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第五章扭转第1页，本讲稿共58页杆杆的的两两端端承承受受大大小小相相等等、方方向向相相反反、作作用用平平面面垂垂直直于于杆杆件件轴轴线线的的两两个个力力偶偶，杆杆的的任任意意两两横横截截面面将将绕绕轴轴线线产产生生相相对对转转动动，这这种种受力与变形形式称为受力与变形形式称为扭转扭转（torsiontorsion）。51 扭转的概念扭转的概念 以扭转为主要变形的杆件称为以扭转为主要变形的杆件称为以扭转为主要变形的杆件称为以扭转为主要变形的杆件称为轴轴轴轴。ABOmmOBA扭转角（扭转角（）：）：杆件任意两横截面间相对转动的角度。第2页，本讲稿共58页第3页，本讲稿共58页工工 程程 实实 例例第4页，本讲稿共58页当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产拧紧螺母的工具杆将产拧紧螺母的工具杆将产拧紧螺母的工具杆将产生扭转。生扭转。生扭转。生扭转。工工 程程 实实 例例第5页，本讲稿共58页传动轴传动轴传动轴传动轴传动轴将产生扭转传动轴将产生扭转传动轴将产生扭转传动轴将产生扭转工工 程程 实实 例例第6页，本讲稿共58页工工 程程 实实 例例第7页，本讲稿共58页52 圆轴扭转时的内力圆轴扭转时的内力一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）工程中一般已知传递轴的传递功率P和转速n，需要求外力偶矩M。依据依据：当轴稳定转动时，外力偶在t秒内所做的功等于其矩M与轮在t秒内的转角 的乘积。第8页，本讲稿共58页53 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s,1kW=1.36PS主动轮上外力偶与轴的转动方向相同，从动轮上外力偶与轴的转动方向相反。第9页，本讲稿共58页二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图MMMTx1 扭矩：扭矩：构件受扭时，作用在横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩截面法求扭矩切一刀，留一段，代内力，列平衡切一刀，留一段，代内力，列平衡第10页，本讲稿共58页受扭构件的受扭构件的受扭构件的受扭构件的内力矩内力矩内力矩内力矩如何？如何？如何？如何？截面法截面法截面法截面法MMe e 是外力矩是外力矩是外力矩是外力矩根据平衡，截面上有内力矩根据平衡，截面上有内力矩根据平衡，截面上有内力矩根据平衡，截面上有内力矩T T扭矩扭矩扭矩扭矩T T根据右手定则确定力矩根据右手定则确定力矩根据右手定则确定力矩根据右手定则确定力矩矢的方向矢的方向矢的方向矢的方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向第11页，本讲稿共58页按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，扭矩扭矩扭矩扭矩矢量矢量矢量矢量的指向与的指向与的指向与的指向与截截截截面外法线面外法线面外法线面外法线方向一致为方向一致为方向一致为方向一致为正，反之为负。正，反之为负。正，反之为负。正，反之为负。截面截面截面截面n n截面外法线截面外法线截面外法线截面外法线T T扭矩矢量扭矩矢量扭矩矢量扭矩矢量力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩旋转方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向力矩矢方向3 扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定第12页，本讲稿共58页4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩变化规律；为确定|T|max值及其所处截面位置 为强度计算提供方便。xTx轴表示轴向截面位置，轴表示轴向截面位置，y轴表示扭矩大小，正扭矩轴表示扭矩大小，正扭矩画在画在x轴上侧，负扭矩画在下侧，并标明正负号和大小。轴上侧，负扭矩画在下侧，并标明正负号和大小。