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控制系统的数学模型1你现在浏览的是第一页，共48页2.3 2.3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型2.3.1 2.3.1 传递函数传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。来的概念。微分方程是在微分方程是在时域时域中描述系统动态性能的中描述系统动态性能的数学模型数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到控制系统在用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域复数域的的数学模型数学模型传递函数传递函数。2你现在浏览的是第二页，共48页求例求例2-1 RLC2-1 RLC无源网络的传递函数无源网络的传递函数例2-8解：解：RLCRLC网络的微分方程网络的微分方程零初始条件下零初始条件下，对上述方程作拉氏变换，对上述方程作拉氏变换 传递函数传递函数3你现在浏览的是第三页，共48页传递函数传递函数具体定义：线性定常系统的传递函数，定义为具体定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件零初使条件下，系统下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件零初始条件含义：含义：1 1）输入量：）输入量：t0t0时才作用于系统，时才作用于系统，t=0-t=0-时，输入量及其各阶导时，输入量及其各阶导数均为零。数均为零。2 2）输出量：输入量加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即）输出量：输入量加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即输出量及其各阶导数在输出量及其各阶导数在t=0-t=0-时的值为零。时的值为零。4你现在浏览的是第四页，共48页式中式中c(t)c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)r(t)是系统输入量，是系统输入量，a/ba/b是与系统结构是与系统结构和参数有关的常系数。和参数有关的常系数。设设r(t)r(t)和和c(t)c(t)及其各阶系数在及其各阶系数在t=0t=0是的值均为零，即是的值均为零，即零初始条件零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)R(s)Lc(t)Lc(t)，R(s)=Lr(t)R(s)=Lr(t)，可得，可得s s的代数方程为：的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为于是，由定义得系统传递函数为：设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述：5你现在浏览的是第五页，共48页6你现在浏览的是第六页，共48页传递函数的特点:1.作作为为一一种种数数学学模模型型，传传递递函函数数只只适适用用于于线线性性定定常常系系统统，这这是是由由于于传传递递函函数数是是经经拉拉普普拉拉斯斯变变换换导导出出的的，而而拉拉氏变换是一种线性积分运算。氏变换是一种线性积分运算。2.2.传传递递函函数数是是以以系系统统本本身身的的参参数数描描述述的的线线性性定定常常系系统统中中输输入入量量与与输输出出量量的的关关系系式式，它它表表达达了了系系统统内内在在的的固固有有特特性性，只只与与系系统统的的结结构构、参参数数有有关关，而而与与输输入入量量或或输输入入函数的形式无关函数的形式无关。7你现在浏览的是第七页，共48页3.传传递递函函数数可可以以是是无无量量纲纲的的，也也可可以以是是有有量量纲纲的的，视视系系统统的的输输入入、输输出出量量而而定定，它它包包含含着着联联系系输输入入量量与与输输出出量量所所必必须须的的单单位位，它它不不能能表表明明系系统统的的物物理理特特性性和和物物理理结结构构。许许多多物物理理性性质质不不同同的的系系统统，有有着着相相同同的的传传递递函函数数，正正如如一一些些不不同同的的物物理理现现象象可可以以用用相相同同的的微微分分方方程描述一样。程描述一样。4.传传递递函函数数只只表表示示单单输输入入和和单单输输出出(SISO)之之间间的的关关系系，对对多输入多输出多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。系统，可用传递函数阵表示。8你现在浏览的是第八页，共48页5.传递函数可表示成传递函数可表示成 式式中中p1，p2pn为为分分母母多多项项式式的的根根，称称为为传传递递函函数数的的极极点点；z1、z2、zn为为分分子子多多项项式式的的根根，称称为为传递函数的传递函数的零点零点；9你现在浏览的是第九页，共48页6.传递函数传递函数分母多项式分母多项式称为称为特征多项式特征多项式，记为，记为而而D(s)=0称称为为特特征征方方程程。