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理论力学新第十三章第1页，本讲稿共46页动力学 第第13章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理10/24/20222第2页，本讲稿共46页第十三章第十三章第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理131 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 132 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化133 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念3第3页，本讲稿共46页 本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法动静法。4第4页，本讲稿共46页质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理一、质点的达朗贝尔原理人用手推车人用手推车力力 是由于小车具有惯性，力图是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力保持原来的运动状态，对于施力物体物体(人手人手)产生的反抗力。称为小产生的反抗力。称为小车的车的惯性力惯性力。惯性力的概念惯性力的概念 定义：质点惯性力定义：质点惯性力 非自由质点非自由质点M，质量，质量m，受主动力，受主动力 ，约束反力约束反力 ，合力，合力13-1达朗贝尔原理5第5页，本讲稿共46页注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。对迫使其产生加速运动的物体的力体反作用力的合力。对迫使其产生加速运动的物体的 惯性反抗的总和。惯性反抗的总和。对于具体问题采取不同的坐标系，惯性力分量可表示为：对于具体问题采取不同的坐标系，惯性力分量可表示为：6第6页，本讲稿共46页物重物重P，用细绳，用细绳CA和和BA悬挂，悬挂，如如图图所示所示，=60，若将，若将BA绳绳剪断，剪断，则该则该瞬瞬时时CA绳绳的的张张力力为为（）。）。A.0 B.0.5P C.P D.2P思考题：思考题：FG0.5PABCP30FGT=0.5P7第7页，本讲稿共46页二、质点系的达朗伯原理 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：。可用方程表示为：设有一质点系由设有一质点系由n个质点组成，对个质点组成，对每一个质点每一个质点Mi，有主动力，有主动力Fi，约，约束反力束反力Ni，在某一瞬时质点具有，在某一瞬时质点具有加速度加速度 ai，则该质点的惯性力为，则该质点的惯性力为FIi=-mi ai。有：。有：MiFiFIiFNiaiorizyx8第8页，本讲稿共46页对平面任对平面任意力系：意力系：对于空间任对于空间任意力系：意力系：实际应用时实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象同静力学一样任意选取研究对象,列平衡列平衡方程求解。方程求解。用动静法求解动力学问题时，用动静法求解动力学问题时，将质点系受力按内力、外力将质点系受力按内力、外力划分划分,则则:9第9页，本讲稿共46页1.惯性力系的主矢为惯性力系的主矢为:三、质点系达朗伯原理的动力学实质质点系惯性力系的主矢等于质点系的动量对时间的导质点系惯性力系的主矢等于质点系的动量对时间的导数数,并冠以负号。并冠以负号。2.惯性力系的主矩为惯性力系的主矩为:质点系惯性力系对质点系惯性力系对O点的主矩等于质点系对点的主矩等于质点系对O点的动量点的动量矩对时间的导数矩对时间的导数,并冠以负号。并冠以负号。10第10页，本讲稿共46页例例1图示的构架滑轮机构中图示的构架滑轮机构中,重物重物 M1和和 M2分别重分别重P1=2kN,P2=1kN.略略去各杆及滑轮去各杆及滑轮 B和和 E 的质量的质量.已知已知AC=CB=l=0.5cm,=45o.滑轮滑轮B和和E的半径分别为的半径分别为 r1和和 r2且且 r1=2r2=0.2cm求重物求重物 M1的加速度的加速度a1和和DC杆所受的力。杆所受的力。BEM1M2ACD 11第11页，本讲稿共46页BEM1M2ACD xYBXBP1P2(2)联立(1)和(2)式得:ACD BEM1M2解解:取滑轮组为研究对象取滑轮组为研究对象,进行运动进行运动,如图有：如图有：(1)受力分析受力分析.12第12页，本讲稿共46页BEM1M2ACD 取整体为研究对象进行取整体为研究对象进行受力分析受力分析.XAYA解得:SDC=5.657 kNxP1P2ASDC13第13页，本讲稿共46页13-2 刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力简化而得到一个惯性力 和一个和一个惯性力偶惯性力偶 。注意注意:无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。重点重点 考点考点 14第14页，本讲稿共46页一、刚体作平动向质心向质心C简化：简化：刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。