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结构力学图乘法本讲稿第一页，共二十一页直梁和刚架直梁和刚架位移计算位移计算积分公式积分公式复习旧课复习旧课M MP P：（实际）实际）位移状态位移状态的弯矩方程的弯矩方程M M：（虚拟）虚拟）力状态力状态的弯矩方程的弯矩方程EIEI：抗弯刚度抗弯刚度本讲稿第二页，共二十一页讲授新课讲授新课一、图乘法一、图乘法1 1、图乘法的、图乘法的适用条件适用条件 计算梁和刚架的位移时，当计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂荷载较复杂或或杆件数目较多杆件数目较多时，时，积分计算积分计算相当繁琐相当繁琐。但当组成结构各杆段符合下述条件：。但当组成结构各杆段符合下述条件：(1)(1)杆轴为杆轴为直线直线；(2)EI (2)EI为为常数常数；(3)M (3)M与与M MP P弯矩图中弯矩图中至少有一个至少有一个是是直线图形直线图形。则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。图乘法图乘法本讲稿第三页，共二十一页MP图图xy面积面积 ABOABMPdxd=MPdxx形心形心CxCyCyC=xCtg A AA A2 2、图乘法、图乘法原理原理本讲稿第四页，共二十一页 由此可知，计算位移的积分就等于由此可知，计算位移的积分就等于一个一个弯矩图的面积弯矩图的面积A A乘以其形心所对应的乘以其形心所对应的另一另一个直线弯矩图上的竖标个直线弯矩图上的竖标y yC C，再除以，再除以EIEI，于，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即是积分运算转化为数值乘除运算，此法即称图乘法。称图乘法。剪力与轴力项能用图乘法？剪力与轴力项能用图乘法？本讲稿第五页，共二十一页3、图乘法求位移的、图乘法求位移的一般表达式一般表达式注意：注意：1.1.应取自直线图中应取自直线图中。2.2.若若 与与 在杆件的在杆件的同侧同侧,取取正值正值;反之反之,取负值（不是取负值（不是M MP P与与M M图位图位于杆件同侧或异侧）。于杆件同侧或异侧）。3.3.如图形较复杂，可分解为几个简单图如图形较复杂，可分解为几个简单图形。形。本讲稿第六页，共二十一页二、图乘法二、图乘法步骤步骤(1)(1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩画出结构在实际荷载作用下的弯矩图图（荷载弯矩图）（荷载弯矩图）M MP P；(2)(2)根据所求位移选定相应的虚拟力状态，根据所求位移选定相应的虚拟力状态，画出画出单位弯矩图单位弯矩图M M(注：注：M M图不标单位）图不标单位）；(3)(3)分段计算分段计算一个一个弯矩图形的弯矩图形的面积面积A A及其及其形心所对应的形心所对应的另一个另一个弯矩图形的弯矩图形的竖标竖标y yC C；(4)(4)将将A A、y yC C代入代入图乘法图乘法公式公式计算所计算所求位求位移移。本讲稿第七页，共二十一页三、几个规则图形的三、几个规则图形的面积和形心位置面积和形心位置 顶点：指曲线上切线平行于底边的点标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线本讲稿第八页，共二十一页本讲稿第九页，共二十一页本讲稿第十页，共二十一页当图形的面积和形心不便当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相另一图形相应的纵坐标相乘。乘。1 1、图形分解图形分解图乘图乘（1 1）梯）梯-梯同侧组合（梯同侧组合（三角形为特殊情况三角形为特殊情况）四、图乘法技巧本讲稿第十一页，共二十一页（2 2）、梯）、梯-梯同侧组合：梯同侧组合：本讲稿第十二页，共二十一页（3 3）异侧组合）异侧组合本讲稿第十三页，共二十一页由区段叠加法作的弯矩图由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图，其弯矩图可以看成一个可以看成一个直线弯矩图直线弯矩图和一个和一个规则抛规则抛物线图形物线图形的叠加的叠加 。（4）非规则非规则抛物线图形抛物线图形MBMA+MBMA任何一个二次抛物线图形均能分解为一个直线任何一个二次抛物线图形均能分解为一个直线弯矩图和一个规则抛物线图形。弯矩图和一个规则抛物线图形。本讲稿第十四页，共二十一页（1 1）曲）曲-折组合折组合2 2、分段分段图乘图乘本讲稿第十五页，共二十一页（2 2）阶梯形截面杆）阶梯形截面杆本讲稿第十六页，共二十一页图乘法的应用图乘法的应用举例举例本讲稿第十七页，共二十一页 求图求图(a)(a)所示简支梁所示简支梁A A端端角位移角位移A A及跨中及跨中C C点点的的竖向竖向位移位移CVCV。EIEI为常数。为常数。解：解：1 1、求、求A A 实际荷载作用下实际荷载作用下的的弯矩图弯矩图M MP P如图如图(b)(b)所示。所示。在在A A端加单位力端加单位力偶偶m=1m=1，其单位弯矩图，其单位弯矩图M M如图如图(c)(c)所示。所示。本讲稿第十八页，共二十一页 MP图面积及其形心对图面积及其形心对应应M图竖标分别为：图竖标分别为：A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 计算计算AA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24EI本讲稿第十九页，共二十一页2 2、求、求CVCV M MP P图如图图如图(b)(b)所示。所示。单位弯矩图单位弯矩图M M如图如图(d)(d)所示。所示。计算计算A A、y yC C。A=2/31/8qA=2/31/8ql l2 2l/2=qll/2=ql3 3/24/24y yC C=5/8=5/8l l/4=5/4=5l l/32/32 计算计算CVCVCVCV=2(1/EI*A*y=2(1/EI*A*yC C)=5q)=5ql l4 4/384EI(/384EI()本讲稿第二十页，共二十一页【课后作业课后作业】习题习题8-6（用图乘法用图乘法）【预习】：【预习】：静定结构的位计算静定结构的位计算习题课习题课本讲稿第二十一页，共二十一页