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数学建模最短路问题课件第1页，本讲稿共54页图 论 的 基 本 概 念一、图 的 概 念1图的定义2顶点的次数 3子图二、图 的 矩 阵 表 示1 关联矩阵2 邻接矩阵返回返回第2页，本讲稿共54页定义有序三元组G=(V,E,)称为一个图,如果：图的定义第3页，本讲稿共54页定义定义第4页，本讲稿共54页第5页，本讲稿共54页返回返回第6页，本讲稿共54页顶点的次数第7页，本讲稿共54页例例2 2 在一次聚会中，史密斯先生和他太太邀请四对夫妻参加晚在一次聚会中，史密斯先生和他太太邀请四对夫妻参加晚会。每个人到的时候，房间里的一些人都要与别的一些人握手。会。每个人到的时候，房间里的一些人都要与别的一些人握手。当然，每个人都不会与自己的配偶握手，也不会跟同一个人握手当然，每个人都不会与自己的配偶握手，也不会跟同一个人握手两次。两次。之后，史密斯先生问每个人和别人握了几次手，他们的答案都不一样。之后，史密斯先生问每个人和别人握了几次手，他们的答案都不一样。那么史密斯太太和别人握了几次手呢？那么史密斯太太和别人握了几次手呢？返回返回例1 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。第8页，本讲稿共54页由图可知，由图可知，8 8号的配偶是号的配偶是0 0号。号。7号的配偶是号的配偶是1号。号。6号的配偶是号的配偶是2号。号。5号的配偶是号的配偶是3号。号。史密斯太太是史密斯太太是4号，所以史密斯太太和别人握了号，所以史密斯太太和别人握了4次手。次手。返回返回第9页，本讲稿共54页邻接矩阵注：假设图为简单图注：假设图为简单图第10页，本讲稿共54页返回返回第11页，本讲稿共54页最 短 路 问 题 及 其 算 法一、基 本 概 念二、固 定 起 点 的 最 短 路三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路返回返回第12页，本讲稿共54页基 本 概 念第13页，本讲稿共54页返回返回第14页，本讲稿共54页返回返回求图的最小生成树最常用的两种算法：求图的最小生成树最常用的两种算法：（1）Prim算法算法（2）Kruskal算法算法注意：在一个加权连通图注意：在一个加权连通图G中，权最小的那棵生中，权最小的那棵生成树称为图成树称为图G的最小生成树。的最小生成树。第15页，本讲稿共54页返回返回Prim算法思想：算法思想：输入加权图的带权邻接矩阵输入加权图的带权邻接矩阵（1）建立初始候选边集）建立初始候选边集B，；（2）从候选边中选取最短边（）从候选边中选取最短边（u,v），），；（3）调整候选边集）调整候选边集B；（4）重复（）重复（2）、（）、（3）直到）直到T含有含有n-1条边。条边。第16页，本讲稿共54页Prim算法的实现过程算法的实现过程45231 1 1 12 3 4 58 inf 1 5439453527236第17页，本讲稿共54页实现实现Prim算法的算法的MATLAB程序：程序：a=0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;5 7 10 3 0;T=;e=0;v=1;n=5;sb=2:n;%1代表第一个红点，代表第一个红点，sb代表白点集。代表白点集。for j=2:n%构造初始候选边的集合构造初始候选边的集合 b(1,j-1)=1;b(2,j-1)=j;b(3,j-1)=a(1,j);end第18页，本讲稿共54页while size(T,2)n-1 min,i=min(b(3,:);%在候选边中找最短边。在候选边中找最短边。T(:,size(T,2)+1)=b(:,i);e=e+b(3,i);v=b(2,i);v表示新涂的红点。表示新涂的红点。temp=find(sb=b(2,i);sb(temp)=;b(:,i)=;for j=1:length(sb)%调整候选边调整候选边 d=a(v,b(2,j);if db(3,j)b(1,j)=v;b(3,j)=d;end endend第19页，本讲稿共54页Kruskal算法思想：假设给定了一个加权连通图G，G的边集合为E，顶点个数n，则假设最小生成树T中的边和顶点均涂为红色，其余为白色。初始时G中的边均为白色。（1）将所有的顶点涂成红色；（2）在白色边中，挑选一条权最小的边，使其与红色边不形成圈，将该白色边涂红。（3）重复（2）直到n-1条红色边，这n-1条红色边就构成了最小生成树T的边集合。注意：在用Kruskal算法求最小生成树时，在第（2）步判断是否形成圈在程序实现时比较麻烦。第20页，本讲稿共54页实现实现Kruskal算法的算法的MATLAB程序：程序：%加权图的存储结构采用边权矩阵加权图的存储结构采用边权矩阵b(i,j)m3b=1 1 1 2 2 3 3 4 2 4 5 3 5 4 5 5 8 1 5 6 7 9 10 3;B,I=sortrows(b,3);B=B;m=size(b,2);n=5;t=1:n;k=0;T=;c=0;第21页，本讲稿共54页for i=1:m if t(B(1,i)=t(B(2,i)%判断第判断第i条边是否与树中的边形成圈。条边是否与树中的边形成圈。k=k+1;T(k,1:2)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);tmin=min(t(B(1,i),t(B(2,i);tmax=max(t(B(1,i),t(B(2,i);for j=1:n if t(j)=tmax t(j)=tmin;end end end if k=n-1 break;endendT,c第22页，本讲稿共54页Kruskal实现过程：初始化后排序：B=1 4 1 2 2 1 3 3 4 5 5 3 5 2 4 5 1 3 5 6 7 8 9 10；第一轮：tmin=1;tmax=4;t=1 2 3 1 5;第二轮：tmin=4;tmax=5;t=1 2 3 1 1;第三轮：t(1)=t(5)直接进入下一轮第四轮：tmin=2;tmax=3;t=1 2 2 1 1;第五轮：tmin=1;tmax=2;t=1 1 1 1 1;第23页，本讲稿共54页求最短路径的最常用的两种算法：求最短路径的最常用的两种算法：（1）Dijkstra算法算法（2）Floyd算法算法注意：普通路径长度定义为该路径所包含的全体边的长注意：普通路径长度定义为该路径所包含的全体边的长度之和。