无穷级数幂级数精.ppt

无穷级数幂级数无穷级数幂级数第1页，本讲稿共69页1.1.定义定义:9.3.1、函数项级数的概念、函数项级数的概念2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:第2页，本讲稿共69页函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:(定义域是收敛域定义域是收敛域)第3页，本讲稿共69页9.3.2、幂级数及其收敛性、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:任务：求幂级数的收敛域、和函数，并研究和函数的任务：求幂级数的收敛域、和函数，并研究和函数的性质。性质。第4页，本讲稿共69页证明证明2、阿贝尔定理、阿贝尔定理第5页，本讲稿共69页第6页，本讲稿共69页由由(1)结论结论几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域第7页，本讲稿共69页推论推论3、幂级数的收敛半径及收敛区间、幂级数的收敛半径及收敛区间第8页，本讲稿共69页定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间.规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?注：幂级数的注：幂级数的收敛域要讨论端点的收敛性收敛域要讨论端点的收敛性.第9页，本讲稿共69页证明证明4、收敛半径的收敛半径的求法求法法一：公式法法一：公式法第10页，本讲稿共69页由比值审敛法由比值审敛法,第11页，本讲稿共69页定理证毕定理证毕.第12页，本讲稿共69页说明说明 (2)an不能等于零。不能等于零。而是要用别的方法求而是要用别的方法求R。不可说幂级数没有收敛半径（一定有）不可说幂级数没有收敛半径（一定有）第13页，本讲稿共69页例例1 1 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散级数收敛域为级数收敛域为(-1,1.第14页，本讲稿共69页第15页，本讲稿共69页发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.第16页，本讲稿共69页解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）第17页，本讲稿共69页级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为第18页，本讲稿共69页9.3.3、幂级数的运算、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法(其中其中第19页，本讲稿共69页(2)乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积第20页，本讲稿共69页(3)除法除法(相除后的收敛区间比原来两级相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多数的收敛区间小得多)即有即有 从中可顺序求出从中可顺序求出第21页，本讲稿共69页2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:(收敛半径不变收敛半径不变)第22页，本讲稿共69页(收敛半径不变收敛半径不变)反复应用上述结论可得：反复应用上述结论可得：收敛半径为收敛半径为R,若幂级数若幂级数则它的和函数则它的和函数s(x)在区间在区间(-R,R)内具有任意阶导数。内具有任意阶导数。第23页，本讲稿共69页解解两边积分得两边积分得第24页，本讲稿共69页解解第25页，本讲稿共69页第26页，本讲稿共69页第27页，本讲稿共69页解解收敛区间收敛区间(-1,1),第28页，本讲稿共69页 习题习题9.3第29页，本讲稿共69页9.4 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 9.4.1、泰勒级数泰勒级数 9.4.2、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数 第30页，本讲稿共69页9.4.1、泰勒级数泰勒级数 1.1.问题的引入问题的引入 （1）上一节主要讨论上一节主要讨论幂级数的收敛域及和函数。幂级数的收敛域及和函数。反问题：给定一个函数反问题：给定一个函数f(x),能否找到一个能否找到一个幂级数，他幂级数，他在某区间上收敛，而其和函数恰是在某区间上收敛，而其和函数恰是f(x).若能找到这样的幂级数，则称函数若能找到这样的幂级数，则称函数f(x)在该区间上能展开在该区间上能展开成幂级数。成幂级数。（2）第三章第三节泰勒公式中我们知道：）第三章第三节泰勒公式中我们知道：如如果果函函数数f(x)在在含含有有x0的的某某开开区区间间(a,b)内内有有直直至至(n+1)阶阶的导数，则对的导数，则对(a,b)内任一点内任一点x，有，有第31页，本讲稿共69页是位于是位于 x0、x之间的某个值。之间的某个值。误差为误差为|Rn（x）|。如如果果函函数数f(x)在在含含有有x0的的某某开开区区间间(a,b)内内各各阶阶导导数数都都存存在在，则则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：的项可无限增加而得一幂级数：幂级数（幂级数（3）称为函数）称为函数f(x)的泰勒级数。的泰勒级数。第32页，本讲稿共69页问题：问题：1）此级数是否收敛？）此级数是否收敛？2）若收敛，和函数是否为）若收敛，和函数是否为f(x)?设函数设函数f(x)在点在点x0的某一邻域的某一邻域U(x0)内具有各阶导内具有各阶导数，则数，则f(x)在该邻域内能展开成幂级数的充要条件在该邻域内能展开成幂级数的充要条件是是f(x)的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项Rn（x）当）当n时的极时的极限为限为0，即，即:证明：先证必要性。证明：先证必要性。设函数设函数f(x)在在U(x0)上能展开成泰勒级数，即上能展开成泰勒级数，即对一切对一切x U(x0)成立。成立。2.定理定理3）若）若f(x)能展开幂级数是否还有其它形式能展开幂级数是否还有其它形式?