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理论力学第四章1第1页，本讲稿共45页迎面风力侧面风力b空间力系空间力系:各力的作用线不在同一平面内的力系。各力的作用线不在同一平面内的力系。2第2页，本讲稿共45页1、力对点的矩以矢量表示 力矩矢（48）(3)作用面：力矩作用面.(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：4-1 4-1 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲方向矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对点之矩矢表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对点之矩矢量的指向）量的指向）平面力系中，各力与矩心均在同一平面内（即各力的力矩平面相同），所平面力系中，各力与矩心均在同一平面内（即各力的力矩平面相同），所以力对点之矩的代数符号完全能够区分各力使物体绕矩心转动的转向。空以力对点之矩的代数符号完全能够区分各力使物体绕矩心转动的转向。空间力系中，各力的作用线分别与空间中同一点所构成的平面互不相同，故间力系中，各力的作用线分别与空间中同一点所构成的平面互不相同，故各力使物体绕该点转动的转轴也不同。各力使物体绕该点转动的转轴也不同。3第3页，本讲稿共45页(4-4)(4-4)X X和和x x分别表示力分别表示力F F和和A A点的坐标在对点的坐标在对应坐标轴上的投影。应坐标轴上的投影。可见：可见：F F对对O O点之矩在三个坐标轴上的投影分别为：点之矩在三个坐标轴上的投影分别为：4第4页，本讲稿共45页2.力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。如力F对Z轴之矩表示为：方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：Nm力使物体绕某轴转动的效应可用此力在垂直于该轴平面上的力使物体绕某轴转动的效应可用此力在垂直于该轴平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩来度量，我们将力在垂直于分力对此平面与该轴的交点之矩来度量，我们将力在垂直于某轴的平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩，称为力对某轴的平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩，称为力对轴之矩。轴之矩。5第5页，本讲稿共45页2.力对轴的矩力对轴之矩合力矩定理力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。代数和。例：将例：将FxyFxy再分解为再分解为FxFx、FyFy，根据合力矩定理则有：，根据合力矩定理则有：同理有：同理有：（4-64-6）6第6页，本讲稿共45页3.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系与式与式(4-4)(4-4)比较比较,得得:即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩力对该轴的矩.7第7页，本讲稿共45页直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影空间汇交力系空间汇交力系8第8页，本讲稿共45页FxFyFz二次投影法1.1.力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影9第9页，本讲稿共45页2.空间汇交力系的合成空间汇交力系的合成：10第10页，本讲稿共45页3.空间汇交力系的平衡：空间汇交力系的平衡：空间汇交力系平衡的充要条件是：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零力系的合力为零即：即：空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程11第11页，本讲稿共45页力偶用矢量表示力偶用矢量表示4-2 4-2 空间力偶系空间力偶系1.1.平面力偶系：平面力偶系：代数和代数和.空间力偶系：空间力偶系：.空间力偶三要素：作用面方位、在作用面的空间力偶三要素：作用面方位、在作用面的转向、任一力大小与力偶臂的乘积转向、任一力大小与力偶臂的乘积F.dF.d。合成：合成：平衡：平衡：空间力偶三要素可用空间力偶三要素可用力偶矩矢力偶矩矢来表示。来表示。大小：大小：与矩心无关。与矩心无关。