T第13页，本讲稿共58页扭矩图的绘制步骤：扭矩图的绘制步骤：扭矩图的绘制步骤：扭矩图的绘制步骤：1 1、计算各外力偶的大小（已知功率和转速）；、计算各外力偶的大小（已知功率和转速）；、计算各外力偶的大小（已知功率和转速）；、计算各外力偶的大小（已知功率和转速）；2 2、将各外力偶采用右手螺旋法则定出方向和正负；、将各外力偶采用右手螺旋法则定出方向和正负；、将各外力偶采用右手螺旋法则定出方向和正负；、将各外力偶采用右手螺旋法则定出方向和正负；3 3、取各控制截面，预设扭矩（内力偶）为正方向，列平衡方程，计、取各控制截面，预设扭矩（内力偶）为正方向，列平衡方程，计、取各控制截面，预设扭矩（内力偶）为正方向，列平衡方程，计、取各控制截面，预设扭矩（内力偶）为正方向，列平衡方程，计算扭矩的大小；如果计算得到的扭矩为正，表明扭矩方向与预设方算扭矩的大小；如果计算得到的扭矩为正，表明扭矩方向与预设方算扭矩的大小；如果计算得到的扭矩为正，表明扭矩方向与预设方算扭矩的大小；如果计算得到的扭矩为正，表明扭矩方向与预设方向一致；如果向一致；如果向一致；如果向一致；如果计算得到的扭矩为负，表明扭矩方向与预设方向相反。计算得到的扭矩为负，表明扭矩方向与预设方向相反。计算得到的扭矩为负，表明扭矩方向与预设方向相反。计算得到的扭矩为负，表明扭矩方向与预设方向相反。4 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。第14页，本讲稿共58页例题例题例题例题1 1某转动轴，转速某转动轴，转速某转动轴，转速某转动轴，转速n n=200 rpm,=200 rpm,主动轮输入功率为主动轮输入功率为主动轮输入功率为主动轮输入功率为P PA A=200 kW,=200 kW,三个从动轮输出功率三个从动轮输出功率三个从动轮输出功率三个从动轮输出功率分别为分别为分别为分别为P PB B=90 kW,=90 kW,P PC C=50kW,=50kW,P PD D=60 kW=60 kW1 1、计算、计算、计算、计算1-11-1，2-2 2-2，3-33-3截面的扭矩；截面的扭矩；截面的扭矩；截面的扭矩；2 2、画出扭矩图、画出扭矩图、画出扭矩图、画出扭矩图BCAD112233MBMCMAMD第15页，本讲稿共58页解解解解首先计算各个外力矩的大小首先计算各个外力矩的大小首先计算各个外力矩的大小首先计算各个外力矩的大小BCAD112233MBMCMAMD第16页，本讲稿共58页MB将外力矩转换为力矩矢量将外力矩转换为力矩矢量将外力矩转换为力矩矢量将外力矩转换为力矩矢量取取取取1-11-1截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析将截面上的扭矩设为正将截面上的扭矩设为正将截面上的扭矩设为正将截面上的扭矩设为正列方程列方程列方程列方程BCAD112233MBMCMAMDT1第17页，本讲稿共58页取取取取2-22-2截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析截面左侧分析列方程列方程列方程列方程BCAD112233MBMCMAMDMBT2xBCMC第18页，本讲稿共58页取取取取3-33-3截面右侧分析截面右侧分析截面右侧分析截面右侧分析列方程列方程列方程列方程T3D33MDxBCAD112233MBMCMAMD第19页，本讲稿共58页由上述计算得到扭矩值由上述计算得到扭矩值由上述计算得到扭矩值由上述计算得到扭矩值画扭矩图画扭矩图画扭矩图画扭矩图4.36.692.86BCAD112233MBMCMAMDT第20页，本讲稿共58页总结：扭矩图的总结：扭矩图的简便做法简便做法4.36.692.86从左到右，外力偶从左到右，外力偶从左到右，外力偶从左到右，外力偶矢量向左，扭矩增矢量向左，扭矩增矢量向左，扭矩增矢量向左，扭矩增量为正；量为正；量为正；量为正；外力偶外力偶外力偶外力偶矢矢矢矢量向右，扭矩增量量向右，扭矩增量量向右，扭矩增量量向右，扭矩增量为负。为负。为负。为负。BCAD112233MBMCMAMDT第21页，本讲稿共58页例例1已知：一传动轴，已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输，从动轮输出出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图，试绘制扭矩图。nA B C DP2 P3 P1 P4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩第22页，本讲稿共58页nA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）第23页，本讲稿共58页绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C DM2 M3 M1 M44.789.566.37第24页，本讲稿共58页用简便画法画扭矩图用简便画法画扭矩图xTnA B C DM2 M3 M1 M44.789.566.37第25页，本讲稿共58页课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习试画出下面轴的扭矩图试画出下面轴的扭矩图试画出下面轴的扭矩图试画出下面轴的扭矩图第26页，本讲稿共58页你做对了吗？