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光电子技术概要第1页，本讲稿共62页1 矢量场的Helmholtz定理定理：定理：空间区域空间区域V V上的任意矢量场，如果它的散度、旋上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：加，即：其中其中 为无散场，为无散场，为无旋场。为无旋场。第2页，本讲稿共62页HelmholtzHelmholtz定理明确回答了上述三个问题。即定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：第3页，本讲稿共62页 2 2 证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。场的旋度必无散。第4页，本讲稿共62页对对 存在单值函数存在单值函数 ，使得，使得 ，势量场，势量场，势量场势量场 的势函数的势函数3 势函数 势量场场论基础数学描述第5页，本讲稿共62页性质性质是一个势量场，又称保守场。是一个势量场，又称保守场。必是无旋场必是无旋场回路积分为零。回路积分为零。线积分线积分 与路径无关。与路径无关。势量场势量场 的势函数的势函数 u 为保守函数为保守函数场论基础第6页，本讲稿共62页所谓场是指带有某种物理量的空间。数学语言描述为:如果空间或部分空间中每一点对应于某一量的值，则这样的空间称为场。4、场的概念场论基础第7页，本讲稿共62页数量场 如果对应的物理量是标量，这种场称为标场或数量场:直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 例如：温度场矢量场 对应的物理量是矢量，这种场称为矢量场：直角坐标系 柱坐标系 球坐标系例如：流速场、电场场论基础5、数量场和矢量场第8页，本讲稿共62页6积分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义(1):(2):(3):(4):说明：式（1）：电荷可以单独存在，电场是有源的。式（2）：磁荷不可以单独存在，磁场是无源的。式（3）：变化的磁场产生电场。式（4）：变化的电场产生磁场。第9页，本讲稿共62页7、微分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义 在场矢量对空间的导数存在的地方，利用数学中的格林公式和斯托克斯公式积分形式的麦克斯韦方程组可写成微分形式：（5）：（6）：（7）：（8）：2.22.2麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组空间自由电荷电流密度传导电流密度第10页，本讲稿共62页物理意义：（5）式表明：磁感应强度（磁通密度）的变化会引起环行电场；（6）式表明：电位移矢量起止于存在自由电荷的地方；（7）式表明：磁场没有起止点；（8）式表明：位移电流和传导电流一样都能产生环行磁场。2.22.2麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组第11页，本讲稿共62页无源有损耗区域中无源有损耗区域中:媒质 均匀,线性,各向同性。若不考虑位移电流，就是无源有损耗扩散方程。从电磁场基本方程组推从电磁场基本方程组推导电磁波动方程导电磁波动方程讨论前提：脱离激励源；1）2）8无源有损耗无源有损耗波动方程波动方程第12页，本讲稿共62页9 9 非均匀介质中的波动方程非均匀介质中的波动方程同理得：电场波动方程：第13页，本讲稿共62页10 10 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波方程的解方程的解传播特性传播特性 （单一频率）电磁波的相速（单一频率）电磁波的相速 ，真空中，真空中 m/sm/s及及方程方程2满足该方程的函数对满足该方程的函数对z的二阶导数应与它对的二阶导数应与它对t的二阶导数具有相同的形式的二阶导数具有相同的形式,二者二者仅差一个常数仅差一个常数;设设:Ex的函数为的函数为 Ex(t)=f(t)则满足一维波动方程的函数为则满足一维波动方程的函数为 Ex(z,t)分别对分别对z与与t二次求导易证其是一维波动方程的解二次求导易证其是一维波动方程的解1 1 其是一个二阶偏微分方程其是一个二阶偏微分方程,必有两个独立解必有两个独立解;第14页，本讲稿共62页2.1 缓变振幅条件下的Helmholtz方程 平面光束是最简单的光束，却是理想情况，实际中应用更多的是近轴光波。