教学部通信原理随机过程精.ppt
教学部通信原理随机过程第1页，本讲稿共57页随机过程的基本概念u确定性过程确定性过程p其变化过程可以用一个或几个时间其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述的确定函数来描述u随机过程随机过程p其变化过程不可能用一个或几个时间其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。的确定函数来描述。通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信随机信号和噪声统称为随机过程号和噪声统称为随机过程第2页，本讲稿共57页随机过程的基本概念u随机过程的定义：设随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试验是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作就构成一随机过程，记作 。u简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程第3页，本讲稿共57页随机过程的基本概念一个样本一个随机变量第4页，本讲稿共57页随机过程的基本概念u随机过程随机过程(t)具有两个基本特征：具有两个基本特征：p(t)是时间是时间t的函数；的函数；p在某一观察时刻在某一观察时刻t1，样本的取值，样本的取值(t1)是一个随机变量。是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。随机变量。p可见，随机过程具有可见，随机过程具有随机变量和和时间函数的特点。的特点。第5页，本讲稿共57页一维分布函数：一维分布函数：一维概率密度函数：一维概率密度函数：二维分布函数：二维分布函数：二维概率密度函数：二维概率密度函数：随随机机过过程程的的统统计计特特性性用用分分布布函函数数、概概率率密密度度函函数数或或数数字字特征来描述。特征来描述。统计特性第6页，本讲稿共57页数字特征分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特性的统计特性在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，率密度函数，用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。简单直观。第7页，本讲稿共57页数学期望（均值）数学期望（均值）方差方差数字特征方方差差等等于于均均方方值值与与数数学学期期望望平平方方之之差差。它它表表示示随随机机过过程程在在时时刻刻t对对于于均均值值a(t)的偏离程度。的偏离程度。均均值值和和方方差差是是对对随随机机变变量量求求积积分分或或求求和和均均值值和和方方差差是是时时间间的函数的函数第8页，本讲稿共57页数字特征相关函数衡衡量量随随机机过过程程在在任任意意两两个个时时刻刻获获得得的的随随机机变变量量之之间间的的关关联联程程度时，常用协方差函数度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数和相关函数R(t1,t2)来表示。来表示。协方差函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自协方差函数自协方差函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互协方差函数互协方差函数第9页，本讲稿共57页相关函数相关函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自相关函数自相关函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互相关函数互相关函数数字特征第10页，本讲稿共57页 过程是慢变化，过程是慢变化，过程是快变化，它们大致有相同的均值、方过程是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于差，但是在不同时刻的取值，对于 来说，相关性强；对于来说，相关性强；对于 来说，相关性强弱来说，相关性强弱 数字特征相关函数相关函数第11页，本讲稿共57页数字特征【例】【例】已知已知X和和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为分别为2和和6，试求，试求 的均值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。独立概念相关概念X和Y不相关X和Y线性相关第12页，本讲稿共57页数字特征【例】【例】已知已知X和和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为分别为2和和6，试求，试求 的的均值、方差和自相关函数。均值、方差和自相关函数。第13页，本讲稿共57页平稳随机过程平稳随机过程 是指它的统计特性不随时间的推移而变化。是指它的统计特性不随时间的推移而变化。则称则称 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。平稳随机过程如果如果任意非零值任意非零值一维概率密度函数一维概率密度函数二维概率密度函数二维概率密度函数第14页，本讲稿共57页均值均值自相关函数自相关函数平稳随机过程第15页，本讲稿共57页设设有有一一个个二二阶阶矩矩随随机机过过程程 ，它它的的均均值值为为常常数数，自自相相关关函函数数仅仅是是的的函函数数，则则称称它它为为宽宽平平稳稳随随机机过过程程或或广广义义平平稳稳随随机机过过程。程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。