第2部分插值与逼近优秀课件.ppt
第2部分插值与逼近第1页，本讲稿共46页y=f(x)y=p(x)满足条件满足条件p(xi)=yi(i=0,1,.,n)3.插值法的思想插值法的思想4.几何意义几何意义.Oxyx0 x1xn-1xn（2）f(x)称为称为被插函数；被插函数；说明：说明：（1）p(x)称为称为f(x)的的插值函数；插值函数；（3）xi 称为称为插值节点插值节点,(xi,yi)称为称为插值点插值点,a,b称为称为插值区间插值区间；第2页，本讲稿共46页x0 x1(x0,y0)(x1,y1)p1(x)f(x)2.1 2.1 一次插值多项式及误差一次插值多项式及误差p1(x)f(x)已知数据表格：已知数据表格：x x0 x1y y0 y1(1)p1(x)是一个次数不超过是一个次数不超过1的多项式的多项式;求一个多项式求一个多项式p1(x),使其满足使其满足如下条件：如下条件：（2）p 1(xi)=yi=f(xi)(i=0,1)。几何几何意义？意义？问题的引入：问题的引入：第3页，本讲稿共46页(1)(1)一次一次LagrangeLagrange插值公式插值公式称之为节点称之为节点x0,x1处的处的Lagrange插值基函数插值基函数,是是1次多项式次多项式。称之为一次称之为一次Lagrange插值多项式插值多项式特点？特点？定义定义称称为函数为函数f(x)关于点关于点x0、xk的一阶差商的一阶差商(均差均差)；(2)(2)一次一次NewtonNewton插值公式插值公式 2.1 2.1 一次插值多项式及误差一次插值多项式及误差第4页，本讲稿共46页 2.1 2.1 一次插值多项式及误差一次插值多项式及误差(2)(2)一次一次NewtonNewton插值公式插值公式称之为称之为1次次Newton插值多项式插值多项式(3)(3)线性（行列式）插值公式线性（行列式）插值公式称之为一次称之为一次线性线性插值多项式插值多项式(4)(4)一次插值的误差一次插值的误差截断误差截断误差R1(x)=f(x)p1(x)称为插值多项式的误差称为插值多项式的误差（余项）。（余项）。第5页，本讲稿共46页设设f(x)在区间在区间a,b上上2阶导数存在阶导数存在,xi a,b(i=0,1)为为2个互个互异节点异节点,则对任何则对任何x a,b,有有(且与且与x有关）有关）2.1 2.1 一次插值多项式及误差一次插值多项式及误差(4)(4)一次插值的误差估计一次插值的误差估计特别地特别地第6页，本讲稿共46页问题提出：问题提出：2.2 2.2 二次插值多项式及误差估计二次插值多项式及误差估计(1)p2(x)是一个次数不超过是一个次数不超过2 的多项式的多项式;已知数据表格：已知数据表格：x x0 x1 x2y y0 y1 y2求一个多项式求一个多项式p2(x),使其满足如下条件：使其满足如下条件：（2）p 2(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,2)。(1)(1)二次二次LagrangeLagrange插值公式插值公式第7页，本讲稿共46页 2.2 2.2 二次插值多项式及误差估计二次插值多项式及误差估计称之为二次称之为二次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式称之为节点称之为节点xi(i=0,1,2)处的处的Lagrange插值基函数插值基函数,是是2次多项式次多项式。第8页，本讲稿共46页(2)(2)二次二次NewtonNewton插值公式插值公式 2.2 2.2 二次插值多项式及误差估计二次插值多项式及误差估计称之为称之为2次次Newton插值多项式插值多项式令,则则(3)(3)逐次线性插值公式逐次线性插值公式第9页，本讲稿共46页可验证可验证 2.2 2.2 二次插值多项式及误差估计二次插值多项式及误差估计(4)(4)二次插值多项式的误差估计二次插值多项式的误差估计设设f(x)在区间在区间a,b上上3阶导数存在阶导数存在,xi a,b(i=0,1,2)为为3个个互异节点互异节点,则对任何则对任何x a,b,有有(且与且与x有关）有关）第10页，本讲稿共46页的二次插值多项式的二次插值多项式,且计算且计算f(3)的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。