近轴光波是指一种在轴上波前的垂线与行进方向夹角很小，基本处于平行的波，它满足近轴近似Helmholtz方程，且光束功率基本上也集中于轴附近。近轴光波，可认为是平面波振幅缓变的结果：振幅缓变 振幅沿轴向缓变，是指A(r)在z方向波长尺度内变化极缓。因而该波在保持平面波大部分特定的前提下，波前发生弯曲，形成近轴光波。第15页，本讲稿共62页将一个波长内的振幅变化用 来表示，则有：缓变因而，Helmholtz方程变为：上式是一个近轴Helmholtz方程.第16页，本讲稿共62页也就是说，也就是说，即切向连续性。，即切向连续性。假假若若所所考考虑虑的的交交界界面面为为一一平平面面，即即设设 x-y 平平面面，考考虑虑一一单单色色平平面面电电磁磁波波入入射射到到交交界界面面上上，设设在在z=0 平平面的上、下方的介质不同，如图所示面的上、下方的介质不同，如图所示 介质界面上的边值关系只取下列两式：介质界面上的边值关系只取下列两式：2.2 反射和反射和折射定律折射定律第17页，本讲稿共62页 设入射波、反射波和折射波的电场强度为设入射波、反射波和折射波的电场强度为 ，波矢量分别为，波矢量分别为 、。介质介质2介质介质1zx第18页，本讲稿共62页把入射波、反射波和折射波写为：把入射波、反射波和折射波写为：同时由同时由 可得磁场矢量为可得磁场矢量为第19页，本讲稿共62页 在在 z=0 的的平平面面上上有有一一些些边边界界条条件件，该该平平面面上上的的一一切切点点必必须须永永远远满满足足这这些些边边界界条条件件。这这个个事事实实意意味味着着：在在 z=0 处处，所所有有场场的的空空间间和和时时间间变变化化必必须须相相同同。因因此此，所所有有的的相相因因子子在在 z=0 处处必必须须相相等等，即即在在边边界界面面上上 E2t=E1t，所以，所以 要使该式成立，只有要使该式成立，只有 第20页，本讲稿共62页因为因为x、y、t 都是独立变量，必然有都是独立变量，必然有由此可见：由此可见：第21页，本讲稿共62页讨论：讨论：a)，这这说说明明反反射射波波、折折射射波波的的频频率率与入射波的频率相同。与入射波的频率相同。b)根据根据 ，假若，假若 ，则必有，则必有 。这说明反射波和折射波与入射波。这说明反射波和折射波与入射波在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢 与分界面的法线与分界面的法线 所组成的平面）。所组成的平面）。c)根据根据由此得到：由此得到：，即反射角，即反射角=入射角。（反射定律）入射角。（反射定律）第22页，本讲稿共62页d)根据根据 ，有，有 则则这就是这就是折射定律折射定律第23页，本讲稿共62页2.32.3全反射全反射1 1全反射现象全反射现象全反射现象全反射现象特特别别是是当当 时时，折折射射定定律律的的原原形形式式将将失失去去意意义义，这这时时一一般般观观察察不不到到折折射射波波，只只有有反反射射波波，因因而而称称作作全全反反射射。实实际际上上仍仍然然有有波波透透射射入入第第二二种种介介质质，但但是是透射波仅仅存在于界面附近薄层中。透射波仅仅存在于界面附近薄层中。折射折射定律定律折射波折射波沿界面沿界面传播传播第24页，本讲稿共62页2 2全反射情况下全反射情况下 的表达式的表达式 设设 为为全全反反射射情情况况下下的的平平面面波波解解，仍仍然然假假定入射波在定入射波在 平面，即平面，即 ，全反射条件为全反射条件为 ，由，由 、得得因因 第25页，本讲稿共62页复数复数第26页，本讲稿共62页倏逝波倏逝波沿媒质边界（沿媒质边界（x方向）在表面极薄层面内传播的行波方向）在表面极薄层面内传播的行波相速度比普通平面波的相速度要慢，因此又称相速度比普通平面波的相速度要慢，因此又称慢波慢波穿透深度穿透深度振幅值衰减倒原来的 时的深度电磁波在n1介质波长n1n2zx等幅面等相面证明：证明：第27页，本讲稿共62页2.4当平面波投射到两种介质分界面时，将产生什么现象？用什么定律来说明？其表示式是什么？