15第15页，本讲稿共46页空间惯性力系空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）平面惯性力系（质量对称面）O为转轴为转轴z与质量对称平面的交点，向与质量对称平面的交点，向O点简化：点简化：二、刚体定作轴转动 先只讨论具有先只讨论具有质量对称平面质量对称平面的刚体绕垂直的刚体绕垂直于该平面的固定轴转动。于该平面的固定轴转动。O直线直线 i :平动，平动，过过Mi点，点，主矢：主矢：主矩：主矩：16第16页，本讲稿共46页作用在作用在C点点作用在作用在O点点向O点简化：向质点C点简化：17第17页，本讲稿共46页讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。转轴过质点转轴过质点C，但，但0，惯性力偶，惯性力偶 （与（与 反向）反向）刚体作匀速转动，且转轴过质心，则刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零）（主矢、主矩均为零）18第18页，本讲稿共46页 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为：刚体平面运动可分解为：随基点（质点随基点（质点C）的平动：）的平动：绕通过质心轴的转动：绕通过质心轴的转动：三、刚体作平面运动 作用于质心作用于质心19第19页，本讲稿共46页ABO 绳子绳子BO剪断后杆剪断后杆AB作作平面运动平面运动.点点A作以作以O为圆为圆心心AO为半径的圆周运动为半径的圆周运动.AB=0 vA=0CaAaAaCAaC=aA+aCA(1)(2)解解:取杆取杆AB为研究对象进行运动分析为研究对象进行运动分析例例2.用长为用长为l的两根绳子的两根绳子AO和和BO把长把长l 重重 P的匀质细直杆的匀质细直杆AB悬在点悬在点 O如图如图.且且=60o当杆处于水平静止时当杆处于水平静止时,突然剪断绳子突然剪断绳子BO,求刚剪断瞬时另一绳子求刚剪断瞬时另一绳子AO 的拉力及杆的拉力及杆AB的角加速度的角加速度.20第20页，本讲稿共46页xABOCaAaCA进行受力分析画受力图进行受力分析画受力图.RIcARIcMIc(3)TP21第21页，本讲稿共46页应用达朗伯原理得应用达朗伯原理得:(5)联立联立(1)-(5)式得式得:(4)xABOCaAaCARIcARIcMIcTP22第22页，本讲稿共46页BAO 1 2例例3.位于铅垂平面内长度都等于位于铅垂平面内长度都等于l,质量都等于质量都等于m的均质直杆的均质直杆OA和和AB,在在A处用销钉连接处用销钉连接,在在O处用铰链支座固定如图所示处用铰链支座固定如图所示.设两杆从水平位置由静止开始运动的瞬时设两杆从水平位置由静止开始运动的瞬时,OA杆的角加速度为杆的角加速度为 1,AB杆的角加速度为杆的角加速度为 2.试画出整个系统的惯性力系试画出整个系统的惯性力系.并分别用并分别用 1和和 2表示表示.23第23页，本讲稿共46页解解:取系统为研究对象进行运动分析取系统为研究对象进行运动分析.BAO 1 2OA杆作定轴转动杆作定轴转动.AB杆作平面运动杆作平面运动.C2C1aC1aC224第24页，本讲稿共46页例例4 均质杆长均质杆长l,质量质量m,与水平面铰接与水平面铰接,杆由与平面成杆由与平面成 0角位角位置静止落下。求开始落下时杆置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。选杆选杆AB为研究对象为研究对象分析受力分析受力解解：根据动静法，有根据动静法，有分析运动分析运动,虚加惯性力系虚加惯性力系：(1)用达朗伯原理求解此题：用达朗伯原理求解此题：25第25页，本讲稿共46页26第26页，本讲稿共46页(2)用动量矩定理用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解：选解：选AB为研究对象为研究对象由由得：得：由质心运动定理：由质心运动定理：27第27页，本讲稿共46页 例例5 牵引车的主动轮质量为牵引车的主动轮质量为m，半径为，半径为R，沿水平直线轨道，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回并垂直于轮盘的轴的回转半径为转半径为，轮与轨道间摩擦系数为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。之最大值。取轮为研究对象取轮为研究对象 虚加惯性力系：虚加惯性力系：解：解：由动静法，得：由动静法，得：O28第28页，本讲稿共46页由由(1)得得由由(2)得得 FN=P+S，要保证车轮不滑动，要保证车轮不滑动，必须必须 FSf FN =f(P+S)(5)可见，可见，f 越大越大越不易滑动。越不易滑动。Mmax的值为的值为上式右端的值。上式右端的值。把把(5)代入代入(4)得：得：29第29页，本讲稿共46页解：滑轮作平面运动，画出包括惯性力主矢和解：滑轮作平面运动，画出包括惯性力主矢和主矩及真实力在内的受力图，其惯性力主矢为主矩及真实力在内的受力图，其惯性力主矢为F=-ma，对质心的主矩为，对质心的主矩为MC=-JC 。例例6 质量为质量为m、半径为、半径为r的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有软绳，将绳的一端固定于点软绳，将绳的一端固定于点A而令滑轮自由下落如图示。不而令滑轮自由下落如图示。不计绳子的质量，求轮心计绳子的质量，求轮心C的加速度和绳子的拉力。的加速度和绳子的拉力。