平稳随机过程平稳平稳随机随机过程过程均值为常数均值为常数自相关函数自相关函数只与时间间隔有关只与时间间隔有关与时间起点无关与时间起点无关如何判别随机过程是平稳的？第16页，本讲稿共57页x(t)是是平平稳稳随随机机过过程程 的的任任意意一一个个实实现现，它它的的 时时间间均均值值 和和时间相关函数时间相关函数 分别为分别为如果平稳随机过程依概率1使下式成立：则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性各态历经性第17页，本讲稿共57页各态历经性已知已知均匀分布均匀分布x x(t)是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？宽平稳随机过程第18页，本讲稿共57页各态历经性各态历经性第19页，本讲稿共57页 “各各态态历历经经”的的含含义义：随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现都都经经历历了了随随机机过过程程的的所所有有可可能能状状态态。因因此此，我我们们无无需需（实实际际中中也也不不可可能能）获获得得大大量量用用来来计计算算统统计计平平均均的的样样本本函函数数，而而只只需需从从任任意意一一个个随随机机过过程程的的样样本本函函数数中中就就可可获获得得它它的的所所有有的的数数字字特特征征，从从而而使使“统统计计平平均均”化化为为“时时间间平平均均”，使实际测量和计算的问题大为简化。，使实际测量和计算的问题大为简化。具具有有各各态态历历经经性性的的随随机机过过程程必必定定是是平平稳稳随随机机过过程程，但但平平稳稳随随机机过过程程不不一一定定是是各各态态历历经经的的。在在通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的随随机机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。各态历经性判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件第20页，本讲稿共57页设设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数为实平稳随机过程，则它的自相关函数具有下列主要性质：具有下列主要性质：（1）（2）（3）的偶函数（4）的上界（5）平稳随机过程自相关函数的性质方差，的交流功率 的平均功率 的直流功率第21页，本讲稿共57页随随机机过过程程的的频频谱谱特特性性是是用用它它的的功功率率谱谱密密度度来来表表述述的的。对对于于任任意的确定功率信号意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为，它的功率谱密度为我我们们可可以以把把f(t)看看成成是是平平稳稳随随机机过过程程(t)中中的的任任一一实实现现，因因而而每每一一实实现现的功率谱密度也可用上式来表示。的功率谱密度也可用上式来表示。由由于于(t)是是无无穷穷多多个个实实现现的的集集合合，哪哪一一个个实实现现出出现现是是不不能能预预知知的的，因因此此，某某一一实实现现的的功功率率谱谱密密度度不不能能作作为为过过程程的的功功率率谱谱密密度度。过过程程的的功功率谱密度应看做是任一实现的率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均功率谱的统计平均，即，即 平稳随机过程的功率谱密度第22页，本讲稿共57页功率信号功率信号f(t)及其截短函数及其截短函数平稳随机过程的功率谱密度第23页，本讲稿共57页的平均功率的平均功率S则可表示成则可表示成平稳随机过程的功率谱密度功率谱的统计平均第24页，本讲稿共57页平稳随机过程的功率谱密度第25页，本讲稿共57页u确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对是一对 傅氏变换关系傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即对于平稳随机过程，也有类似的关系，即平稳随机过程的功率谱密度第26页，本讲稿共57页R(0)表示随机过程的平均功率表示随机过程的平均功率非负性非负性偶函数偶函数平稳随机过程的功率谱密度第27页，本讲稿共57页例例 某某随随机机相相位位余余弦弦波波 ，其其中中A和和 均均为为常常数数，是是在在(0,)内内均均匀匀分分布布的的随随机机变变量。量。求求 的自相关函数与功率谱密度的自相关函数与功率谱密度.平稳随机过程的功率谱密度第28页，本讲稿共57页解：解：先考察先考察(t)是否是否广义平稳广义平稳 的数学期望为的数学期望为的自相关函数为的自相关函数为根据根据以及以及是广义平稳。是广义平稳。则功率谱密度为则功率谱密度为平均功率为平均功率为平稳随机过程的功率谱密度第29页，本讲稿共57页高斯随机过程高斯随机过程 若若随随机机过过程程(t)的的任任意意n维维（n=1,2,）分分布布都都是是正正态态分分布布，则称它为高斯随机过程或正态过程。则称它为高斯随机过程或正态过程。第30页，本讲稿共57页高斯随机过程高斯随机过程 如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有统计独立统计独立第31页，本讲稿共57页1.由由式式可可以以看看出出,高高斯斯过过程程的的n维维分分布布完完全全由由n个个随随机机变变量量的的数数学学期期望望、方方差差和和两两两两之之间间的的归归一一化化协协方方差差函函数数所所决决定定。因因此此，对对于于高高斯斯过过程程，只要研究它的数字特征就可以了。只要研究它的数字特征就可以了。2.如如果果高高斯斯过过程程是是广广义义平平稳稳的的，则则它它的的均均值值、方方差差与与时时间间无无关关，协协方方差差函函数数只只与与时时间间间间隔隔有有关关，而而与与时时间间起起点点无无关关，由由性性质质1知知，它它的的n维维分分布布与与时时间间起起点点无无关关。