当平面波投射到两种介质分界面时，将产生反射和折射现象，入射，反射，折射三个波的传播矢量（方向）的关系由反射定律和折射定律来说明：ki，kr，kt分别是入射，反射，折射播的波矢,r 是分界面上的任意位置矢量入射，反射，和折射对播的振幅关系由Fresmel公式表示第28页，本讲稿共62页3.0 水平极化波,垂直极化波 水平极化波：电场矢量与入射面垂直垂直极化波：电场矢量在入射面上导行波 全反射条件下，介质1和介质2中的波是一个统一体。是一个波形的两个部分。如果衰减常数足够大，介质2中的波将只存在于介质1表面。因而场是沿界面平行的方向传播的，是由介质面平行的方向传播的。是由介质界面导行的。因而叫导行波 第29页，本讲稿共62页3.1根据均匀平面波的入射角1不同，薄膜波导中可产生哪三种类型的波？它们的产生条件是什么？当平面波的入射角1变化，产生不同的波形：导波或辐射波 n1n2n3导波：n3/n1n2/n1sin11辐射波：c131c12 衬底辐射模 1c13c12 上下量界面的全反射条件都被破坏第30页，本讲稿共62页3.2 在介质波导中，导波在什么情况下处于截止状态？其导波截止的临界状态又是什么？导波截止的条件：出现衬底辐射模。临界状态：1=c12.第31页，本讲稿共62页 3.33.3 特征方程及横向谐波特征特征方程及横向谐波特征zx-d可以看作二束斜向上与斜向下传播的光束的相干迭加可以看作二束斜向上与斜向下传播的光束的相干迭加二束光间的光程差为二束光间的光程差为:上下界面全反射引入的相位延迟为上下界面全反射引入的相位延迟为:第32页，本讲稿共62页对对 波波对对/波波相位延迟相位延迟第33页，本讲稿共62页 m=0、1、2、3 中间层折射率中间层折射率 传输光波在真空中的波数传输光波在真空中的波数 波导内的入射角波导内的入射角真空中的波数真空中的波数色散方程色散方程 特征方程特征方程特征方程的物理意义特征方程的物理意义当波导和波长给定时，特征方程时关于未知数当波导和波长给定时，特征方程时关于未知数 1的方程，它的方程，它确定了形成导波的入射角确定了形成导波的入射角 1的条件。的条件。第34页，本讲稿共62页3.43.4、波导的截止波长、波导的截止波长按假定按假定 临界角由下面衬底的折射率临界角由下面衬底的折射率决定：决定：临界状态临界状态 界面界面II上的相位跃变上的相位跃变 即发生全反射时的入射角即发生全反射时的入射角对对/波波第35页，本讲稿共62页代入色散方程可得：代入色散方程可得：由上式可求得不同模式下的截止波长由上式可求得不同模式下的截止波长 对对 模：模：第36页，本讲稿共62页对传输工作波长的几种情况讨论如下：对传输工作波长的几种情况讨论如下：(1)光波大于光波大于0阶的临界波长，阶的临界波长，不能在波导内传播。不能在波导内传播。(3)这样得光波对这样得光波对m及及m=0阶模阶模 均可被传输，发生均可被传输，发生多模传输多模传输。（2）此时只有此时只有m=0得零阶模可以传得零阶模可以传 输，即输，即单模运行单模运行。单模传输的条件单模传输的条件第37页，本讲稿共62页对称波导没有截止波长，任何波长得波均可在对称波导没有截止波长，任何波长得波均可在对称波导内传播。对称波导内传播。对于对称薄膜波导对于对称薄膜波导特征方程变成特征方程变成对波长为对波长为 的光波，的光波，波导内所允许传播波导内所允许传播的模式个数为的模式个数为第38页，本讲稿共62页3.5 均匀平面波 均匀平面波是指沿某方向传播的电磁波的场量E和H除随时间变化外，只与波的传播方向有关，而与其他坐标无关。例如：沿Z方向传播的均匀平面波。其数学表示式 E=E(t,z)H=H(t,z)3.6 哪种模式是薄膜波导中的基模？为什么？TE0模是基模，TE0模的截止波长最长。第39页，本讲稿共62页3.7晶体中D与E的关系、光线椭球与与间存在如下线性关系间存在如下线性关系现将上式形象地用一个空间椭球来表示，我们已经知道现将上式形象地用一个空间椭球来表示，我们已经知道常数常数即即第40页，本讲稿共62页用用x,y,z代替代替1/R,E2/R,E3/R,则上式可以写为则上式可以写为这里这里xyz坐标系中的一个椭球方程，坐标系中的一个椭球方程，称光线椭球称光线椭球。换用坐标系换用坐标系XYZ,使使XYZ轴分别沿椭球的三个主轴分别沿椭球的三个主轴（晶体的介电主轴），则椭球不变。但与此坐标相轴（晶体的介电主轴），则椭球不变。