例例设设解解插值多项式为插值多项式为第11页，本讲稿共46页因为因为故故于是于是第12页，本讲稿共46页(1)pn(x)是一个次数不超过是一个次数不超过n 的多项式的多项式;已知数据表格：已知数据表格：x x0 x1 x2 xny y0 y1 y2 yn求一个多项式求一个多项式pn(x),使其满足如下条件：使其满足如下条件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,.,n)。问题提出：问题提出：其中其中l i(x)(i=0,1,n)是节点是节点xi 处的处的n次次Lagrange插值基函插值基函数。数。2.3 2.3 n次插值多项式及误差估计次插值多项式及误差估计(1)(1)n 次次LagrangeLagrange插值公式插值公式第13页，本讲稿共46页 节节函函 点点 数数函数值函数值其中其中A为常数为常数.由由li(xi)=1可得可得 2.3 2.3 n次插值多项式及误差估计次插值多项式及误差估计(1)(1)n 次次LagrangeLagrange插值公式插值公式第14页，本讲稿共46页 2.3 2.3 n次插值多项式及误差估计次插值多项式及误差估计(1)(1)n 次次LagrangeLagrange插值公式插值公式第15页，本讲稿共46页(2)n n次次NewtonNewton插值公式插值公式其中其中称为的的阶均差。阶均差。2.3 2.3 n次插值多项式及误差估计次插值多项式及误差估计第16页，本讲稿共46页（3）n次逐次线性插值公式次逐次线性插值公式可验证可验证 2.3 2.3 n次插值多项式及误差估计次插值多项式及误差估计(4)(4)n次插值余项次插值余项（2）若若说明：说明：则则（1）误差的大小依赖于哪些量？误差的大小依赖于哪些量？节点的位置节点的位置和和个数个数？第17页，本讲稿共46页19011901年德国数学家龙格年德国数学家龙格(Runge)(Runge)给出一个例子给出一个例子:定定义义在在区区间间-1-1，11上上，这这是是一一个个光光滑滑函函数数，它它的的任任意意阶阶导导数数都都存存在在，对对它它在在-1-1，11上上作作等等距距节节点点插插值值时时，插插值值多多项项式式情况情况:问题的引入：问题的引入：2.4 2.4 分段低次插值公式分段低次插值公式 第18页，本讲稿共46页这这种种插插值值多多项项式式当当节节点点增增加加时时反反而而不不能能更更好好地地接接近近被被插插值值函函数数的的现现象象，称称为为龙格现象龙格现象第19页，本讲稿共46页2.4 2.4 分段低次插值公式分段低次插值公式 （1）In(x)在每个小区间在每个小区间 xi，xi+1 上是上是个次数不超过个次数不超过1的多的多项式项式;x x0 x1 x2 xny y0 y1 y2 yn求一个多项式求一个多项式In(x),使其满足如下条件：使其满足如下条件：（3）In(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,.,n)。已知数据表格：已知数据表格：设在设在 a,b 上取上取n+1个节点，且个节点，且 a=x0 x1x2xn-1xn=b,f(x)的函数值为的函数值为yi=f(xi)(i=0,1,2,n),即即（2）In(x）Ca,b;第20页，本讲稿共46页称之为称之为f(x)在区间在区间 a,b 上上关于数据关于数据(xi,yi)(i=0,1,2,n)的的分段线性分段线性插值函数插值函数.说明：说明：In(x）的特点）的特点？失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。(1)插值公式插值公式第21页，本讲稿共46页在插值区间在插值区间a,b上有上有(2)插值余项插值余项将区间将区间-1-1，11分成分成1010等份，做分段线性插值函数，并等份，做分段线性插值函数，并做出图形观察逼近程度。