数理方程 特殊函数精.ppt

数理方程 特殊函数第1页，本讲稿共49页2本次课主要内容本次课主要内容(一一)、行波法、行波法(二二)、积分变换法、积分变换法行波法与积分变换法习题课行波法与积分变换法习题课第2页，本讲稿共49页3(一一)、行波法、行波法1、要点回顾、要点回顾(1)行波法的适用范围是什么？行波法的适用范围是什么？答：波动方程的初值问题。答：波动方程的初值问题。(2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数通解；用定解条件确定通解中的任意函数(或常数或常数)，从而求出，从而求出其特解。其特解。第3页，本讲稿共49页4(3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么义是什么？答：答：(a)公式为：公式为：(b)物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数a。(4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问题和一般强迫振动问题如何求解无限长弦的纯强迫振动问题和一般强迫振动问题？第4页，本讲稿共49页5答答(a)纯强迫振动纯强迫振动定解问题为：定解问题为：求解方法：齐次化原理求解方法：齐次化原理(b)一般强迫振动一般强迫振动定解问题为：定解问题为：第5页，本讲稿共49页6求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分答：答：(a)公式公式为：为：(5)三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？义是什么？(b)物理意义：物理意义：1)空间任意一点空间任意一点M在任意时刻在任意时刻t0的状态完全由以的状态完全由以该点为心，该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定；为半径的球面上的初始扰动决定；2)当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋前锋”与与“阵尾阵尾”，即惠更斯原理成立。，即惠更斯原理成立。第6页，本讲稿共49页7答：答：(a)公式公式为：为：(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？义是什么？(b)物理意义：物理意义：1)空间任意一点空间任意一点M在任意时刻在任意时刻t0的状态完全由以的状态完全由以该点为心，该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；为半径的圆盘域上的初始扰动决定；2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。第7页，本讲稿共49页82、典型题型、典型题型(1)利用行波法求解利用行波法求解例例1、求下面柯西问题的解：、求下面柯西问题的解：解：特征方程解：特征方程为：为：特征线方程为：特征线方程为：第8页，本讲稿共49页9令令：变换原方程化成标准型：变换原方程化成标准型：通解为通解为:代入条件代入条件得：得：第9页，本讲稿共49页10例例2、求波动方程的古沙问题、求波动方程的古沙问题第10页，本讲稿共49页11解：方程通解为：解：方程通解为：由由(2)得：得：又由又由(3)得：得：由由(4)与与(5)得：得：第11页，本讲稿共49页12所以：所以：又由又由(4)得：得：所以：所以：(2)半无界问题的求解半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解采用延拓或行波方法求解第12页，本讲稿共49页13例例3、半无限长杆的端点受到纵向力、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asint的作用，求解杆的的作用，求解杆的振振动动。解：定解问题为：解：定解问题为：Fun|x=0.YS0 x第13页，本讲稿共49页14解：方法解：方法1：延拓法：延拓法首先，当首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有：时，端点的影响没有传到，所以有：其次，当其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：虑边界影响。将定解问题作延拓：延拓后的定解问题的解为：延拓后的定解问题的解为：第14页，本讲稿共49页15欲使延拓后的解限制在欲使延拓后的解限制在x0上上时为时为原定解原定解问题问题的解，只需的解，只需让让延延拓解拓解满满足足边边界条件，即：界条件，即：为此：令为此：令只要：只要：又令又令第15页，本讲稿共49页16得到：得到：所以有：所以有：所以当所以当x00时：时：(2)求像函数求像函数(3)求原像函数求原像函数当当00时：时：像函数为像函数为：第41页，本讲稿共49页42由卷积定理由卷积定理：这里：这里：第42页，本讲稿共49页43于是得定解为：于是得定解为：第43页，本讲稿共49页44例例14、求解如下定解问题：、求解如下定解问题：解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的Laplace变换变换 第44页，本讲稿共49页45(2)、求像函数：、求像函数：(3)、求原像函数：、求原像函数：第45页，本讲稿共49页46 所以原像函数：所以原像函数：例例15、求解如下定解问题、求解如下定解问题(习题习题5.4第第5题题)：第46页，本讲稿共49页47解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的Laplace变换变换 (2)、求像函数：、求像函数：第47页，本讲稿共49页48(3)、求原像函数：、求原像函数：由延迟定理：由延迟定理：得：得：第48页，本讲稿共49页49所以原像函数为：所以原像函数为：第49页，本讲稿共49页