你做对了吗？你做对了吗？你做对了吗？第27页，本讲稿共58页53 圆轴扭转时的应力及强度条件圆轴扭转时的应力及强度条件圆圆 轴轴 横横截截 面面 上上的应力的应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面1、横截面上的应力、横截面上的应力应应力力在在横横截截面面上上的的变变化规律化规律为为对对圆圆轴轴进进行行强强度度计计算算，求求出出横横截截面面上上的的扭扭矩矩后后，还还需需要要知知道道横横截截面面上上的的应力。应力。第28页，本讲稿共58页 1.各纵向线倾斜了同一个各纵向线倾斜了同一个角度角度，这种纵向线与圆周线，这种纵向线与圆周线夹角的改变量称为夹角的改变量称为切应变切应变。2.圆周线的形状、大小和间圆周线的形状、大小和间距均未变化，只是距均未变化，只是两相临圆两相临圆周线绕杆轴相对旋转了一周线绕杆轴相对旋转了一个角度。个角度。圆轴扭转实验观察：圆轴扭转实验观察：（1）变形几何关系）变形几何关系：第29页，本讲稿共58页 1.圆轴扭转的圆轴扭转的平面假设平面假设：圆轴的横截面像刚性圆盘一样仍保持为平：圆轴的横截面像刚性圆盘一样仍保持为平面，只是绕杆轴线转过一个角度。面，只是绕杆轴线转过一个角度。2.因为圆周线的间距不变，所以圆轴扭转时横截面上没有正应力。因为圆周线的间距不变，所以圆轴扭转时横截面上没有正应力。3.由于产生了切应变由于产生了切应变，说明横截面上有切应力，说明横截面上有切应力存在。存在。4.由于由于圆周线的形状和大小均未变化，说明没有沿径向的切应力存在，所以圆周线的形状和大小均未变化，说明没有沿径向的切应力存在，所以切应力的方向垂直于半径。切应力的方向垂直于半径。实验现象分析：实验现象分析：第30页，本讲稿共58页1、等直圆杆扭转时横截面上的应力：、等直圆杆扭转时横截面上的应力：取长为取长为dx的杆段进行分析：的杆段进行分析：aabbADD截面截面b-b相对于截面相对于截面a-a转动了转动了一个角度一个角度d ，纵向线，纵向线AD倾斜倾斜了一个角度了一个角度 而成为而成为ADAD，该倾，该倾斜角即为斜角即为A点的切应变。点的切应变。第31页，本讲稿共58页 扭转角沿杆长的变化率，对给定截面是常量。同时，经过半径同时，经过半径O2D上的一点上的一点G的纵向线的纵向线EG在变形后也倾在变形后也倾斜了一个角度斜了一个角度 ，此角度即为，此角度即为E点的切应变。点的切应变。设设G点距圆心点距圆心O2的距离为的距离为 ，则由几何关系可得则由几何关系可得在同一半径在同一半径 的圆周上的圆周上各点处的切应变各点处的切应变 均相同，与均相同，与 成正比。成正比。第32页，本讲稿共58页剪切胡克定律：剪切胡克定律：所以所以通过实验发现，当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角通过实验发现，当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角与外力与外力偶矩（数值上等于扭矩偶矩（数值上等于扭矩T T）成正比，就是说）成正比，就是说又因为又因为引入比例系数引入比例系数G，得到，得到上式称为材料的剪切胡克定律上式称为材料的剪切胡克定律。G称为材料的切变模量（剪切模量），其量纲与弹性模量相同，单位称为材料的切变模量（剪切模量），其量纲与弹性模量相同，单位为为Pa。不同材料的。不同材料的G值可通过实验确定，钢材的值可通过实验确定，钢材的G值约为值约为80 GPa 第33页，本讲稿共58页（2）物理关系）物理关系：剪切胡克定律：在线弹性范围内，切应力与切应变成正比剪切胡克定律：在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。把切应变表达式代入上式得把切应变表达式代入上式得：在同一半径在同一半径 的圆周上的圆周上各点各点处的切应力处的切应力 均相同，与均相同，与 成正比，方向与半径相切。成正比，方向与半径相切。第34页，本讲稿共58页（3）静力学关系：）静力学关系：令极惯性矩，仅与横截面的几何有关。极惯性矩，仅与横截面的几何有关。