做出图形观察逼近程度。课下练习：课下练习：第22页，本讲稿共46页1、两点带导数的三次、两点带导数的三次Hermite插值多项式插值多项式求多项式求多项式H3(x),使其满足如下条件：使其满足如下条件：H3(x)称为两点带导数的称为两点带导数的三次三次Hermite(埃尔米特埃尔米特)插值多项式。插值多项式。法法1822-1901 2.5 Hermite(2.5 Hermite(埃尔米特埃尔米特）插值）插值给定如下数据表：给定如下数据表：x x0 x1y y0y1 y m0m1(1)H3(x)是一个次数不超过是一个次数不超过3的多项式的多项式;（2）第23页，本讲稿共46页 节节 点点基基 函函 数数函数值函数值导数值导数值x0 x1x0 x10(x)10001(x)01000(x)00101(x)00011、两点带导数的三次、两点带导数的三次Hermite插值多项式插值多项式 2.5 Hermite(2.5 Hermite(埃尔米特埃尔米特）插值）插值(1)(1)Hermite插值公式插值公式设节点设节点xi 处的处的插值基函数插值基函数分别是分别是i(x)和和i(x)(i=0,1)令令由由得得由由得得于是于是第24页，本讲稿共46页1、两点带导数的三次、两点带导数的三次Hermite插值多项式插值多项式 2.5 Hermite(2.5 Hermite(埃尔米特埃尔米特）插值）插值同理同理于是于是(2)(2)Hermite插值余项插值余项第25页，本讲稿共46页 例例已知已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特用埃尔米特插值公式计算插值公式计算1251/2的近似值的近似值,并估计其截断误差并估计其截断误差.x121144 f(x)1112 f(x)1/221/24解解第26页，本讲稿共46页得得由由可得可得第27页，本讲稿共46页2、n+1个节点带导数的个节点带导数的Hermite插值多项式插值多项式求一个多项式求一个多项式H2n+1(x),使其满足如下条件：使其满足如下条件：H2n+1(x)称为称为n+1节点带导数的节点带导数的2n+1次次Hermite(埃尔米特埃尔米特)插值多插值多项式。项式。2.5 Hermite(2.5 Hermite(埃尔米特埃尔米特）插值）插值给定如下数据表：给定如下数据表：x x0 x1 xny y0y1 yn y m0m1 mn(1)H2n+1(x)是一个次数不超过是一个次数不超过2n+1的多项式的多项式;（2）H2n+1(xi)=yi ,H2n+1(xi)=mi(i=0,1,n).第28页，本讲稿共46页 2.5 Hermite(2.5 Hermite(埃尔米特埃尔米特）插值）插值(1)(1)Hermite插值公式插值公式设节点设节点xi 处的处的插值基函数插值基函数分别是分别是i(x)和和i(x)(i=0,1,.n)2、n+1个节点带导数的个节点带导数的Hermite插值多项式插值多项式且与且与x有关有关)(2)(2)Hermite插值余项插值余项第29页，本讲稿共46页1 1、差商（均差）定义、差商（均差）定义定义定义称称为函数为函数f(x)关于点关于点x0、xk的一阶差商的一阶差商(均差均差)；为函数为函数f(x)关于点关于点x0、x1、xk的二阶差商（均差）的二阶差商（均差）.称称一般地，若一般地，若f(x)的的k-1阶差商存在，阶差商存在，f(x)关于点关于点x0,x1,xk-1,xk 的的k 阶差商定义为阶差商定义为TABLE第30页，本讲稿共46页xif(xi)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商.x0 x1 x2 x3f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f x0,x1 f x1,x2 f x2,x3.f x0,x1,x2 f x1,x2,x3.f x0,x1,x2,x3.