但与此坐标相应的筘介电系数应的筘介电系数ijij取新的值，而光线椭球方程为取新的值，而光线椭球方程为第41页，本讲稿共62页）椭球上任一点的坐标）椭球上任一点的坐标x,y,z(X,Y,Z)对应于对应于Ex/R,Ey/R,Ez/R(EX/R,EY/R,EZ/R),因此，任因此，任一点的矢径一点的矢径 对应于对应于讨论：讨论：）椭球面上任一点的）椭球面上任一点的法线法线函数函数表示椭球面。则法线由此面上任一点的梯度求出表示椭球面。则法线由此面上任一点的梯度求出第42页，本讲稿共62页光线椭球上的法线对应于电位移矢量的方向光线椭球上的法线对应于电位移矢量的方向光线椭球第43页，本讲稿共62页折射率椭球主轴坐标系方程意义意义:折射率椭球曲面有二个重要性质折射率椭球曲面有二个重要性质:(1)折射率椭球图折射率椭球图3.83.8、折射率椭球折射率椭球第44页，本讲稿共62页xzy3.83.8、折射率椭球折射率椭球第45页，本讲稿共62页单轴晶体中光传播：单轴晶体中光传播：yoz截面图旋转椭球第46页，本讲稿共62页3.8 3.8 介质薄膜波导中的场分布介质薄膜波导中的场分布以TE波为例，薄膜波导中TE波的 分量为(1)薄膜波导中的特征方程：(2)-dx 0 x-dx0第47页，本讲稿共62页(3)把(3)式的 h 代入(1)第一式，得(4)可由 求得。对于 模:场沿x方向的变化不足半个驻波。第48页，本讲稿共62页按边界条件：按边界条件：(2)x=-d处 (4b)(1)x=0处(4a)(3)中间层中，场变化极大值在 处，即满足故有(5)第49页，本讲稿共62页对对TE波波对对TM波波第50页，本讲稿共62页且由 ，可知在界面 上得相位移 大于下界面的相移 ，即 ，代入(5)可知(6)这意味着场分布的极大值场分布的极大值(波腹波腹)偏向衬底。偏向衬底。0zx-d第51页，本讲稿共62页及且 ，这表示了场在覆盖层中衰减得比下衬底中快场在覆盖层中衰减得比下衬底中快。(4)由可知可知-dzx0-dx 0 x-dx0第52页，本讲稿共62页4.14.1折射率椭球方程（在原主坐标系中）折射率椭球方程（在原主坐标系中）加电场后增加的部分加电场后增加的部分未加电场的原有部分未加电场的原有部分：o光、光、e光主折射率光主折射率(8)第53页，本讲稿共62页若若代入原方程，整理得到：代入原方程，整理得到：令令即即消除了交叉项（非对角项），即找到了新的主坐标系！消除了交叉项（非对角项），即找到了新的主坐标系！方程关于方程关于 对称，将对称，将坐标系绕坐标系绕 轴转轴转 角：角：（坐标变换法）（坐标变换法）新新老老1 外加电场的方向平行于轴 z(纵向调制)第54页，本讲稿共62页新主折射率：新主折射率：通常通常 很小，可把很小，可把 看作看作 的微扰增量的微扰增量结论：（结论：（）坐标系绕坐标系绕 z 轴转轴转 ，该角度与电场大小，该角度与电场大小无关；无关；折射率变化的大小是外场的函数；折射率变化的大小是外场的函数；等值反号，单轴晶体变为等值反号，单轴晶体变为双轴晶体。双轴晶体。第55页，本讲稿共62页2 外加电场垂直于光轴(横向调制)设外加电场平行于y轴,则 于是(9)式变成：设新主轴相对旧主轴转过角度,新旧坐标间有关系(9)a第56页，本讲稿共62页 代入(9)a,并整理,有为使上式方程主角化,令交叉项为零第57页，本讲稿共62页解得由于 ,因而有新主轴坐标xoy中的折射率椭球方程第58页，本讲稿共62页新主轴坐标系中三个主折射率近似为新主轴坐标系中三个主折射率近似为单轴晶体变为双轴晶体单轴晶体变为双轴晶体,双轴晶体的光轴之一仍为双轴晶体的光轴之一仍为z轴轴;新主轴坐标由旧主轴坐标绕新主轴坐标由旧主轴坐标绕y轴旋转轴旋转角而成角而成.第59页，本讲稿共62页弹光系数张量弹光系数张量定义定义弹光系数弹光系数四阶张量四阶张量 但但 本身不一定对称本身不一定对称 和和 均为对称张量，可以缩写均为对称张量，可以缩写晶体不加声场时,在xyz主介电坐标轴中折射率椭球方程晶体加声场后,在原xyz主介电坐标轴中折射率椭球方程4.24.2折射率椭球的形变折射率椭球的形变第60页，本讲稿共62页应变场作用下的折射率椭球为：应变场作用下的折射率椭球为：折射率椭球变为：折射率椭球变为：以以熔融石英熔融石英为例，假设只为例，假设只有有 x 方向有伸缩应变：方向有伸缩应变：弹光系数张量弹光系数张量Bij第61页，本讲稿共62页感应折射率为：感应折射率为：弹光效应弹光效应：声场作用：声场作用形变形变附加电极化附加电极化折射率改变折射率改变变为单轴晶体，加应变为单轴晶体，加应变的变的 x 方向为光轴方向方向为光轴方向第62页，本讲稿共62页