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极值与最值2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值1你现在浏览的是第一页，共18页一元极值：一元极值：1.定义定义2.必要条件必要条件x0为为f(x)的极值点的极值点(驻点驻点)即即:但但:极值点极值点 驻点不可导点驻点不可导点(极值嫌疑点极值嫌疑点)注注:条件不充分条件不充分.x0是是f(x)的极值点且的极值点且 存在存在3.充分条件充分条件(一一)、(二二)4.求单调区间及极值步骤求单调区间及极值步骤一元最值：一元最值：1.闭区间闭区间a,b上连续函数的最值上连续函数的最值2.连续函数连续函数f(x)在在(a,b)内唯一极值点即为最值点内唯一极值点即为最值点3.最值实际问题最值实际问题2你现在浏览的是第二页，共18页8.6 8.6 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值 1 1、多元函数极值、多元函数极值1定定义义 设设zf(x,y)在在点点(x0,y0)某某邻邻域域有有定定义义，若若对对该该邻邻域域内内异异于于(x0,y0)在在点点(x,y)，都都有有 f(x0,y0)f(x,y)(f(x0,y0)f(x,y)，则则称称f(x,y)在在(x0,y0)处处取取得得极极大大(极极小小)值值，(x0,y0)称称为为极极大大(极极小小)值值点点。极极大大值值与与极极小小值值统统称称为为极极值值；极极大大值值点点与与极极小小值值点点统统称称为为极值点极值点。极值概念是个局部概念极值概念是个局部概念.例例:(1)z3x24y2在点在点(0,0)有极大值有极大值;(3)zxy在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)无极值无极值.你现在浏览的是第三页，共18页2.2.极值点必要条件极值点必要条件定理定理1 若若f(x,y)在在(x0,y0)处存在偏导数且取得极值处存在偏导数且取得极值,由一元函数极值存在的必要条件可得由一元函数极值存在的必要条件可得 证证 f(x,y)在在(x0,y0)处取得极值，则处取得极值，则f(x,y0)在在xx0处取得极值，处取得极值，类似有类似有(2)驻点未必是极值点驻点未必是极值点.(3)偏导数不存在的点，也可能是极值点。偏导数不存在的点，也可能是极值点。注注(1)使使偏导数都为偏导数都为0的点称为的点称为驻点驻点.例例:h(x,y)xy在在(0,0)点点.则则例：例：在在(0,0)点点.你现在浏览的是第四页，共18页3.极值点充分条件极值点充分条件定定理理2 若若f(x,y)在在(x0,y0)某某邻邻域域内内有有一一阶阶、二二阶阶连连续续偏导数，偏导数，(x0,y0)是是f(x,y)的驻点，的驻点，记记则则(1)B2AC0:f(x0,y0)当当A0极小值极小值.(2)B2AC 0:f(x0,y0)不是极值。不是极值。(3)B2AC0:无法下结论无法下结论(需用定义判别需用定义判别)。求极值求极值(点点)步骤：步骤：(1)求驻点及偏导数不存在的点求驻点及偏导数不存在的点(极值嫌疑点极值嫌疑点)；(2)若无不可导点，可考虑用二阶导数判别；否则用若无不可导点，可考虑用二阶导数判别；否则用定义定义将上述点函数值与各自邻域内点函数值比较将上述点函数值与各自邻域内点函数值比较.你现在浏览的是第五页，共18页解解:例例1.求函数求函数f(x,y)x3y33x23y29x的极值的极值.驻点驻点:(3,0)，(3,2)，(1,0)，(1,2)(注意配对注意配对!)(3,0):B2AC(12)6 0，故不是极值点，故不是极值点(3,2):B2AC(12)(6)0，A0，故，故函数有极大值函数有极大值f(3,2)31(1,0):B2AC126 0，故，故函数有极小值函数有极小值f(1,0)5(1,2):B2AC12(6)0，故不是极值点，故不是极值点.你现在浏览的是第六页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值7例例2.讨论函数讨论函数 zx3y3 及及 z(x2y2)2 在点在点(0,0)是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,zx3y3在在(0,0)点邻域内的取值可能点邻域内的取值可能为正、负及零为正、负及零,因此因此z(0,0)不是极值不是极值.并且在并且在(0,0)都有都有 B2AC0当当x2y2 0时时,z(x2y2)2 z(0,0)0因此因此z(0,0)(x2y2)2(0,0)0为极小值为极小值.你现在浏览的是第七页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值8二、多元函数最值二、多元函数最值1.定定义义 区区域域D上上连连续续函函数数zf(x,y)，(x0,y0)D,若若对对任任意意(x,y)D，f(x0,y0)()f(x,y)，则则称称f(x0,y0)为为f(x,y)在在D上上的的最最大大(小小)值值，(x0,y0)为为最最大大(小小)值值点点。最最大大值值与与最最小小值值统统称称为为最最值值；最最大大值值点点与与最最小小值值点点统统称为最值点。最值概念是一个整体概念。称为最值点。最值概念是一个整体概念。2.求求最最值值(点点)将将D内内驻驻点点、偏偏导导数数不不存存在在的的点点与与边边界界上上点的函数值比较，取最大点的函数值比较，取最大(小小)者。者。特别地，实际问题唯一驻点即为所求最值点特别地，实际问题唯一驻点即为所求最值点.你现在浏览的是第八页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值9解：解：例例 体积为体积为2的长方体箱子的长方体箱子(有盖有盖)，如何安排长、宽、，如何安排长、宽、高可使用料最省？