度之和。最短路径是指在图中，从顶点最短路径是指在图中，从顶点u到顶点到顶点v的路径中普通路径长的路径中普通路径长度最短的路径称为度最短的路径称为u到到v的最短路径。的最短路径。第24页，本讲稿共54页固 定 起 点 的 最 短 路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路 假设在假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从的最短路中只取一条，则从u0到其余顶到其余顶点的最短路将构成一棵以点的最短路将构成一棵以u0为根的树为根的树 因此因此,可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路第25页，本讲稿共54页第26页，本讲稿共54页算法步骤：第27页，本讲稿共54页 TO MATLAB(road1)第28页，本讲稿共54页第29页，本讲稿共54页 1 2 34 5 6 7 8返回返回第30页，本讲稿共54页Dijkstra算法的算法的MATLAB实现：实现：w=0 2 1 8 inf inf inf inf;2 0 inf 6 1 inf inf inf;1 inf 0 7 inf inf 9 inf;.8 6 7 0 5 1 2 inf;inf 1 inf 5 0 3 inf 9;inf inf inf 1 3 0 4 6;.inf inf 9 2 inf 4 0 3;inf inf inf inf 9 6 3 0 n=size(w,1);w1=w(1,:);%赋初值赋初值 for i=1:n l(i)=w1(i);z(i)=1;end s=;s(1)=1;u=s(1);k=1；第31页，本讲稿共54页while kl(u)+w(u,i)l(i)=l(u)+w(u,i);z(i)=u;end end end end l,z 第32页，本讲稿共54页%求v*ll=l;for i=1:n for j=1:k if i=s(j)ll(i)=ll(i);else ll(i)=inf;end end end第33页，本讲稿共54页lv=inf;for i=1:n if ll(i)lv lv=ll(i);v=i;end end lv,v s(k+1)=v k=k+1 u=s(k)endl,z第34页，本讲稿共54页每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路1求距离矩阵的方法2求路径矩阵的方法3查找最短路路径的方法（一）算法的基本思想（三）算法步骤返回返回（二）算法原理第35页，本讲稿共54页算法的基本思想返回返回第36页，本讲稿共54页算法原理算法原理 求距离矩阵的方法求距离矩阵的方法返回返回第37页，本讲稿共54页算法原理算法原理 求路径矩阵的方法求路径矩阵的方法在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R 即当k被插入任何两点间的最短路径时，被记录在R(k)中，依次求 时求得 ，可由 来查找任何点对之间最短路的路径返回返回)(nR第38页，本讲稿共54页i j算法原理算法原理 查找最短路路径的方法查找最短路路径的方法pkp2p1p3q1q2qm则由点i到j的最短路的路径为：返回返回第39页，本讲稿共54页算法步骤第40页，本讲稿共54页 TOMATLAB(road2(floyd)返回返回第41页，本讲稿共54页Folyd算法的MATLAB实现：functionD,R=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:n for j=1:n R(i,j)=j;endend第42页，本讲稿共54页for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);R(i,j)=R(i,k);end end end k,D,Rend 第43页，本讲稿共54页在命令窗口中输入：a=0 9 inf 3 inf;9 0 2 inf 7;inf 2 0 2 4;3 inf 2 0 inf;inf 7 4 inf 0;floyd(a)第44页，本讲稿共54页一、可化为最短路问题的多阶段决策问题二、选 址 问 题1 中心问题2 重心问题返回返回第45页，本讲稿共54页可化为最短路问题的多阶段决策问题第46页，本讲稿共54页第47页，本讲稿共54页第48页，本讲稿共54页返回返回第49页，本讲稿共54页 选址问题-中心问题 TO MATLAB(road3(floyd)第50页，本讲稿共54页S(v1)=10,S(v2)=7,S(v3)=6,S(v4)=8.5,S(v5)=7,S(v6)=7,S(v7)=8.5S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.返回返回第51页，本讲稿共54页 选址问题-重心问题返回返回第52页，本讲稿共54页实验作业 生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率.生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会.可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益.某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增.若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费C3=0.4元.假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1=1万元，问：工厂应如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小？返回返回第53页，本讲稿共54页BYE!BYE第54页，本讲稿共54页