12第12页，本讲稿共45页43 43 空间一般力系向一点的简化空间一般力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化其中，各 ，各一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.13第13页，本讲稿共45页称为空间力偶系的主矩主矩称为力系的主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力主矢大小主矢大小主矢方向主矢方向14第14页，本讲稿共45页 主矩方向主矩方向：由于力对点之矩与力对轴之矩存在如下的关系由于力对点之矩与力对轴之矩存在如下的关系:主矩大小主矩大小主矩大小主矩大小15第15页，本讲稿共45页4).4).若若 ,则该力系则该力系平衡平衡2).2).若若 则力系简化为则力系简化为合力偶合力偶,与简化中心无关与简化中心无关。1).1).若若 则力系简化为则力系简化为合力合力，与简化中心有关。与简化中心有关。2.2.空间一般力系简化结果的讨论空间一般力系简化结果的讨论3).3).若若则力系简化为则力系简化为力螺旋力螺旋(或合力）或合力）16第16页，本讲稿共45页1）合力最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为当 时，当 最后结果为一个合力.合力作用点过简化中心合力作用点过简化中心.17第17页，本讲稿共45页合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和.合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.（2）合力偶当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。（3）力螺旋当 /时18第18页，本讲稿共45页时，为力螺旋的情形为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）（4）平衡当 时，空间力系为平衡力系19第19页，本讲稿共45页 一、空间任意力系的平衡充要条件是一、空间任意力系的平衡充要条件是：4-5 4-5 空间一般力系的平衡方程和平衡条件空间一般力系的平衡方程和平衡条件也可以是四矩式，五矩式和六矩式。空间任意力系的平衡方程为：空间任意力系的平衡方程为：20第20页，本讲稿共45页空间汇交力系：空间汇交力系：空间力偶系空间力偶系：空间任意力系：空间任意力系：21第21页，本讲稿共45页例例例例 题题题题 4-34-3 如如图图所所起起重重机机，已已知知CE=EB=DECE=EB=DE,角角=30=30oo，CDBCDB平平面面与与水水平平面面间间的的夹夹角角EBFEBF=3030o o,重重物物G=G=1010kNkN。如如不不计计起起重重杆杆的的重重量量,试试求求起起重重杆杆所所受受的的力力和绳子的拉力。和绳子的拉力。22第22页，本讲稿共45页1.1.取杆取杆取杆取杆ABAB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。解：解：解：解：x xz zy y3030o o A AB BD DG GC CE EF FF F1 1F F2 2F FA Az zy y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA A其侧视图为其侧视图为其侧视图为其侧视图为例例例例 题题题题 4-34-323第23页，本讲稿共45页3 3.联立求解联立求解联立求解联立求解。2 2.列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。x xz zy y3030o o A AB BD DG GC CE EF FF F1 1F F2 2F FA Az zy y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA A例例例例 题题题题 4-34-324第24页，本讲稿共45页例：已知立方体边长为a求：(1)力F在各轴上的投影(2)力F对各轴之矩（a,a,0)25第25页，本讲稿共45页例例例例 题题题题 手手手手柄柄柄柄ABCEABCE在在在在平平平平面面面面AxyAxy内内内内,在在在在D D处处处处作作作作用用用用一一一一个个个个力力力力F F，如如如如图图图图所所所所示示示示，它它它它在在在在垂垂垂垂直直直直于于于于y y轴轴轴轴的的的的平平平平面面面面内内内内，偏偏偏偏离离离离 铅铅铅铅 直直直直 线线线线 的的的的 角角角角 度度度度 为为为为 。如如如如 果果果果CD=bCD=b，杆杆杆杆BCBC平平平平行行行行于于于于x x轴轴轴轴,杆杆杆杆CECE平平平平行行行行于于于于y y轴轴轴轴，ABAB和和和和BCBC的的的的长长长长度度度度都都都都等等等等于于于于l l。试试试试求求求求力力力力F F 对对对对x x，y y和和和和z z三三三三轴轴轴轴的的的的矩。矩。矩。矩。26第26页，本讲稿共45页应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。