集合与简易逻辑十年高考题（带详细解析）.doc

第一章 集合与简易逻辑考点阐释集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础.集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题.逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力.重点掌握：（1）强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练.（2）要正确理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的概念.数学概念的定义具有对称性，即数学概念的定义可以看成充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.试题类编一、选择题1.（2003京春理，11）若不等式|ax+2|<6的解集为（1，2），则实数a等于（ ）A.8 B.2 C.4 D.82.（2002京皖春，1）不等式组的解集是（ ）A.x|1x1 B.x|0x3C.x|0x1D.x|1x33.（2002北京，1）满足条件M1=1，2，3的集合M的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.14.（2002全国文6，理5）设集合M=x|x=，kZ，N=x|x=，kZ，则（ ）A.M=NB.MNC.MND.MN=5.（2002河南、广西、广东7）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=06.（2001上海，3）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行且不重合的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件7.（2000北京春，2）设全集I=a，b，c，d，e，集合M=a，b，c，N=b，d，e，那么IMIN是（ ）A. B.dC.a，cD.b，e8.（2000全国文，1）设集合AxxZ且10x1，BxxB且x5，则AB中元素的个数是（ ）A.11 B.10C.16 D.159.（2000上海春，15）“a=1”是“函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件10.（2000广东，1）已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的个数是（ ）图11A.15 B.16 C.3 D.411.（1999全国，1）如图11，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A.（MP）SB.（MP）SC.（MP）ISD.（MP）IS12.（1998上海，15）设全集为R，Axx25x60，Bx|x5a（a为常数），且11B，则（ ）A.RABR B.ARBRC.RARBRD.ABR13.（1997全国，1）设集合M=x0x2，集合Nxx22x30，集合M等于（ ）A.x0x1B.x0x2 C.x0x1D.x0x214.（1997上海，1）设全集是实数集R，Mxx1，xR，N1，2，3，4，则RMN等于（ ）A.4 B.3，4C.2，3，4 D.1，2，3，415.（1996上海，1）已知集合M（x，）x2，N（x，）x4，那么集合MN为（ ）A.x=3，y=1 B.（3，1）C.3，1 D.（3，1）16.（1996全国文，1）设全集I1，2，3，4，5，6，7，集合A1，3，5，7，B3，5，则（ ）A.IABB.IIABC.IAIBD.IIAIB17.（1996全国理，1）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN，则（ ）A.IABB.IIABC.IAIBD.IIAIB18.（1996上海文，6）若y=f（x）是定义在R上的函数，则y=f（x）为奇函数的一个充要条件为（ ）A.f（x）=0B.对任意xR，f（x）=0都成立C.存在某x0R，使得f（x0）+f（x0）=0D.对任意的xR，f（x）+f（x）=0都成立19.（1995上海，2）如果Px（x1）（2x5）0，Qx0x10，那么（ ）A.PQ B.PQC.PQ D.PQR20.（1995全国文，1）已知全集I0，1，2，3，4，集合M0，1，2，N0，3，4，则IMN等于（ ）A.0B.3，4C.1，2D.21.（1995全国理，1）已知I为全集，集合M、NI，若MNN，则（ ）A.IMINB.MINC. IMIND.MIN22.（1995上海，9）“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（ ）A.必要条件但不是充分条件B.充分条件但不是必要条件C.充分必要条件D.既不是充分条件又不是必要条件23.（1994全国，1）设全集I0，1，2，3，4，集合A0，1，2，3，集合B2，3，4，则IAIB等于（ ）A.0B.0，1C.0，1，4 D.0，1，2，3，424.（1994上海，15）设I是全集，集合P、Q满足PQ，则下面的结论中错误的是（ ）A.PIQ=B.IPQ=IC.PIQ=D.IPIQ=IP二、填空题25.（2003上海春，5）已知集合A=x|x|2，xR，B=x|xa，且AB，则实数a的取值范围是_.26.（2002上海春，3）若全集I=R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P=x|f（x）0，Q=x|g（x）0，则不等式组的解集可用P、Q表示为_.27.（2001天津理，15）在空间中若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.图12以上两个命题中，逆命题为真命题的是_.28.（2000上海春，12）设I是全集，非空集合P、Q满足PQI.若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式）.29.（1999全国，18）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断:mn n m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.三、解答题30.（2003上海春，17）解不等式组.31.（2000上海春，17）已知R为全集，A=x|log（3x）2，B=x|1，求RAB.32.（1999上海，17）设集合A=x|xa|<2，B=x|<1，若AB，求实数a的取值范围.答案解析1.答案：C解析：|ax+2|<6，6<ax+2<6，8<ax<4当a>0时，有，而已知原不等式的解集为（1，2），所以有：.此方程无解（舍去）.当a<0时，有，所以有解得a=4，当a=0时，原不等式的解集为R，与题设不符（舍去），故a=4.评述：本题主要考查绝对值不等式的解法，方程的根与不等式解集的关系，考查了分类讨论的数学思想方法及逻辑思维能力，此题也可以利用选项的值代入原不等式，去寻找满足题设条件的a的值.2.答案：C解析：依题意可得，可得0x1.3.答案：C解析：M=2，3或M=1，2，3评述：因为M1，2，3，因此M必为集合1，2，3的子集，同时含元素2，3.4.答案：B解析：方法一：可利用特殊值法，令k=2，1，0，1，2可得MN方法二：集合M的元素为：（kZ），集合N的元素为：x=（kZ），而2k+1为奇数，k+2为整数，因此MN.MN5.