高可使用料最省？V23.设长、宽分别为设长、宽分别为x、y，则高为，则高为2/xy用料用料A2xyy(2/xy)x(2/xy)2(xy2/x2/y).据题意据题意,所用材料面积的最小值一定存在所用材料面积的最小值一定存在,并在开区并在开区域域x 0,y0内取得内取得,(x0,y0)为唯一驻点为唯一驻点,必为最小值必为最小值点点.即当长、宽、高均为即当长、宽、高均为 时时,所用材料最省所用材料最省.P293 例例2、例、例3你现在浏览的是第九页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值10三、条件极值、拉格朗日乘数法三、条件极值、拉格朗日乘数法附有限制条件的极值问题称为条件极值问题。附有限制条件的极值问题称为条件极值问题。例例 求表面积为求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.(解法一解法一)求求Vxyz(x 0，y 0，z 0)在限制条件在限制条件下的最大值下的最大值.(*)由由(*)代入代入V(x,y,z)转化为求转化为求 (x 0,y 0)的最大值的最大值有时从限制条件里解出一个变量不易有时从限制条件里解出一个变量不易,须另找方法须另找方法.你现在浏览的是第十页，共18页则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数z=f(x,(x)的极值问题的极值问题,故故极值点必满足极值点必满足如方法一所述如方法一所述,设设(x,y)=0可确定隐函数可确定隐函数y=(x)记记故有故有拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:问题问题:求函数求函数z=f(x,y)在条件在条件(x,y)=0下的极值下的极值.极值点必满足极值点必满足2022/10/1911你现在浏览的是第十一页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值12引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.则极值点满足则极值点满足:注：拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约注：拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形束条件的情形.由问题的实际意义知解方程组所得的唯一极值可由问题的实际意义知解方程组所得的唯一极值可疑点即为所求条件极值的最值点疑点即为所求条件极值的最值点.你现在浏览的是第十二页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值13(解法二解法二)设设 唯一的极值点，也是最大值点。故唯一的极值点，也是最大值点。故表面积为表面积为a 2的长方体中的长方体中,以棱长为以棱长为 的正方体的的正方体的体积最大，最大体积为体积最大，最大体积为P296 例例5你现在浏览的是第十三页，共18页例例 企业在两个相互分割的市场上出售同一产品企业在两个相互分割的市场上出售同一产品,两市场的需求函数分别是两市场的需求函数分别是p1=182Q1,p2=12Q2,其中其中p1和和p2分别表示该产品在两个市场的价格分别表示该产品在两个市场的价格(单单位位:万元万元/吨吨)，Q1和和Q2分别表示该产品在两个市场分别表示该产品在两个市场的销售量的销售量(即需求量即需求量,单位单位:吨吨)，该企业生产这种产，该企业生产这种产品的总成本函数是品的总成本函数是C2Q5，其中，其中Q表示该产品表示该产品在两个市场的销售总量，即在两个市场的销售总量，即QQ1Q2.(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润得最大利润;(2)如果该企业实行价格无差别如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小种价格策略下的总利润大小.14你现在浏览的是第十四页，共18页解解 (1)2Q12 Q2216Q110Q25.令令解得解得Q1=4,Q2=5,因驻点因驻点(4,5)唯一唯一,且且实际问题一定存在最大值实际问题一定存在最大值,故最大值必在故最大值必在驻点处达到，所以最大利润为驻点处达到，所以最大利润为L(4,5)=242 521641055=52(万元万元)LRCp1Q1+p2Q2(2Q5)此时此时p1=10(万元万元/吨吨),p2=7(万元万元/吨吨).15你现在浏览的是第十五页，共18页(2)若实行价格无差别策略若实行价格无差别策略,则则p1=p2,即即:有约束条件有约束条件令令解得解得Q1=5,Q2=4,=2最大利润最大利润L=25242+165+1045=49(万元万元)此时此时p1=p2=8(万元万元/吨吨).2Q1Q26构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数F(Q1,Q2,)2Q12 Q2216Q110Q25(2Q1Q26)可见，企业实行价格差别策略所得最大利润大于可见，企业实行价格差别策略所得最大利润大于统一价格的最大利润统一价格的最大利润.16你现在浏览的是第十六页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值17作业：完成完成 32016(2)222324你现在浏览的是第十七页，共18页2022/10/19微积分微积分-多元极值与最值多元极值与最值18下课你现在浏览的是第十八页，共18页