力力力力F F 沿坐标轴的投影分别为：沿坐标轴的投影分别为：沿坐标轴的投影分别为：沿坐标轴的投影分别为：由于力与轴平行或相交由于力与轴平行或相交由于力与轴平行或相交由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有时力对该轴的矩为零，则有时力对该轴的矩为零，则有时力对该轴的矩为零，则有解：解：解：解：方法方法方法方法1 1例例例例 题题题题 27第27页，本讲稿共45页应用力对轴的矩之解析表达式求解。应用力对轴的矩之解析表达式求解。应用力对轴的矩之解析表达式求解。应用力对轴的矩之解析表达式求解。因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：力作用点力作用点力作用点力作用点D D 的坐标为：的坐标为：的坐标为：的坐标为：则则则则方法方法方法方法2 2例例例例 题题题题 28第28页，本讲稿共45页例4-7已知：P=8kN,各尺寸如图求：A、B、D 处约束力解：研究对象：小车受力：受力：列平衡方程结果：29第29页，本讲稿共45页例例例例：在在在在图图图图中中中中胶胶胶胶带带带带的的的的拉拉拉拉力力力力 F F22=2 2F F1 1，曲曲曲曲柄柄柄柄上上上上作作作作用用用用有有有有铅铅铅铅垂垂垂垂力力力力F F=2 2000000N N。已已已已知知知知胶胶胶胶带带带带轮轮轮轮的的的的直直直直径径径径D D=400=400mmmm，曲曲曲曲柄柄柄柄长长长长R R=300=300mmmm，胶胶胶胶带带带带1 1和和和和胶胶胶胶带带带带2 2与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线间间间间夹夹夹夹角角角角分分分分别别别别为为为为=30=30o o,=60=60o o，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。30第30页，本讲稿共45页以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程解：解：解：解：例例例例 题题题题 31第31页，本讲稿共45页解方程得解方程得解方程得解方程得又有又有又有又有 F F2 2=2 2F F1 1例例例例 题题题题 32第32页，本讲稿共45页解题步骤解题步骤(与平面的相同与平面的相同)选研究对象选研究对象画受力图画受力图选坐标、列方程选坐标、列方程解方程、求出未知数解方程、求出未知数33第33页，本讲稿共45页本次作业本次作业:4-2:4-234第34页，本讲稿共45页一、重心坐标公式的推导一、重心坐标公式的推导对y轴用合力矩定理有对x轴用合力矩定理有46 46 重重 心心35第35页，本讲稿共45页再对x轴用合力矩定理则计算重心坐标的公式为对均质物体，有36第36页，本讲稿共45页1.积分法求重心:37第37页，本讲稿共45页2.简单几何形状物体的重心（组合法）简单几何形状物体的重心（组合法）38第38页，本讲稿共45页3.确定重心（利用对称性）凡对称的均质物体，其重心必在它们的对称面、对称轴或对称中心上。例如均质的圆球，重心在其对称中心（球心）上。39第39页，本讲稿共45页解解：由于对称关系，该圆弧重心必在由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即轴，即yC=0。取微段。取微段例例4-11求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质圆弧的重心的均质圆弧的重心。O40第40页，本讲稿共45页O解解：利用积分来求重心；显然重心在对称轴利用积分来求重心；显然重心在对称轴Ox上，故上，故yc=0.通过圆心通过圆心O作一系作一系列半径而将此扇形分割为无限多个微元三角形。由于每一个微元三角形的重列半径而将此扇形分割为无限多个微元三角形。由于每一个微元三角形的重心均在距顶点心均在距顶点O为为2R/3之处，所以它们连成了以之处，所以它们连成了以O为圆心、为圆心、2R/32R/3为半径，且为半径，且顶角为顶角为2 2 的一段圆弧，因此可将扇形板的重量看成为集中分布在该圆弧上。的一段圆弧，因此可将扇形板的重量看成为集中分布在该圆弧上。再利用例再利用例4-114-11中所得圆弧重心坐标公式，可求得均质扇形板的中心坐标为中所得圆弧重心坐标公式，可求得均质扇形板的中心坐标为例例4-12求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质扇形面积的重心的均质扇形面积的重心。41第41页，本讲稿共45页例4-13求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.则用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.42第42页，本讲稿共45页求：此白色面积的形心？求：此白色面积的形心？解解：分为三个截面例4-14.已知43第43页，本讲稿共45页44第44页，本讲稿共45页-11-11（a)a)，4-12 4-12 45第45页，本讲稿共45页