为了求得待定参数为了求得待定参数由于横截面上任一直径上距圆心等远由于横截面上任一直径上距圆心等远处的两点处内力元素处的两点处内力元素 等值且反等值且反向，因此，整个横截面上合力必为零，向，因此，整个横截面上合力必为零，并组成一个力偶，该力偶即为横截面并组成一个力偶，该力偶即为横截面上的扭矩上的扭矩T。dAdA第35页，本讲稿共58页 横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。代入物理关系式代入物理关系式 得得：单位：单位：m4第36页，本讲稿共58页 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面对于实心圆截面：ddO第37页，本讲稿共58页对于空心圆截面对于空心圆截面：dDOd第38页，本讲稿共58页 应力分布应力分布（实心截面实心截面）（空心截面空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛结构轻便，应用广泛。第39页，本讲稿共58页 确定最大切应力：确定最大切应力：由知：当WP 抗扭截面系数（扭转截面系数），抗扭截面系数（扭转截面系数），几何量，单位：几何量，单位：m3。对于实心圆截面对于实心圆截面：对于空心圆截面对于空心圆截面：第40页，本讲稿共58页例例 一个是实心圆截面一个是实心圆截面I轴，一个是空心圆截面轴，一个是空心圆截面II轴，两轴材料、轴，两轴材料、扭转力偶矩扭转力偶矩 和长度和长度 l 均相等，最大切应力也相等。若空心圆截面内、均相等，最大切应力也相等。若空心圆截面内、外直径比为外直径比为 ，试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比以及两轴，试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比以及两轴的重量比的重量比。第41页，本讲稿共58页解：解：带入最大切应力公式：带入最大切应力公式：可得：可得：即：即：两轴重量比即为横截面积比两轴重量比即为横截面积比第42页，本讲稿共58页1、切应力互等定理：、切应力互等定理：由由y方向的平衡方向的平衡Fy0可知，左右两截面上的应力应是大小相等，方向可知，左右两截面上的应力应是大小相等，方向相反的，并组成一个力偶，其矩为相反的，并组成一个力偶，其矩为(dydz)dx，为了满足另两个平衡条，为了满足另两个平衡条件，件，Fx0 和和 Mz0，那么在上下两平面内必然存在一对大小相，那么在上下两平面内必然存在一对大小相等，方向相反的内力元素等，方向相反的内力元素 dxdz，并组成力矩，并组成力矩(dxdz)dy。在圆杆表面处用横截面，径向截面以及与在圆杆表面处用横截面，径向截面以及与表面平行的截面截取一小六面体，也称单表面平行的截面截取一小六面体，也称单元体。其中，左右两侧为横截面，横截面元体。其中，左右两侧为横截面，横截面上只有切应力，其方向与圆周线（上只有切应力，其方向与圆周线（y轴）轴）平行。前后两平面上（平行表面，垂直平行。前后两平面上（平行表面，垂直z轴）轴），无任何应力。，无任何应力。dx dy zOdz二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力第43页，本讲稿共58页假设假设的方向如图所示，有的方向如图所示，有 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。可见，两相互垂直平面上的切应力可见，两相互垂直平面上的切应力和和数值相数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线。等，且均指向（或背离）该两平面的交线。称为称为剪剪应力互等定理应力互等定理。dx dy zOdz第44页，本讲稿共58页1.点点M的应力单元体如图的应力单元体如图(b)：(a)(b)(c)2.斜截面上的应力；斜截面上的应力；取分离体如图取分离体如图(d)：(d)x2、斜截面上的应力、斜截面上的应力 第45页，本讲稿共58页 x斜截面外法线方向与斜截面外法线方向与x轴（水平）轴（水平）的夹角为的夹角为。逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程由平衡方程：解得解得：转角规定转角规定：从从x轴转至截面外法向轴转至截面外法向如果斜截面面积为如果斜截面面积为dA，那么左侧面面积为，那么左侧面面积为cos dA，底面面积为，底面面积为sin dA：第46页，本讲稿共58页分析分析：当=0时，当=45时，当=45时，当=90时，45 由此可见：圆轴扭转时，在横截由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角在方向角 =45 的斜截面上作用有的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力最大压应力和最大拉应力。