差商的计算步骤与结果可列表如下差商的计算步骤与结果可列表如下:第31页，本讲稿共46页已知已知给定如下数据表：给定如下数据表：x x0 x1 xny y0y1 yn y m0m1 mn（1）In(x)在每个小区间在每个小区间 xi，xi+1 上是上是次数不超过次数不超过3的多项式的多项式;求一个多项式求一个多项式In(x),使其满足如下条件：使其满足如下条件：（2）In(x）C1a,b;（3）3、分段的三次、分段的三次Hermite插值多项式插值多项式第32页，本讲稿共46页(1)插值公式插值公式3、分段的三次、分段的三次Hermite插值多项式插值多项式第33页，本讲稿共46页(1)插值公式插值公式3、分段的三次、分段的三次Hermite插值多项式插值多项式第34页，本讲稿共46页(1)插值公式插值公式称为称为分段三次分段三次Hermite插值函数插值函数.(2)插值余项插值余项3、分段的三次、分段的三次Hermite插值多项式插值多项式在插值区间在插值区间a,b上有上有说明：说明：In(x）的特点）的特点？导数一般不易得到。导数一般不易得到。第35页，本讲稿共46页在区间在区间a,b上，给定上，给定n+1个互不相同的节点个互不相同的节点(1)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1(i=0,1,.,n-1)上是次数不超过上是次数不超过3的多项式的多项式;2.62.6*三次样条插值三次样条插值函数函数y=f(x)在这些节点的值为在这些节点的值为yi=f(xi)(i=0,1,n)。如果。如果a=x0 x1xn=b,分段表示的函数分段表示的函数S(x)满足下列条件，称为三满足下列条件，称为三次样条插值函数次样条插值函数.（2）S(xi)=yi(i=0,1,n);(3)S(x)C2a,b.问题的提出问题的提出第36页，本讲稿共46页S(x)在区间在区间的表达式为的表达式为记记第37页，本讲稿共46页所以所以同理同理(i=1,2,n)(i=0,1,n-1)由由(i=1,2,n-1),得得第38页，本讲稿共46页其中其中即即设设为参数为参数,这种通过确这种通过确定定mi 来求来求S(x)的方法叫的方法叫三转角法三转角法。第39页，本讲稿共46页（1）给定一阶导数值）给定一阶导数值方程组为方程组为设设c0,cn 为常数，且为常数，且第40页，本讲稿共46页（2）给定二阶导数值）给定二阶导数值设设r0,rn 为常数，且为常数，且(i=0,1,n-1)根据根据和和(i=1,2,n)第41页，本讲稿共46页方程组为方程组为其中其中特别特别称为称为自然边界条件。自然边界条件。第42页，本讲稿共46页（3）设）设f(x)是周期函数，最小周期为是周期函数，最小周期为b a，有有则有则有称为称为周期边界条件。周期边界条件。说明说明（1）以第以第(2)种边界条件为例。算法步骤种边界条件为例。算法步骤步骤步骤1计算计算步骤步骤2用追赶方法计算用追赶方法计算mn,m0;步骤步骤3xi，xi+1上，写出上，写出在每个小区间在每个小区间第43页，本讲稿共46页(i=0,1,n-1)或者或者(2)三次样条插值函数的误差估计式三次样条插值函数的误差估计式第44页，本讲稿共46页（3）三次样条函数的特点？三次样条函数的特点？上机实习题上机实习题设函数设函数试用三次样条函数作插值，并与试用三次样条函数作插值，并与p20(x)作比较。作比较。取等距节点取等距节点xi=x0+ih,i=0,1,20边界条件边界条件第45页，本讲稿共46页思思考考题题：用用三三次次样样条条插插值值函函数数去去逼逼近近飞飞机机头头部部的的外外型型曲曲线线，其型值点数据由下表给出其型值点数据由下表给出x070130 210 337 578 7761012114214621841y05778103 135 182 214 244 256 272 275设给定下述两种边界条件，试分别计算插值函数在点设给定下述两种边界条件，试分别计算插值函数在点 的值，并绘出飞机头部外型曲线。的值，并绘出飞机头部外型曲线。（1 1）自然边界条件；（）自然边界条件；（2 2）第46页，本讲稿共46页
