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数学解题的基本方法之一 配方法 陕西洋县中学（） 刘大鸣数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法.高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等.高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等. 本系列专题通过 概念与规律、 基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实.【概念与规律】配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者在三角变换和圆锥问题的简化运算等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ；解析几何中的韦达定理和弦长公式； 等等.【基础题型再现】 1若实数a,b,c满足则的最大值为 2方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_ A. <k<1 B. k<或k>1 C. kR D. k或k13 已知sincos1，则sincos的值为_ A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04 函数ylog (2x5x3)的单调递增区间是_ A. （, ） B. ,+ C. (,) D. ,35. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a_6 双曲线 的两个焦点F1，F2，点P在双曲线上，若，求P到x轴的距离.【思维启迪】 1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，2：配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r，解r>0即可，选B。 3：已知等式配方凑成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解,选C。4：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，选D。5 根与系数的关系中配凑整体思维,，解得3.6 构建方程组，用圆锥曲线的定义需配方，为简化运算需整体代入.设点P到轴的距离为L，则有，配方用双曲线定义，整体代入解得 L.【经典问题回放】例1 RtABC 中，C=900，AC=8，BC=6，P是ABC内切圆上的动点，试求点到ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值和最小值BAC·O1p【思维展示】如何解决最值？利用坐标法，建立函数关系，只有用配方法才能化归一次函数区间上的最值解决。如图建系，则（,0），（0，），（0，0）内切圆半径r=2,内切圆圆心（，）其内切圆方程（x-22 +(y-2)2 =4,设P(x,y) 是圆上动点, 对目标函数配方化简， 则S=(x-8)2 +y2+x2 +(y -6)2+x2+y2=3(x-2)2+(y-2)2-4x-76=3×4-4x+76=88-4x在0,4上的最值，由单调性得 S max=88, Smin=72 例2 求函数的最大值.【思维展示】如何沟通变量之间的关系选主元？ 只有配方才有，沟通变量的关系，换元将问题化归为二次函数在区间上的问题求解. 例3 解方程 【思维展示】 原方程化为 ，两边平方得 至此，面对复杂的方程形式，思路困惑，难以继续.事实上，只要注意方程的特征和配方法的应用，配凑出个整体的平方形式，可化归为二次方程求解，原方程关于配方整理有为所求根.例4设方程xkx2=0的两实根为p、q，若()+()7成立，求实数k的取值范围。【思维展示】方程xkx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,如何构建不等式？只有配方，()+()7， 解得k或k ，又 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80即k2或k2，综合起来，k的取值范围是：k 或者 k【学习体验】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例5 已知时，求x,y. （参考公式）【思维展示】二元满足的关系式，如何确定二变量的值？只有配方利用非负数之和确定.注意公式的信息迁移，用二倍角公式再配方切入，由，而两个非负数之和为零，.【学习体验】二元变量满足的关系式，只有用配方法化归为非负数之和才能确定其大小。例6已知抛物线，过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，. 求a的取值范围； 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求三角形NAB面积的最大值.【思维展示】直线和圆锥曲线位置的研究方法“设而不解，整体思维”，弦长公式只有用配方法，才能用韦达定理整体处理.依题意巧设直线AB所在方程为 与联立化简有，.由直线与该抛物线交于不同的两点A、B，则 ，解得， 设，用配方法和点在直线上表示弦长则AB的垂直平分线为 ，即 ，令，则N，三角形NAB的高，则，而，由一次函数的单调性知，时，三角形NAB有最大值为 【实战演练】1 函数y(xa)(xb) （a、b为常数）的最小值为_A. 8 B. C. D.最小值不存在2 、是方程x2axa60的两实根，则(-1) +(-1)的最小值是_A. B. 8 C. 18 D.不存在3 化简：2的结果是_A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 4 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 A. 2 B. C. 5 D. 5 设F和F为双曲线y1的两个焦点，点P在双曲线上且满足FPF90°，则FPF的面积是_。6 若x>1，则f(x)x2x的最小值为_。7 已知<，cos(-)，sin(+)，求sin2的值8设二次函数f(x)AxBxC，给定m、n（m<n）,且满足A(m+n)+ mn2AB(m+n)CmnBC0 （1）解不等式f(x)>0； 是否存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。9 设s>1，t>1，mR，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs),(1)将y表示为x的函数yf(x)，并求出f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)0有且仅有一个实根，求m的取值范围.10 设非零复数a、b满足aabb=0，求()() .速解“一点通” 1 重新整理关于变量x再配方，顶点处取得最小值，选C；2 注意实根条件由判别式解出范围，凑用韦达定理和求最值都用配方法易有3 注意平方和的特点，升次配方有2,选C；4设长方体长，宽，高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得长方体所求对角线长为：5，所以选B；5 用定义需配方出现两焦半径之积可得面积为1；6 配方凑用均值不等式，f(x)x2x为所求的最值；7 凑角变换，用同角关系中体现配方，易求sin2= 8 注意已知的条件配方为于是，是方程的两根，则 f(x)AxBxC，（1）（2）假设存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)<0 ，综上讨论知存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)<0；9 两次配方沟通，(1)ylogtlogsm(logtlogs)= (logtlogs)-2, xlog2tlog2s=x2，-2,(2)用根的分布，注意特殊性，只需，10：对已知式可以联想：变形为()()10，则 （为1的立方虚根）；或配方为(ab)ab .则代入所求式即得。由aabb=0变形得：()()10 ，设，则10，可知为1的立方虚根，所以：，1。又由aabb=0变形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 ；