率。第29页，共79页，编辑于2022年，星期二例题：例题：用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。？若存在，求振荡频率和振幅。1-1-解：解：第30页，共79页，编辑于2022年，星期二 因此，系统存在频率为因此，系统存在频率为 ，振幅为，振幅为2.122的自激振荡。的自激振荡。-1/N(A)G(j)令虚部为令虚部为0 0，得截止频率，得截止频率 与实轴交点为与实轴交点为 第31页，共79页，编辑于2022年，星期二例例7-47-4 设控制系统的结构图如图，（1）计算自振荡的振幅和频率；（2）为消除自振荡，继电气特性参数应如何调整。解1）死区继电气特性的描述函数为线性部分的频率特性第32页，共79页，编辑于2022年，星期二7-3 7-3 相平面法相平面法相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。是一种时域分析法。它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。第33页，共79页，编辑于2022年，星期二,该方程表示一个二阶线性定常系统；该方程表示一个二阶非线性定常系统。设二阶定常系统常微分方程的一般形式为 由于上述二阶微分方程不含输入，因此它描述的二阶定常系统在初始条件作用下的运动，即自由运动。或第34页，共79页，编辑于2022年，星期二二阶微分方程的解通常是用x(t)和t 的关系来表示的。令则用第一个方程除第二个方程，可得即 因此，二阶微分方程的解也可以以t 作为参变量，用x(t)和 的关系来表示。第35页，共79页，编辑于2022年，星期二 二阶系统在某一时刻 t 的状态,即x(t)和 可以用相平面中坐标为 x(t),的点来表示，称之为相点。二阶系统在初始时刻的状态x(t0)和 ，用相平面中坐标为 x(t0),的点来表示。在某个时刻t，x(t)和 共同表示着二阶系统在 t 时刻所处的状态。以x(t)为横轴，以 为纵轴组成一个直角坐标系，称之为相平面（或状态平面）。当 t 从初始时刻 t0开始不断变化时，状态x(t)与 在相平面中对应的相点，从点x(t0),开始不断移动形成一条轨迹，称之为相轨迹。与不同初始状态对应的一族相轨迹所组成的图像，称之为相平面图。利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。第36页，共79页，编辑于2022年，星期二相平面图的绘制方法：相平面图的绘制方法：绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。1.解析法2.第一种方法：对式 直接积分。3.第二种方法：先求出 的函数关系，然后消去t，4.从而求出相轨迹方程。第37页，共79页，编辑于2022年，星期二例例：二阶线性系统当=0 时，微分方程为试绘制系统的相平面图。第38页，共79页，编辑于2022年，星期二例例7-57-5 具有理想继电器特性的非线性系统如图，试绘制当输入r(t)=0时系统的相平面图。第39页，共79页，编辑于2022年，星期二2.图解法第一种方法：等倾线法第二种方法：法第40页，共79页，编辑于2022年，星期二设系统微分方程为 化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是 a。这条曲线就称为相轨迹的 等倾线等倾线。令其中 为某个常数等倾线法等倾线法式中，表示相平面上相轨迹的斜率。第41页，共79页，编辑于2022年，星期二利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤：（1）首先求系统的等倾线方程；（2）根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；给定不同的 a 值，画出相应的等倾线。（3）利用等倾线分布图绘制相轨迹。从初始状态对应的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线的相轨迹，该直线的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线。第42页，共79页，编辑于2022年，星期二例例7-6 7-6 二阶线性系统的微分方程为 或等倾线方程为：试用等倾线法绘制系统的相轨迹。解解：（1）由微分方程式可得第43页，共79页，编辑于2022年，星期二（2）a取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线。（3）从相轨迹的起点A开始，作斜率为 -1+（-1.2）/2=-1.1的直线，与a=-1.2的等倾线交于B点。再从B点开始，作斜率为 -1.2+（-1.4）/2=-1.3的直线，与a=-1.4的等倾线交于C点。如此依次作下去，最后即得所求的相轨迹。可见，等倾线是过相平面原点的一族直线。第44页，共79页，编辑于2022年，星期二1.奇点：奇点：指相轨迹的斜率 为不定值的点。因此，可以有无穷多条相轨迹经过该点。在奇点处，这表明系统不在运动，处于平衡状态，故奇点也称为平衡点。在奇点处，这表明系统的奇点只出现在相平面的横坐标轴上。第45页，共79页，编辑于2022年，星期二线性二阶系统的奇点和相轨迹线性二阶系统的奇点和相轨迹：设线性二阶系统的微分方程为可写成即令可得即线性二阶系统的奇点是相平面的坐标原点。第46页，共79页，编辑于2022年，星期二系统的特征方程为 当a1,a2的取值不同时，系统的特征根在s平面上的分布就不相同，从而系统自由运动的运动规律不同，奇点附近相轨迹的形状也就不同。由此，可对奇点进行分类。线性二阶系统的微分方程为 相轨迹方程第47页，共79页，编辑于2022年，星期二n相轨迹是一族同心的 椭圆。n系统在奇点附近可能 稳定，可能不稳定，与忽略掉的高次项有 关。n相轨迹的方向如图中 箭头所示。n相轨迹垂直穿过横轴。n图中的奇点(0,0)称 为 中心点。中心点。