第08章相量法精.ppt

第08章相量法第1页，本讲稿共51页一一.复数的四种表示形式复数的四种表示形式 1、代数形式：、代数形式：F=a+jb 其中 j=2、三角形式：、三角形式：两种表示法的关系：两种表示法的关系：FbReImaOFbReImaO|F|或或复数在复平面的图形表示复数在复平面的图形表示：8.1 复复 数数第2页，本讲稿共51页3、指数表示形式：欧拉公式：4、极坐标形式、极坐标形式 FbReImaO|F|第3页，本讲稿共51页二二.复数运算复数运算则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算代数形式较简单代数形式较简单若若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2F1F2ReImO加减法可用图解法。加减法可用图解法。F1+F2F1-F2第4页，本讲稿共51页(2)乘除运算乘除运算极坐标极坐标若 F1=|F1|1 ，若F2=|F2|2除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1.乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:解解:第5页，本讲稿共51页例例2.(3)旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 F ej 相相当当于于F逆逆时时针针旋旋转转一一个个角角度度 ，而而模模不不变变。故故把把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。解：上式解：上式第6页，本讲稿共51页ejp/2p/2=j,e-jp/2p/2=-j,ejp p=1，故，故+j,j,-1 都是旋都是旋转因子。转因子。几种特殊几种特殊 值的旋转因子：值的旋转因子：ReIm0第7页，本讲稿共51页8.2 正弦量正弦量一、一、正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(t+)i+_u波形：波形：i tOT二、正弦量的二、正弦量的三要素三要素(1)幅幅值值(amplitude)(振振幅幅、最最大大值值)ImIm反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。按正弦规律变化的电压或电流。按正弦规律变化的电压或电流。第8页，本讲稿共51页(2)(2)角频率角频率(angular frequency)单位：单位：rad/s，弧度，弧度/秒秒i tOTi(t)=Imcos(t+)t+：称为正弦量的相位或相角。：称为正弦量的相位或相角。：正弦量的相位随时间变化的角速度。：正弦量的相位随时间变化的角速度。反映正弦量变化快慢的物理量。反映正弦量变化快慢的物理量。频率频率f：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期T：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s，秒，秒第9页，本讲稿共51页(3)初相位初相位(initial phase angle)(t+)大大小小决决定定该该时时刻刻正正弦弦量量的的值值。当当t=0时时，相相位位角角(t+)=，故称，故称 为初相位角，简称初相。为初相位角，简称初相。i(t)=Imcos(t+)i tOT：反映了正弦量的计时起点。反映了正弦量的计时起点。第10页，本讲稿共51页同一个正弦量，同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同计时起点不同，初相位不同。tiO =0=0 =/2/2 =-=-/2/2一般规定一般规定：|。对对于于一一个个正正弦弦量量来来说说，初初相相可可以以任任意意指指定定，但但对对于于一一个个电电路路中中有有许许多多相相关关的的正正弦弦量量，它它们们只只能能相相对对于于一一个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。=第11页，本讲稿共51页 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值（即直流等效值）来表示。工程上采用有效值（即直流等效值）来表示。1.周期电流有效值周期电流有效值瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。物物理理意意义义：周周期期性性电电流流 i 流流过过电电阻阻 R，在在一一周周期期T 内内吸吸收收的的电电能能，等等于于一一直直流流电电流流I 流流过过R,在在时时间间T 内内吸吸收收的的电电能能，则则称称电电流流 I 为为周周期期性性电电流流 i 的的有有效效值值。即即:有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为，简记为 rms。)三三.周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义：定义：第12页，本讲稿共51页W2=I 2RTRi(t)RI2.周期电压有效值周期电压有效值定义定义:第13页，本讲稿共51页3.正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(t+)第14页，本讲稿共51页同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。第15页，本讲稿共51页四、同频率正弦量的相位差四、同频率正弦量的相位差(phase difference)设设 u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)则则 相位差相位差 即相位角之差：即相位角之差：=(t+u)-(t+i)=u-i 0，u 领领先先(超超前前)i，或或 i 落落后后(滞滞后后)u(u 先先到到达达最最大大值值)；0，i 领先领先(超前超前)u，或，或u 落后落后(滞后滞后)i(i 先到达最大值先到达最大值)。恰好等于初相位之差恰好等于初相位之差 u i tu,iu iO u 0 i 相量（常数复数）微分方程=代数方程正弦量是由它的有效值、角频率和初相三要素来确定的。在线性电路中，若激励是同频率的正弦量，则电路中的稳态响应将是与激励为同一频率的正弦量。所以要确定正弦稳态响应，只须确定响应的有效值和初相即可。第19页，本讲稿共51页两个正弦量两个正弦量i1+i2 i3I1I2I3 1 2 3无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。因因同同频频的的正正弦弦量量相相加加仍仍得得到到同同频频的的正正弦弦量量，所所以以，只只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值(或最大值或最大值)就行了。就行了。角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：i1i2 tu,ii1 i2Oi3于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。代替正弦量的计算，使计算变得较简单。例如:两个正弦量相加第20页，本讲稿共51页二二.正弦量的相量表示正弦量的相量表示1.正弦函数与复函数关系正弦函数与复函数关系没有物理意义没有物理意义 若对若对F(t)取实部：取实部：是一个正弦量，是一个正弦量，有物理意义。有物理意义。