第47页，本讲稿共58页三、圆轴扭转时斜截面上的应力三、圆轴扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺的螺旋线断开。旋线断开。第48页，本讲稿共58页四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：(称为许用切应力称为许用切应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：校核强度：设计截面尺寸设计截面尺寸：计算许可载荷计算许可载荷：第49页，本讲稿共58页54 圆轴扭转时的变形及刚度条件圆轴扭转时的变形及刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式可知可知：长为长为 l 的一段杆两截面间相对扭转角的一段杆两截面间相对扭转角 为GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的称为截面的抗扭刚度抗扭刚度。第50页，本讲稿共58页二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角 ：或三、刚度条件三、刚度条件或 称为许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角。第51页，本讲稿共58页刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度校核刚度：设计截面尺寸设计截面尺寸：计算许可载荷计算许可载荷：第52页，本讲稿共58页例例已知：一传动轴，已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由。该轴由45号钢号钢制成，为空心圆截面，内、外半径比为制成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力，钢的许用切应力 =40Mpa,切变模量切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角许可单位扭转角 。试根据强度与刚度条件选择轴的半径试根据强度与刚度条件选择轴的半径。nA B C DP2 P3 P1 P4dD第53页，本讲稿共58页xT4.789.566.37解：由扭矩图，可知解：由扭矩图，可知由强度条件由强度条件第54页，本讲稿共58页由刚度条件由刚度条件综合强度条件与刚度条件可知综合强度条件与刚度条件可知由强度条件由强度条件第55页，本讲稿共58页 例3-1 强度和刚度校核 某空心轴外径某空心轴外径D100 mm，内外径之比，内外径之比 dD0.5，轴的转速，轴的转速n=300 r/min，轴所传递的功率，轴所传递的功率Pl 50 kW，材料的剪切模量（切变模量，材料的剪切模量（切变模量)G80 GPa，许用剪应力，许用剪应力40 MPa，单位长度许可扭转角，单位长度许可扭转角 0.5om，试，试校核轴的强度和刚度校核轴的强度和刚度。第56页，本讲稿共58页例3-2 尺寸设计等截面传动轴的转速等截面传动轴的转速n191r/min，由，由A轮输入功率轮输入功率P18kW，由，由B、C、D各轮输各轮输出的功率分别为小出的功率分别为小P23kW，P31kW，P4=4kw。已。已知轴的许用剪应力知轴的许用剪应力 60 MPa，剪变模量，剪变模量G80GPa，=2om。要求：首先合理安排各轮的要求：首先合理安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。矩图，并确定轴的直径。A轮应该放置在中间位置，使得从轮应该放置在中间位置，使得从A轮轮输入的扭矩可以由该轮的两侧分担，不输入的扭矩可以由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承受输入的全部扭矩。会使轴的某段承受输入的全部扭矩。第57页，本讲稿共58页例3-3 许可荷载计算直径直径D20 cm的圆轴如的圆轴如图所示，其中图所示，其中AB段为实心，段为实心，BC段为段为空心，且内径空心，且内径dl0cm，已知材料的，已知材料的许用剪应力为许用剪应力为 50 MPa求求m的的许可值。许可值。第58页，本讲稿共58页