（1 1）无阻尼）无阻尼 系统无阻尼运动时的相轨迹第48页，共79页，编辑于2022年，星期二（2 2）欠阻尼）欠阻尼其中微分方程的解为第49页，共79页，编辑于2022年，星期二 欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的螺旋线。系统在奇点附近是稳定的。这种奇点称为 稳定的焦点稳定的焦点。系统欠阻尼运动时的相轨迹第50页，共79页，编辑于2022年，星期二 相轨迹仍是螺旋线，但相轨迹的运动方向与欠阻尼时不同，随着 t t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为 不稳定的焦点不稳定的焦点。（3 3）负阻尼）负阻尼系统在奇点附近是稳定的。第51页，共79页，编辑于2022年，星期二（4 4）过阻尼）过阻尼微分方程的解为第52页，共79页，编辑于2022年，星期二 过阻尼时的相轨迹 相轨迹是一族趋向原点的抛物线。这种奇点称为 稳定的节点稳定的节点。系统在奇点附近是稳定的。第53页，共79页，编辑于2022年，星期二（5 5）负阻尼）负阻尼 相轨迹是一族由原点出发的抛物线。这种奇点称为 不稳定的节点不稳定的节点。系统在奇点附近是不稳定的。第54页，共79页，编辑于2022年，星期二相轨迹是一族双曲线。系统在奇点附近是不稳定的。这种奇点称为 鞍点鞍点 第55页，共79页，编辑于2022年，星期二 特征根和奇点的对应关系第56页，共79页，编辑于2022年，星期二非线性二阶系统的奇点和相轨迹：非线性二阶系统的奇点和相轨迹：设非线性二阶系统的微分方程为上式可写成又可一般地写成其中由得解之，可得系统的奇点。第57页，共79页，编辑于2022年，星期二设奇点是坐标原点，即则非线性方程线性化非线性方程线性化第58页，共79页，编辑于2022年，星期二消去x2,，得或即在奇点处的线性化方程。根据该方程两个特征根的分布情况，可确定奇点附近的相轨形状。第59页，共79页，编辑于2022年，星期二2.2.奇线奇线 奇线：相平面图中具有不同性质的相轨迹的分界线。通常见到的奇线有两种：分隔线、极限环。极限环：相平面图上孤立的封闭相轨迹，其附近的相轨 迹都趋向或发散于这个封闭的相轨迹。（1）稳定极限环（2）不稳定极限环（3）半稳定极限环 极限环分为三类：第60页，共79页，编辑于2022年，星期二（1）稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹都收敛于该环，这种极限环称为稳定极限环。这种极限环表示系统具有自振荡。稳定极限环把相平面划分成两个区域，极限环内部的相轨迹，随时间的增加是发散的，故极限环内部区域为不稳定区。极限环外部的相轨迹，随时间的增加是收敛的，故极限环外部区域为稳定区。第61页，共79页，编辑于2022年，星期二（2）不稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹都从极限环发散，这种极限环称为不稳定极限环。极限环内部的相轨迹，随时间的增加将趋于平衡点，极限环外部的相轨迹，随时间的增加将远离平衡点。具有不稳定极限环的系统，其平衡状态是小范围稳定的，大范围不稳定的。第62页，共79页，编辑于2022年，星期二（3）半稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹，其中一侧离开相轨迹，另一侧趋向于相轨迹，这种极限环称为半稳定极限环。被极限环所划分的两个区域都是不稳定的，因此系统将具有振荡发散状态。被极限环所划分的两个区域都是稳定的，因此系统的运动状态最终将趋于环内的平衡点，不会产生自振荡。第63页，共79页，编辑于2022年，星期二图7-34 各种类型的极限环第64页，共79页，编辑于2022年，星期二7.5 7.5 非线性系统的相平面法分析非线性系统的相平面法分析 1 1、步骤、步骤（1 1）将非线性特性分段线性化，并写出相应线段的数学表达）将非线性特性分段线性化，并写出相应线段的数学表达式。式。（2 2）首先在相平面上选择合适的坐标，当系统有阶跃输入或斜）首先在相平面上选择合适的坐标，当系统有阶跃输入或斜坡输入时，一般常用误差坡输入时，一般常用误差e及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。特性。（3 3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4 4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5 5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。性系统的相轨迹。第65页，共79页，编辑于2022年，星期二例例7-9 7-9 设含饱和非线性特性的非线性系统如图所示，试利用设含饱和非线性特性的非线性系统如图所示，试利用 相平面法分析系统的阶跃响应。相平面法分析系统的阶跃响应。第66页，共79页，编辑于2022年，星期二解解1）非线性特性的数学表达式为：线性部分的微分方程为：第67页，共79页，编辑于2022年，星期二（2）根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。区区：e a 系统的微分方程为没有奇点。利用拉氏变换方法求解微分方程得：对上式求一阶导，得设微分方程的初始条件为第69页，共79页，编辑于2022年，星期二由此可画出该区的相轨迹，相轨迹渐近于直线 第70页，共79页，编辑于2022年，星期二区区：e h的区域系统方程为其中第75页，共79页，编辑于2022年，星期二所以当第76页，共79页，编辑于2022年，星期二2 在|c|h区域系统方程为（7-47）第77页，共79页，编辑于2022年，星期二3 在c-h区域相轨迹方程为当 时第78页，共79页，编辑于2022年，星期二图7-42 图7-41系统当 时的相轨迹第79页，共79页，编辑于2022年，星期二