所所以以，广广义义平平稳稳的的高高斯斯过过程程也也是是狭义平稳的。狭义平稳的。3.高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质高斯随机过程重要性质 第32页，本讲稿共57页f(x)具有如下特性 (1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)正态分布的概率密度正态分布的概率密度一维高斯随机过程一维高斯随机过程 第33页，本讲稿共57页误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数互补误差函数互补误差函数误差函数误差函数第34页，本讲稿共57页这这种种噪噪声声被被称称为为白白噪噪声声，它它是是一一个个理理想想的的宽宽带带随随机机过过程程。式式中中n n0 0为为一一常常数数，单单位位是是瓦瓦/赫赫。显显然然，白白噪噪声声的的自自相相关关函函数数可借助于下式求得，即可借助于下式求得，即信信号号在在信信道道中中传传输输时时，常常会会遇遇到到这这样样一一类类噪噪声声，它它的的功功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0=0时才相关，而它在任意两个时刻上时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声高斯白噪声第35页，本讲稿共57页白噪声的功率谱和自相关函数白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声高斯白噪声第36页，本讲稿共57页 如如果果白白噪噪声声又又是是高高斯斯分分布布的的，我我们们就就称称之之为为高高斯斯白噪声。白噪声。高高斯斯白白噪噪声声在在任任意意两两个个不不同同时时刻刻上上的的取取值值之之间间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应应当当指指出出，我我们们所所定定义义的的这这种种理理想想化化的的白白噪噪声声在在实实际际中中是是不不存存在在的的。但但是是，如如果果噪噪声声的的功功率率谱谱均均匀匀分分布布的的频频率率范范围围远远远远大大于于通通信信系系统统的的工工作作频频带带，我们就可以把它视为白噪声。我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声高斯白噪声功率谱角度概率分布角度第37页，本讲稿共57页随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随随机机信信号号通通过过线线性性系系统统的的分分析析，完完全全是是建建立立在在确确知知信信号号通通过过线线性系统的分析原理的基础之上的。性系统的分析原理的基础之上的。我我们们知知道道，线线性性系系统统的的响响应应v vo o(t)(t)等等于于输输入入信信号号v vi i(t)(t)与与系系统的单位冲激响应统的单位冲激响应h(t)h(t)的卷积，即的卷积，即若若则有则有第38页，本讲稿共57页若线性系统是物理可实现的，则若线性系统是物理可实现的，则或或 如如果果把把vi(t)看看作作是是输输入入随随机机过过程程的的一一个个样样本本，则则vo(t)可可看看作作是是输输出出随随机机过过程程的的一一个个样样本本。显显然然，输输入入过过程程i(t)的的每每个个样样本本与与输输出出过过程程o(t)的的相相应应样样本本之之间间都都满满足足上上式式的的关关系。系。这样，就整个过程而言，便有这样，就整个过程而言，便有随机过程通过线性系统第39页，本讲稿共57页假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程，则可以分析系统的输出过程则可以分析系统的输出过程o(t)的统计特性。的统计特性。随机过程通过线性系统1.输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望由由此此可可见见,输输出出过过程程的的数数学学期期望望等等于于输输入入过过程程的的数数学学期期望望与与直直流流传递函数传递函数H(0)的乘积，且与的乘积，且与t无关。无关。第40页，本讲稿共57页可可见见,o(t)的的自自相相关关函函数数只只依依赖赖时时间间间间隔隔而而与与时时间间起起点点t1无无关关。由由以以上上输输出出过过程程的的数数学学期期望望和和自自相相关关函函数数证证明明，若若线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是平平稳稳的的，那那么么输输出出过过程程也也是平稳的。是平稳的。2.输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 随机过程通过线性系统第41页，本讲稿共57页3.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度可见，系系统统输输出出功功率率谱谱密密度度是是输输入入功功率率谱谱密密度度Pi()与与系系统统功功率传输函数率传输函数|H()|2的乘积。的乘积。随机过程通过线性系统第42页，本讲稿共57页例 带带限限白白噪噪声声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为可可见见，输输出出噪噪声声的的功功率率谱谱密密度度在在|H内内是是均均匀匀的的，在在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。带限白噪声第43页，本讲稿共57页带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声第44页，本讲稿共57页带限白噪声其自相关函数为其自相关函数为由由此此可可见见，带带限限白白噪噪声声只只有有在在=k/2fH(k=1,2,3,)上上得得到到的的随随机机变变量量才才不不相相关关。