F30第30页，本讲稿共46页例例7 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P和和Q，半径均为，半径均为R，绳子不可伸长，其，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：试求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？绳子的拉力？(3)轴承轴承O处的支反力？处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？31第31页，本讲稿共46页解：解：方法方法1 用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解取轮取轮O为研究对象，虚加惯性力偶为研究对象，虚加惯性力偶列出动静方程：列出动静方程：取轮取轮A为研究对象，虚加惯性力为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶和惯性力偶 如图示。如图示。32第32页，本讲稿共46页列出动静方程：列出动静方程：运动学关系：运动学关系：，将将 及运动学关系代入到及运动学关系代入到(1)和和(4)式并联立求解得：式并联立求解得：33第33页，本讲稿共46页代入(2)、(3)、(5)式，得：34第34页，本讲稿共46页方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1)用动能定理求鼓轮角加速度。用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为研究对象取系统为研究对象两边对两边对t求导数：求导数：35第35页，本讲稿共46页(2)用动量矩定理求绳子拉力用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程）（定轴转动微分方程）取轮取轮O为研究对象，由动量矩定理得为研究对象，由动量矩定理得(3)用质心运动定理求解轴承用质心运动定理求解轴承O处支反力处支反力 取轮取轮O为研究对象，根据质心运动定理：为研究对象，根据质心运动定理：36第36页，本讲稿共46页(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体取圆柱体A为研究对象，为研究对象，根据刚体平面运动微分方程根据刚体平面运动微分方程方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力（绳子拉力 、轴承、轴承O处反处反 力力 和和 及摩擦力及摩擦力 ）。）。37第37页，本讲稿共46页13-3 定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念 一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度刚体的角速度 ，角加速度，角加速度（逆时针）逆时针）主动力系向主动力系向O点简化点简化:主矢主矢 ,主矩主矩 惯性力系向惯性力系向O点简化点简化:主矢主矢 ,主矩主矩38第38页，本讲稿共46页根据动静法：根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,OA=l1,OB=l2 可得可得39第39页，本讲稿共46页40第40页，本讲稿共46页 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动附加动反力反力，它可以通过调整加以消除。，它可以通过调整加以消除。使附加动反力为零，须有使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力41第41页，本讲稿共46页当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对对z 轴惯性积为零，轴惯性积为零，z 轴轴为刚体在为刚体在O点的惯性主轴；点的惯性主轴；过质心过质心42第42页，本讲稿共46页 静平衡：静平衡：刚体转轴过刚体转轴过质心质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。力时，不论位置如何，总能平衡。二、静平衡与动平衡的概念动平衡：动平衡：转动为转动为中心惯性主轴中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。时，转动时不产生附加动反力。43第43页，本讲稿共46页例例8 质量不计的刚轴以角速度质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着两个匀速转动，其上固结着两个质量均为质量均为m的小球的小球A和和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？衡的？哪些是动平衡的？静平衡：静平衡：(b)、(d)动平衡：动平衡：(a)44第44页，本讲稿共46页 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。不一定是动平衡的。例例9 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？个角速度大？(a)绳子上加力绳子上加力G(b)绳子上挂一重绳子上挂一重G的物的物体体OO45第45页，本讲稿共46页46第46页，本讲稿共46页