椭圆的简单 几何性质.doc

2.2.2 椭圆的简单几何性质（2）教材分析“椭圆的简单几何性质”是人教A版高中实验教材选修2-1第二章第二节的内容本节课是在学习了椭圆的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，椭圆的几何性质是高中数学重要内容，也是高考的重点与热点内容它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，为后面研究双曲线、抛物线的几何性质奠定了基础，它在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用本节内容把它分成三课时完成，第一课时主要解决、对称性、顶点等问题，第二课时完成椭圆的离心率和椭圆性质的简单综合运用教学范围，第三课时研究直线与椭圆位置关系，将难点分散，学生更容易掌握所学的知识和方法本节是椭圆几何性质的第二课时，因此本节主要是离心率及实际运用课时分配 本节内容用3课时的时间完成，主要讲解椭圆的几何性质及简单综合运用教学目标重 点: 椭圆的几何性质及运用难 点：椭圆离心率的概念的理解知识点：椭圆离心率能力点：通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力教育点：从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、 和谐美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质自主探究点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程考试点：椭圆离心率易错易混点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变拓展点：椭圆的第二定义教具准备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学，三段六步教学法一、引入新课1椭圆的几何性质：标准方程：1(a>b>0)；顶点坐标：(±a，0)，(0，±b)对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长2a，短轴长2b焦点坐标：(±c，0)，c2引例：利用上节课确定椭圆范围的方法，在同一个坐标系中画出方程1和1所表示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同（学生独立思考，同桌之间交流，动手操作教师巡视，展示学生解答过程，师生共评）【设计意图】 学生利用上节知识解决问题，掌握椭圆的简单几何性质，引出本课问题利用认知迁移规律，从学生的“最近发展区”出发，引导学生利用已有的知识尝试解决问题，在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建构从而引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，教学中让学生就此探究进行思考展开讨论二、探究新知【教师】实物展台展示画图，问学生有何不同，学生容易看出(指出一个扁一些，一个圆一些)，此时追问圆、扁与什么有关系？(提示学生注意两个方程) 【学生活动】思考后容易发现与 a，b 有关系 在 a 不变的情况下与 b 有关系， b 大则圆， b 小则扁，因此与 a，b有关系 【教师分析】在推导方程中曾令b2a2c2，这又意味着形状还与什么有关系呢？ 学生有的说与 b、c有关，有的说与a、b、c有关(鼓励学生大胆猜测) 【教师】在给出椭圆的定义中，大家还记得影响椭圆形状的最关键的要素是什么？(定点、定长即c和）【设计意图】利用椭圆的定义引出、c，使离心率定义的给出更加自然、深刻椭圆的焦距与长轴长的比e叫做椭圆的离心率(0<e<1)， 教师引导学生发现：当a 不变，b大则c小，此时也变小，学生通过观察指出此时椭圆较圆，b小则c大，椭圆较扁，特别的，当ab时，c0，椭圆为圆教师及时总结并给出离心率的定义、符号和范围及特例(强调离心率是焦距与长轴长之比，与坐标系选取无关，并引导学生分析出：固定a，b，c中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即e大则扁，e小则圆，特e0时为圆)【设计意图】几何画板的合理使用，把问题直观化，结合逐层深入分析，从而把难度转弱，逐步化解难点，突出重点培养学生的自主探索意识，合作交流的精神三、理解新知1离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量2你能运用三角函数的知识解释，为什么e =越大，椭圆越扁？e=越小，椭圆越圆吗？（教师提问，学生观察、思考、回答）【设计意图】深化理解椭圆扁平程度的刻画四、运用新知例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(3，0)、Q(0，2)；(2)长轴长等于20，离心率等于分析：目的是熟悉椭圆的标准方程和椭圆的性质解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点于是得a3，b2又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为1(2)由已知，2a20，e，所以a10，c6所以b21003664由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为1或1例2点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x的距离比是常数(a>c>0)，求点M的轨迹解：设d是点M到直线l的距离，由题意，所求点M的轨迹就是集合PM|，由此得，将上式两边平方，化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，设a2c2b2，上式可化为1(a>b>0)，为椭圆的标准方程所以，点M的轨迹是长轴长、短轴长分别为2a、2b的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，e为离心率(定直线为这个焦点对应的准线，此点可不介绍)说明：xa·>a·1a【设计意图】 进一步熟悉求动点轨迹的方法，认识形成椭圆的另外一种方法用离心率反映椭圆扁平程度的意义例3 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称旋转一周形成的曲面）的一部分过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2已知BCF1F2，|F1B|=28cm，|F1F2|=45cm试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到01cm）（学生分组讨论教师引导学生建立适当直角坐标系学生思考、交流、讨论，写出解答过程展示解答过程，教师评价分析，引导归纳建立适当直角坐标系的原则）【设计意图】提高学生分析问题，运用几何性质、数形结合思想解决实际问题的能力，感受建立适当直角坐标系的原则练习如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6 371 km求卫星运行的轨道方程(精确到1 km)解：如图，建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(a>b>0)则ac|OA|OF2|F2A|6 3714396 810，ac|OB|OF2|F2B|6 3712 3848 755解得a7 7825，c9725b77 21因此，卫星的轨道方程是1【设计意图】 以社会热点问题、国家大事为背景，创设生活情景，激发学生求知欲，渗透爱国情感教育五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1知识：椭圆离心率的概念，椭圆第二定义2思想：数形结合的思想、教师总结：在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容，“温故而知新”在应用中增强对知识(如本节的公式)的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”六、布置作业 1阅读教材P4547；2书面作业 必做题： P49 习题22 A组 4（1）、（2），5（2）（3） 10选做题：P49 B组 23课外研究： 用几何画板探求点的轨迹（1）0e1 (2)e1 (3)e=1【设计意图】设计作业1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯书面作业的布置，巩固知识，及时反馈教学信息，加强“双基”训练课外题的安排，让学生探究圆锥曲线统一定义，体会数学美，使所学知识和方法得到进一步的提高七、教后反思 本节课在教学设计上，力求调动一切积极因素，激发学生的学习兴趣在教师的引导启发下，使学生的思维围绕“探究”步步深入，最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性 通过动手操作，合作交流，使学生发现并掌握椭圆的简单几何性质，感受领会从数到形的探究过程 椭圆简单几何性质的应用培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力 整个课堂设计关注学生个体差异，使不同的个体均获得不同程度的学习效果和收获 “生活情景”激发学生学习的兴趣，椭圆简单几何性质的探究过程增强了学生的自信心和感受研究方法的思想渗透 多媒体课件的辅助教学，恰到好处，激发学生的兴趣，有效突破难点，离心率的探究变得直观形象易懂，同时也有效提高了课堂教学效率八、板书设计222椭圆的简单几何性质 1椭圆的简单几何性质（1） 范围（2） 对称性（3） 顶点（4） 离心率2引例 3例1例2例3【设计意图】有利于学生对本节课的知识有一个系统的认识