第71讲 直线与圆锥曲线的位置关系.doc
第71讲 直线与圆锥曲线的位置关系【考点解读】1.学会用坐标法探究直线与圆锥曲线的位置关系2.进一步体会曲线方程的解与曲线上的点的坐标之间的关系，培养方程思想；3.能解决直线与圆锥曲线位置关系有关的综合问题【知识扫描】1点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系2直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件3直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。则弦长公式为：d=。焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。4.点差法 当直线与曲线相交于两点，直线的斜率为，弦AB的中点为，在椭圆中有，在双曲线中有，在抛物线中有【考计点拨】1.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，则k的取值范围是 .【答案】2以点为中点的抛物线的弦所在的直线方程为（ ） 【答案】C3.若ab且ab0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( )【答案】C4.过原点的直线l:y=kx与双曲线C: =1有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是 .【答案】5.椭圆与直线相交于两点，为的中点，若为坐标原点，斜率为，则的值分别为_.【答案】典例分析考点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断【例1】（1）若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值【解析】联立方程组，分和讨论，得变式：无论k为何值，直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆 =1都有公共点，则m的取值范围是 .【答案】（2）求过点)1,0(的直线，使它与抛物线仅有一个交点.【解析】当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：【答案】规律小结：注意判别式的应用，特别注意二次项系数的讨论变式训练1：已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.【解析】原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.考点二、直线与圆锥曲线相交时的弦长问题例2如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为（I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程【解析】：设点的坐标为，点的坐标为由，解得，当且仅当时，取到最大值1（）解：由，得，1，AB2设到的距离为，则，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是，或，或，或规律小结:求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：AB来求解。【变式训练2】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求椭圆的方程.【解析】：设所求椭圆的方程为=1. 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组： 将代入，整理得 ， 设方程的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OPOQ，OP=，可得 整理得 解这个方程组，得 或 根据根与系数的关系，由式得 (1) 或 (2) 解方程组(1)、(2)得 或故所求椭圆方程为=1 ， 或 =1.考点三、直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题【例3】已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：，又 解之得：k=2，当k=2时代入方程可知<0，故这样的直线不存在.【变式训练】已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解析：（1）设椭圆方程为 （a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中点为N(x0,y0)，两式相减及得到，所以直线ON的方向向量为， ，即，从而得 （2）探索定值 因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时，证明 ，椭圆方程为，又直线方程为又设M（x，y），则由得，代入椭圆方程整理得又 ，考点四、直线与圆锥曲线的综合问题【例4】已知椭圆C1：1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。（1）当AB轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）若，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.【解析】（1）当AB轴时，点A、B关于轴对称，所以0，直线AB的方程为1，从而点A的坐标为（1，）或（1，），因为点A在抛物线上，所以，.此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. (2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去得设A、B的坐标分别为（）、（）.则，是方程的两根，.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，所以AB（2）（2）4，且AB（）（）.从而4所以，即解得.因为C2的焦点F、（）在直线上，所以，即当时直线AB的方程为；当时直线AB的方程为.变式训练4：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】：（1）由题意有 则有（2）假设存在实数满足题设条件，不妨设A、B两点的坐标分别为，则由式得 则由FAFB得，即整理得 把式及代入式化简得，解得 （舍去）可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F.
