函数知识点习题及答案.doc
§02. 函数 知识要点一、本章知识网络结构：二、知识回顾：（一） 映射与函数1. 映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性7. 奇函数，偶函数：偶函数：设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.奇函数：设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，.8. 对称变换：y = f（x）y =f（x）y =f（x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数ff（x）的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 . 解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.11. 常用变换：.证：证：12. 熟悉常用函数图象：例：关于轴对称. 关于轴对称.熟悉分式图象：例：定义域，值域值域前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.（5）在 R上是增函数（5）在R上是减函数对数函数y=logax的图象和性质:对数运算：（以上）a>10<a<1图象性质（1）定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0（4）时 时 y>0时 时（5）在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数注：当时，.：当时，取“+”，当是偶数时且时，而，故取“”.例如：中x0而中xR）.（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.专题1 函数（文科）例1 已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程； （）设与轴交点为。证明： ； 若，则（）分析：欲求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。解：求的导数：，由此得切线的方程：。（）分析：要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式，就成； 欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。 证：依题意，切线方程中令y0，.由.。点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。例2、 函数y1的图象是（ ）解析一：该题考查对f（x）图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y的图形变形到y，即向右平移一个单位，再变形到y即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x0，此时y1，取x2，此时y0.因此选B.答案：B点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。例3设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式. 证明：由题意可知.， ， 当时，.又， ，综上可知，所给问题获证. 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。例4、设f(x)是定义在（0，）上的增函数，且对任意的x，y（0，），都有f(xy)f(x)f(y)。（1）求证：当x（1，）时，f(x)0；且f()f(x)f(y).（2）若f(2)1，解不等式f(x2)f(2x)2.分析：由f(xy)f(x)(y)，不难想到f(x)应为对数函数形式，所以f(1)0，由题意条件，f(x)为增函数，据此不难求解。解：（1）令xy1，则由f(xy)f(x)f(y)得f(1×1)f(1)f(1).即f(1)2f(1)，f(1)0，又由于函数f(x)在（0，）上为增函数，所以对任意x（1，），有f(x)f(1)0，故f(x)0.设x，y（0，），于是f(x)f(y) f( ) f(y)，即f()f(x)f(y).（2）由于f(2)1，所以ff(2)f(2)f(2×2)f(4)，由f(x2)f(2x)2，f(x2)f(2x)f(4)， f(x2)f(8x)，又因为函数f(x)在（0，）上为增函数，所以x28x，因x（0，）所以 0x . 例5设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围解：（），当时，取最小值，即（）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：t10递增极大值1m递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为19. 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解：（）因为是奇函数，所以0，即 又由f（1） f（1）知 （）由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式20. 已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，
