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第一章数值计算中的误差现在学习的是第1页，共19页利用计算机等计算工具求数学问题的的数值利用计算机等计算工具求数学问题的的数值解的全过程，称为数值计算。解的全过程，称为数值计算。利用计算机解决数学问题的经历的几个过程利用计算机解决数学问题的经历的几个过程实际问题实际问题数学模型数学模型程序设计程序设计上机计算求出结果上机计算求出结果研究计算方法研究计算方法一、什么是计算方法一、什么是计算方法?现在学习的是第2页，共19页二、计算方法的主要内容 计算机只能进行加减乘除四则运算和简单计算机只能进行加减乘除四则运算和简单的函数运算的函数运算(函数也是通过计算数学的方法函数也是通过计算数学的方法转化成四则运算的小型软件包转化成四则运算的小型软件包)。1 1、数值代数：求解线性方程组和非线性方程、数值代数：求解线性方程组和非线性方程，分直接法和间接法。，分直接法和间接法。2 2、插值和数值逼近。、插值和数值逼近。3 3、数值微分和数值积分。、数值微分和数值积分。4 4、常微分方程数值解法。、常微分方程数值解法。现在学习的是第3页，共19页三、计算方法所要考虑的问题三、计算方法所要考虑的问题1 计算速度。计算速度。2 2 储存量。储存量。3 3 数值稳定性数值稳定性。现在学习的是第4页，共19页四、学习计算方法的目的四、学习计算方法的目的1 1 拓宽对拓宽对2121世纪科学的了解；世纪科学的了解；2 2 加深对数学思想的了解加深对数学思想的了解;3 3 运用数学知识解决实际问题的能力。运用数学知识解决实际问题的能力。现在学习的是第5页，共19页几点要求几点要求1 1 保证课堂纪律保证课堂纪律2 2 按时上课按时上课3 3 按时完成作业按时完成作业4 4 实验要认真实验要认真现在学习的是第6页，共19页1.2 1.2 误差的种类及来源误差的种类及来源1 1 模型误差模型误差2 2 观测误差观测误差3 3 截断误差截断误差4 4 舍入误差舍入误差现在学习的是第7页，共19页1.3 1.3 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差1 绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限 设某一个量的精确值为设某一个量的精确值为 ,其近似值为其近似值为 ，则，则 与与 的差的差 称为近似值称为近似值 的绝对误差。的绝对误差。若若 称称 为近似值为近似值 的绝对误差限。的绝对误差限。现在学习的是第8页，共19页2 2相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限 绝对误差与精确值之比绝对误差与精确值之比称为近似值称为近似值 的相对误差。的相对误差。若若 ，则称，则称 为近似值为近似值 的相的相对误差限。对误差限。由于精确值未知，一般用由于精确值未知，一般用表示相对误差。表示相对误差。现在学习的是第9页，共19页1.4 1.4 有效数字和误差的关系有效数字和误差的关系1 有效数字有效数字 设有一个数设有一个数 ，其近似值，其近似值 的规格化形式：的规格化形式：若若 的误差限为的误差限为 则称则称 为具有为具有 位有效数字。位有效数字。现在学习的是第10页，共19页2有效数字与误差的关系有效数字与误差的关系 当式当式(1.4.1)表示的近似值表示的近似值 具有具有n位有效数位有效数字时，有相对误差限字时，有相对误差限反之，也可由相对误差限来确定有效数字位数，反之，也可由相对误差限来确定有效数字位数，若若 则则 至少具有至少具有n n位有效数字位有效数字。现在学习的是第11页，共19页1.5 1.5 误差的传播与估计误差的传播与估计1 1 误差估计的一般公式误差估计的一般公式 1)1)对一元函数对一元函数 的计算的计算:设设 是是 的近似值，的近似值，相对误差限相对误差限 现在学习的是第12页，共19页2 2）对二元函数）对二元函数 的计算的计算:设设 分别分别为为 的近似值，的近似值，相对误差限相对误差限现在学习的是第13页，共19页3 3）对更一般的多元函数）对更一般的多元函数其中，其中，为为的近似值的近似值,现在学习的是第14页，共19页2 2 误差在算术运算中的传播误差在算术运算中的传播 1 1）加、减运算）加、减运算 及及现在学习的是第15页，共19页当两数相减时有当两数相减时有即即当当，即大小相近的两同号近似值相减时，即大小相近的两同号近似值相减时，注：由上式知，相对误差可能会很大，说明计算结注：由上式知，相对误差可能会很大，说明计算结果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。因此在果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。因此在实际计算中，应尽量设法避开。实际计算中，应尽量设法避开。现在学习的是第16页，共19页2 2 乘法运算乘法运算及及注：当乘数注：当乘数的绝对值很大时，乘积的绝对误差的绝对值很大时，乘积的绝对误差可能会可能会很大，因此也应设法避免。很大，因此也应设法避免。现在学习的是第17页，共19页3 3 除法运算除法运算及及注注:当除数当除数的绝对值很小、接近于零时，商的绝对误差的绝对值很小、接近于零时，商的绝对误差可能会很大，甚至造成计算机的可能会很大，甚至造成计算机的“溢出溢出”错误，应设法避错误，应设法避免。免。现在学习的是第18页，共19页1.6 1.6 算法的数值稳定性算法的数值稳定性1选择数值稳定的算法选择数值稳定的算法 在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法，称之为数值稳定的算法，否则称之为不稳定算法，称之为数值稳定的算法，否则称之为不稳定算法。算法。4 4 避免两相近数相减避免两相近数相减2 2 简化计算步骤，减少运算次数简化计算步骤，减少运算次数3 3 合理安排计算顺序，防止大数吃小数合理安排计算顺序，防止大数吃小数5 5 避免绝对值太小的数作除数避免绝对值太小的数作除数现在学习的是第19页，共19页