即即，如如果果对对带带限限白白噪噪声声按按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的平均功率：带限白噪声的平均功率：第45页，本讲稿共57页从原理上看，在已知输入过程分布的情况从原理上看，在已知输入过程分布的情况总可以确定输出过程的分布。总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即4.输出过程o(t)的概率分布带限白噪声第46页，本讲稿共57页 由由于于i(t)已已假假设设是是高高斯斯型型的的，所所以以，在在任任一一时时刻刻的的每每项项 都都是是一一个个高高斯斯随随机机变变量量。因因此此，输输出出过过程程在在任任一一时时刻刻得得到到的的每每一一随随机机变变量量，都都是是无无限限多多个高斯随机变量之和。个高斯随机变量之和。由由概概率率论论得得知知，这这个个“和和”的的随随机机变变量量也也是是高高斯斯随随机机变变量量。这这就就证证明明，高高斯斯过过程程经经过过线线性性系系统统后后其其输输出出过过程仍为高斯过程。程仍为高斯过程。更更一一般般地地说说，高高斯斯过过程程经经线线性性变变换换后后的的过过程程仍仍为为高高斯斯过过程程。但但要要注注意意，由由于于线线性性系系统统的的介介入入，与与输输入入高高斯斯过过程程相相比比，输出过程的数字特征已经改变了输出过程的数字特征已经改变了。带限白噪声第47页，本讲稿共57页窄带随机过程随随机机过过程程通通过过以以fc为为中中心心频频率率的的窄窄带带系系统统的的输输出出，即即是是窄窄带带随随机机过过程程。所所谓谓窄窄带带系系统统，是是指指其其通通带带宽宽度度ffc，且，且fc远离零频率的系统。远离零频率的系统。实实际际中中，大大多多数数通通信信系系统统都都是是窄窄带带型型的的，通通过过窄窄带带系系统统的的信信号号或或噪噪声声必必是是窄窄带带的的，如如果果这这时时的的信信号号或或噪噪声声又又是是随随机机的的，则则称称它们为窄带随机过程。可表示为：它们为窄带随机过程。可表示为：第48页，本讲稿共57页窄带过程的频谱和波形示意窄带随机过程第49页，本讲稿共57页 a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。窄带随机过程第50页，本讲稿共57页1 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，是平稳高斯窄带过程，且且 均值为零，方差为均值为零，方差为 。可可以以证证明明它它的的同同相相分分量量c(t)和和正正交交分分量量s(t)也也是是零零均均值的平稳高斯过程，而且与值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。具有相同的方差。此此外外，在在同同一一时时刻刻上上得得到到的的c和和s是是互互不不相相关关的的或或统统计计独独立的。立的。窄带随机过程第51页，本讲稿共57页2 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性一一个个均均值值为为零零，方方差差为为 的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程(t)，其其包包络络a(t)的的一一维维分分布布是是瑞瑞利利分分布布，相相位位(t)的的一一维维分分布布是是均均匀匀分分布布，并并且且就就一一维维分分布布而而言言，a(t)与与(t)是统计独立的是统计独立的，即有下式成立：窄带随机过程瑞利分布瑞利分布第52页，本讲稿共57页正弦波加窄带高斯噪声信信号号经经过过信信道道传传输输后后总总会会受受到到噪噪声声的的干干扰扰，为为了了减减少少噪噪声声的的影影响响，通通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最最常常见见的的是是正正弦弦波波加加窄窄带带高高斯斯噪噪声声的的合合成成波波，这这是是通通信信系系统统中中常常会会遇遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。正弦波有用信号正弦波有用信号窄带高斯噪声第53页，本讲稿共57页合成信号合成信号r(t)的包络和相位为的包络和相位为正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为广义瑞利分布广义瑞利分布，莱斯（Rice）密度函数正弦波加窄带高斯噪声第54页，本讲稿共57页上式存在两种极限情况：上式存在两种极限情况：1.当信号很小，当信号很小，A0，即信噪比，即信噪比 时，时，x值很小，有值很小，有I0(x)=1，这时合成波，这时合成波r(t)中只存在窄带中只存在窄带高斯噪声，即由莱斯分布退化为瑞利分布。高斯噪声，即由莱斯分布退化为瑞利分布。2.当当信信噪噪比比r很很大大时时，有有I0(x)，这这时时在在zA附附近，近，f(z)近似于高斯分布。近似于高斯分布。由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。在一般情况下它是莱斯分布。正弦波加窄带高斯噪声第55页，本讲稿共57页正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 f()也也与与信信噪噪比比有有关关。小小信信噪噪比比时时，f()接接近近于于均均匀匀分分布布，它它反反映映这这时时窄窄带带高高斯斯噪噪声声为为主主的的情情况况；大大信信噪噪比比时时，f()主主要集中在有用信号相位附近。要集中在有用信号相位附近。正弦波加窄带高斯噪声第56页，本讲稿共57页小 结随机过程基本概念严平稳随机过程宽平稳随机过程各态历经性自相关函数功率谱密度函数高斯随机过程窄带随机过程正弦波+窄带随机过程随机过程通过线性系统第57页，本讲稿共57页