第33页，本讲稿共69页我们把我们把f(x)的的n阶泰勒公式（阶泰勒公式（1）写成：）写成：其中其中sn+1(x)是是f(x)的泰勒级数（的泰勒级数（3）的前）的前n+1项的和。项的和。因为因为f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数（在该邻域内能展开成泰勒级数（4），所以），所以再证充分性：再证充分性：由由f(x)的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 有：有：sn+1(x)=f(x)Rn（x）即函数即函数f(x)的泰勒级数在的泰勒级数在U(x0)收敛，且收敛于收敛，且收敛于f(x)。证。证毕。毕。在（在（3）式中若取）式中若取x0=0,得：得：f(x)=sn+1(x)+Rn（x）第34页，本讲稿共69页3.3.展开式的唯一性展开式的唯一性级数（级数（5）称为函数）称为函数f(x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数。第35页，本讲稿共69页泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数证明证明第36页，本讲稿共69页1 直接法直接法：具体步骤如下：具体步骤如下：（i）求求f(x)的各阶导数。的各阶导数。（ii）求求f(x)的各阶导数在的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。处的值。（iii）写出写出f(x)所对应的幂级数，即麦克劳林（泰勒所对应的幂级数，即麦克劳林（泰勒级数）：级数）：并写出其收敛半径并写出其收敛半径R。（iv）在（）在（R,R）内考察：）内考察：若为零，则在（若为零，则在（R,R）内有）内有9.4.2、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数 第37页，本讲稿共69页得得f(x)的麦克劳林级数：的麦克劳林级数：它的收敛半径为它的收敛半径为R=+对任何有限的对任何有限的x,(是位于是位于 0、x之间的某个值。之间的某个值。得展开式：得展开式：第38页，本讲稿共69页得得f(x)的麦克劳林级数：的麦克劳林级数：它的收敛半径为它的收敛半径为R=+对任何有限的对任何有限的x,(是位于是位于 0、x之间的某个值）。之间的某个值）。得展开式：得展开式：第39页，本讲稿共69页2 间接法间接法：（理论依据：展开式的唯一性）（理论依据：展开式的唯一性）（i）利用一些已知函数的幂级数展开式。）利用一些已知函数的幂级数展开式。（ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。（iii）变量代换。）变量代换。上式对上式对x求导（右端逐项求导）得求导（右端逐项求导）得第40页，本讲稿共69页将上式从将上式从0到到x逐项积分：逐项积分：第41页，本讲稿共69页将上式从将上式从0到到x逐项积分：逐项积分：注：逐项积分逐项微分可能改变区间端点的收敛情况。注：逐项积分逐项微分可能改变区间端点的收敛情况。第42页，本讲稿共69页注注 应熟记下列函数的幂级数展开式：应熟记下列函数的幂级数展开式：第43页，本讲稿共69页m为任意实数。为任意实数。第44页，本讲稿共69页第45页，本讲稿共69页第46页，本讲稿共69页化为展开成化为展开成y的幂级数。的幂级数。第47页，本讲稿共69页习题习题9.4第48页，本讲稿共69页1、熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法 2、会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数。会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数。的的麦麦克克劳劳林林展展开开式式，并并会会利利用用间间接接展展开开法法将将一一些些函函数数展开成幂级数。展开成幂级数。一、内容总结一、内容总结 第49页，本讲稿共69页典型例题典型例题 1 填空填空绝对收敛绝对收敛R=4绝对收敛绝对收敛第50页，本讲稿共69页例例2 求求 下列幂级数的收敛域。下列幂级数的收敛域。（1）解：解：的收敛半径分别为的收敛半径分别为R1=1；R2=1 又因为当又因为当|x|=1时该级数发散，所以时该级数发散，所以R=1收敛域收敛域为为(1，1)。所以该幂级数的收敛半径所以该幂级数的收敛半径R1。第51页，本讲稿共69页（2）用根值）用根值第52页，本讲稿共69页解解:因因故收敛区间为故收敛区间为级数收敛级数收敛;一般项一般项不趋于不趋于0,级数发散级数发散;第53页，本讲稿共69页例例3 求求 幂级数的和函数。幂级数的和函数。解解(1)：易知该幂级数的收敛域为：易知该幂级数的收敛域为(1，1)。设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则第54页，本讲稿共69页第55页，本讲稿共69页解解(2)(2)：故该幂级数的收敛域为故该幂级数的收敛域为 第56页，本讲稿共69页解解(4)(4)：易知幂级数的收敛域为（易知幂级数的收敛域为（0 0，2 2）令令x-1=t 第57页，本讲稿共69页解解(3)：易知该幂级数的收敛域为：易知该幂级数的收敛域为1，1，设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则于是于是 第58页，本讲稿共69页第59页，本讲稿共69页解解(5)：易易知知所所给给幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径R=+，设设其其和和函函数数为为s(x)，则，则第60页，本讲稿共69页例例4 求数项级数的和。求数项级数的和。第61页，本讲稿共69页第62页，本讲稿共69页解解:原式原式=第63页，本讲稿共69页例例5 将下列函数展成将下列函数展成x的幂级数。的幂级数。解解 (1)(1)第64页，本讲稿共69页级数的收敛域为级数的收敛域为2，2。x(2，2)第65页，本讲稿共69页第66页，本讲稿共69页5.设设,将 f(x)展开成x 的幂级数,的和.解解:于是并求级数第67页，本讲稿共69页第68页，本讲稿共69页第69页，本讲稿共69页