任意一个正弦函数与复指数函数一一对应：任意一个正弦函数与复指数函数一一对应：第21页，本讲稿共51页F(t)包含了三要素：包含了三要素：I、，复常数包含了，复常数包含了I I ,。F(t)还可以写成还可以写成复常数称 为正弦量 i(t)对应的相量。正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位2.相量第22页，本讲稿共51页加加一一个个小小圆圆点点是是用用来来和和普普通通的的复复数数相相区区别别(强强调调它它与与正正弦弦量量的的联联系系)，同同时时也也改改用用“相相量量”，而而不不用用“向向量量”，是是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1.试用相量表示试用相量表示i,u.解解：第23页，本讲稿共51页 相量图相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：q例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解：第24页，本讲稿共51页我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的几何意义几何意义几何意义几何意义：ej t 为一模为为一模为1、幅角为、幅角为 t 的相量。随的相量。随t的增加，模不变，的增加，模不变，而幅角与而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当成正比，可视其为一旋转相量，当t从从0T时，时，相量旋转一周回到初始位置，相量旋转一周回到初始位置，t 从从02。tiO+1+jO第25页，本讲稿共51页三三.相量运算相量运算(1)同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。i1 i2=i3可得其相量关系为：可得其相量关系为：第26页，本讲稿共51页例例同同频频正正弦弦量量的的加加、减减运运算算可可借借助助相相量量图图进进行行。相相量量图图在在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首首尾尾相相接接第27页，本讲稿共51页(2).正弦量的微分正弦量的微分微分运算微分运算:第28页，本讲稿共51页(3)正弦量的积分正弦量的积分积分运算积分运算:第29页，本讲稿共51页四四.相量法的应用相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解微分方程的特解)例例一阶常系数一阶常系数线性微分方程线性微分方程自由分量自由分量(齐次方程解齐次方程解)：Ae-R/L t强制分量强制分量(特解特解)：Imcos(t+i)Ri(t)u(t)L+-解解:第30页，本讲稿共51页用相量法求：用相量法求：R LRi(t)u(t)L+-取相量取相量第31页，本讲稿共51页小结小结 正弦量正弦量相量时域 频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相相量量法法可可以以用用来来求求强强制制分分量量是是正正弦弦量量的的任任意意常常系系数数线线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性12非线性不适用正弦波形图相量图第32页，本讲稿共51页对于电路中任一结点，对于电路中任一结点，根据根据KCL有：有：对于电路中任一回路，对于电路中任一回路，根据根据KVL有：有：一、基尔霍夫定律的向量形式8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式第33页，本讲稿共51页1、电阻时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：有效值关系：UR=RI相位关系相位关系 u=i (u,i同相同相)R+-二、元件伏安关系的向量形式及相量模型第34页，本讲稿共51页波形图及相量图：波形图及相量图：i tOuRu=i第35页，本讲稿共51页2、电感电感时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量形式：相量模型相量模型j L+-有效值关系：UL=L I相位关系：相位关系：u=i+90 (u 超前超前 i 90)i第36页，本讲稿共51页感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；U=XL I=LI=2 fLI(2)感抗和频率成正比；感抗和频率成正比；XL相量表达式相量表达式:XL=L=2 fL，称为感抗，单位为，称为感抗，单位为 (欧姆欧姆)BL=-1/L=-1/2 fL，感纳，单位为感纳，单位为 S(同电导同电导)2.感抗和感纳感抗和感纳:可忽略不讲!第37页，本讲稿共51页功率：功率：波形图：波形图：t iOuLpL2瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。一周期内刚好互相抵消。可忽略不讲!第38页，本讲稿共51页3、电容电容时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型有效值关系：有效值关系：IC=CU相位关系：相位关系：i=u+90 (i 超前超前 u 90)iC(t)u(t)C+-+-u第39页，本讲稿共51页令令XC=-1/C，称为容抗，单位为称为容抗，单位为(欧姆欧姆)B B C=C，称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S 频率和容抗成反比频率和容抗成反比,0，|XC|直流开路直流开路(隔直隔直)，|XC|0 0 高频短路高频短路(旁路作用旁路作用)|XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式:可忽略不讲!第40页，本讲稿共51页功率：功率：波形图：波形图：t iCOupC2瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。负，一周期内刚好互相抵消。可忽略不讲!第41页，本讲稿共51页例8-3LCR+uL-uCa+-iS+uR-bcdR+-a+-+-bcd第42页，本讲稿共51页R+-a+-+-bcd第43页，本讲稿共51页例8-4 图示电路，电流表A1的读数为5A，A2的读数为20A，A3的读数为25A，求电流表A和A4的读数。+-AA1A3A2A4第44页，本讲稿共51页本章小结本章小结1、正弦量及三要素、正弦量及三要素i(t)=Imcos(t+)振幅：振幅：Im 角频率：角频率：初相：初相：2、有效值、有效值3、同频率正弦量的相位差、同频率正弦量的相位差 ui=(t+u)-(t+i)=u-i第45页，本讲稿共51页 ui=u-i 0电压超前于电流电压超前于电流 ui=u-i 0电压滞后于电流电压滞后于电流规定：规定：|4、有效值相量、有效值相量5、相量的性质、相量的性质a、同频正弦量的代数和、同频正弦量的代数和i1 i2=i3第46页，本讲稿共51页6、相量图、相量图b、正弦量的微分、正弦量的微分c、正弦量的积分、正弦量的积分q第47页，本讲稿共51页7、电路定律的相量形式、电路定律的相量形式a、电阻、电阻R+-UR=RIu=i瞬时功率：瞬时功率：u=i电阻总是消耗功率的电阻总是消耗功率的第48页，本讲稿共51页b、电感、电感j L+-UL=L I u=i+90 (u 超前超前 i 90)i第49页，本讲稿共51页c、电容、电容+-IC=CU i=u+90 (i 超前超前 u 90)u功率：功率：第50页，本讲稿共51页d、基尔霍夫定律、基尔霍夫定律第51页，本讲稿共51页