高一数学求函数的定义域与值域的常用方法.doc

时间段授课内容一 函数定义域二 函数值域三 函数解析式四例题讲解与小结、练习1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b (a0) y=ax2+bx+c (a0) y= (k0)（三）1、如何求函数的定义域例1：已知函数f (x) = +（1）求函数的定义域；（2）求f（3），f ()的值；（3）当a0时，求f（a）,f(a1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式解：例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.2、如何判断两个函数是否为同一函数例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）y = ()2 ; （2）y = () ;（3）y = ; （4）y= 分析： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （3）求下列函数的定义域 f(x) = + f(x) = 一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数fg（x）的表达式，求f（x）的表达式时可以令tg（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、 常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、 对复合函数yfg（x）的定义域的求解，应先由yf（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出yg（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、 分段函数的定义域是各个区间的并集；6、 含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1. 已知，试求。解：说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例4. 求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，；（3）已知，求；（4）已知，求。【思路分析】【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现，则一般将式中的用代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3. 求的定义域。解：由题意知：，从而解得：x>2且x±4.故所求定义域为：x|x>2且x±4。例2. 求下列函数的定义域：（1）； （2）【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4. 已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435617解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得xI1，又由g（x）定义域可以解得xI2.则I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。解：例9. 若函数f（2x）的定义域是1，1，求f（log2x）的定义域。解：三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11. 求函数的值域。解：说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12. 求函数y2x24x的值域。解：说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例13. 求函数的值域。解：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法例14. 求函数，x4，5的值域。解：5、换元法例15. 求函数的值域。解：例3. 求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数，其值域就是指集合；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】 【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。