答案：D解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（x）=（x）|x+0|+0=x|x|=f（x）a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（x）=x|（x）+a|+b=（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.6.答案：C解析：当a=3时，直线l1：3x+2y+9=0，直线l2：3x+2y+4=0显然a=3l1l2.7.答案：A解析：IM=b，e，IN=a，c，IMIN=.8.答案：C解析：A10，9，8，7，6，5，4，3，2，1B5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5AB10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5共有16个元素.9.答案：A解析：若a=1，则y=cos2xsin2x=cos2x，此时y的最小正周期为，故a=1是充分条件.而由y=cos2axsin2ax=cos2ax，此时y的周期为=，a=±1，故a=1不是必要条件.评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.10.答案：A解析：根据子集的计算应有241=15（个）.评述：求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集.同时，A不是A的真子集.11.答案：解析：由图知阴影部分表示的集合是MP的子集且是IS的子集，故答案为评述：本题源于课本，属送分题，是前几年高考题的回归.12.答案：D解析：由已知A=x|x>6或x<1，B=x|5a<x<5+a，而11B，a>6.此时：5a<1，5+a>6，AB=R.评述：本题考查集合基本知识，一元二次不等式、绝对值不等式的解法及分析问题解决问题的能力.13.答案：B解析：方法一：Nxx22x30x1x3，所以MNx0x2，故选B.方法二：由（）22·（）30，知1.5N，又1.5M，因此1.5MN，从而排除A、；由交集定义与M的表达式，可排除D，得B.评述：本题考查对交集的理解和掌握，所设定的集合实质是不等式的解集，兼考处理不等式解集的基本技能.14.答案：B解析：RM=x|x>1+，xR，又1+<3.故RMN=3，4.故选B.15.答案：D解析：方法一：解方程组得故MN（3，1），所以选D.方法二：因所求MN为两个点集的交集，故结果仍为点集，显然只有D正确.评述：要特别理解集合中代表元素的意义，此题迎刃而解.16.答案：解析：方法一：显然IB1，2，4，6，7，于是AIBI，故选.方法二：利用文氏图13知IAIB，应选.17.答案：解析：方法一：IA中元素是非2的倍数的自然数，IB中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有选项正确.图14方法二：因A2，4，6，8，B4，8，12，16，所以IB1，2，3，5，6，7，9，所以IAIB，故答案为.方法三：因BA，所以IAIB，IAIBIA，故IAIAAIB.方法四：根据题意，我们画出文氏图14来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=AIB是成立的.评述：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求.18.答案：D解析：由奇函数定义可知：若f（x）为奇函数，则对定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），即f（x）+f（x）=0，反之，若有f（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x），由奇函数的定义可知f（x）为奇函数.评述：对于判断奇偶性问题应注意：x为定义域内任意值，因此定义域本身应关于原点对称，这是奇偶性问题的必要条件.19.答案：B解析：由集合P得1<x<，由集合Q有0<x<10.利用数轴上的覆盖关系，易得PQ.20.答案：B解析：由已知IM=3，4，IMN=3，4.21.答案：C图15解析一：MN=N，NM，INIM解析二：画出韦恩图15，显然：IMIN.故选C.评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系，题目中不给出具体集合，对分析问题解决问题能力提高了要求.22.答案：A解析：如果方程ax2+by2=c表示双曲线，即表示双曲线，因此有，即ab<0.这就是说“ab<0”是必要条件；若ab<0，c可以为0，此时，方程不表示双曲线，即ab<0不是充分条件.评述：本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念.23.答案：C图16解析：IA=4，IB=0，1，IAIB=0，1，4.24.答案：D解析：依题意画出文氏图：如图16，显然A、B、C均正确，故应选D.25.答案：a2解析：A=x|2x2，B=x|xa，又AB，利用数轴上覆盖关系：如图17图17因此有a2.评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系.26.答案：PIQ解析：g（x）0的解集为Q，所以g（x）<0的解集为IQ，因此的解集为PIQ.评述：本题以不等式为载体，重点考查集合的补集、交集的概念及其运算，活而不难.27.答案：解析：中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1B1C1D1四点共面，所以中逆命题不真.中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点.所以中逆命题是真命题.图18评述：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识，考查命题的有关概念.28.答案：PIQ解析：阴影部分为IQ（如图18）显然，所求表达式为IQP=，或IQ（QP）或IQ（QP）=.评述：本题考查集合的关系及运算.29.答案：m，n，mn，或mn，m，图19n.（二者任选一个即可）解析：假设、为条件，即mn，n，m成立，如图19，过m上一点P作PBn，则PBm，PB，设垂足为B.又设m的垂足为A，过PA、PB的平面与、的交线l交于点C，因为lPA，lPB，所以l平面PAB，得lAC，lBC，ACB是二面角l的平面角.显然APB+ACB=180°，因为PAPB，所以ACB=90°，得.由、推得成立.反过来，如果、成立，与上面证法类似可得成立.评述：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质，但题型较新颖，主要表现在：题目以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体，解题的关键是将符号语言转化为图形语言.考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向.30.解：由x26x+8>0，得（x2）（x4）>0，x<2或x>4.由>2，得>0，1<x<5.原不等式组的解是x（1，2）（4，5）评述：本题主要考查二次不等式、分式不等式的解法.31.解：由已知log（3x）log4，因为y=logx为减函数，所以3x4.由，解得1x<3.所以A=x|1x<3.由1可化为解得2<x3，所以B=x|2<x3.于是RA=x|x<1或x3.故RAB=x|2<x<1或x=3评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力.32.解：由|xa|<2，得a2<x<a+2，所以A=x|a2<x<a+2.由<1，得<0，即2<x<3，所以B=x|2<x<3.因为AB，所以，于是0a1.评述：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.