传传递递函函数数分分母母多多项项式式的的阶阶次次总总是是大大于于或或等等于于分分子子多多项项式式的的阶阶次次，即即nm。这这是是由于实际系统的惯性所造成的。由于实际系统的惯性所造成的。10你现在浏览的是第十页，共48页传递函数的性质传递函数的性质如果将如果将置换置换 传递函数与微分方程之间有关系。传递函数与微分方程之间有关系。性质1性质2传递函数传递函数G(s)G(s)的拉氏反变换是的拉氏反变换是脉冲响应脉冲响应g(t)g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)g(t)是系统在单位脉冲输入时的输是系统在单位脉冲输入时的输出响应。出响应。传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出给定输入量给定输入量时系时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有11你现在浏览的是第十一页，共48页在例在例1-11-1中，设当中，设当输入为输入为 单位阶跃函数单位阶跃函数,即即 时时,求输出求输出解：解：根据例根据例1 1得到的微分方程。得到的微分方程。例2-612你现在浏览的是第十二页，共48页13你现在浏览的是第十三页，共48页2.3.2 2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数的极点和零点对输出的影响 为传递函数的零点 为传递函数的极点 K*=b0/a0 为传递系数或根轨迹增益极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。14你现在浏览的是第十四页，共48页零点零点（O）距极点距极点（X）的距离越远，该极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小态所占比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。因为分子分母相互抵消。15你现在浏览的是第十五页，共48页2.3.42.3.4典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。单个电位器用作为信号变换装置。单个电位器用作为信号变换装置。16你现在浏览的是第十六页，共48页单位角位移，输出电压(v/rad)E -电位器电源(v)电位器最大工作角(rad)17你现在浏览的是第十七页，共48页2.3.52.3.5典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：典型环节通常分为以下六种：1 比例环节 环环节节输输出出量量与与输输入入量量成成正正比比，不不失失真真也也无无时时间间滞滞后后的的环环节节称称为为比比例例环环节节，也也称称无无惯惯性性环环节节。输输入入量量与输出量之间的表达式为与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 式中式中K为常数，称为为常数，称为比例环节比例环节的的放大系数放大系数或或增益增益。18你现在浏览的是第十八页，共48页2 惯性环节惯性环节惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程的动态方程是一个一阶微分方程 其传递函数为其传递函数为 式中式中 T 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益惯性环节的增益或或放大系数放大系数 19你现在浏览的是第十九页，共48页当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 20你现在浏览的是第二十页，共48页 惯惯性性环环节节实实例例很很多多，如如图图所所示示的的R-L网网络络，输输入入为为电电压压u，输输出出为为电电感感电电流流i，其传递函数，其传递函数式中式中 21你现在浏览的是第二十一页，共48页3 微分环节理理想想微微分分环环节节的的特特征征输输出出量量正正比比于于输输入入量量的的微微分分，其动态方程其动态方程 其传递函数其传递函数 式中式中Td称称微分时间常数微分时间常数 它的单位阶跃响应曲线它的单位阶跃响应曲线 22你现在浏览的是第二十二页，共48页如如图图所所示示，理理想想微微分分环环节节实实际际上上难难以以实实现现，因因此此我我们们常常采采用用带带有有惯惯性性的的微微分分环节环节，其传递函数，其传递函数:其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为 23你现在浏览的是第二十三页，共48页 曲曲线线如如下下图图所所示示，实实际际微微分分环环节节的的阶阶跃跃响响应应是是按按指指数数规规律律下下降降，若若K值值很很大大而而Td值值很很小小时时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。实际微分环节就愈接近于理想微分环节。24你现在浏览的是第二十四页，共48页4 积分环节 输输出出量量正正比比于于输输入入量量的的积积分分的的环环节节称称为为积积分分环环节节，其动态特性方程其动态特性方程 其传递函数其传递函数 式中式中Ti为为积分时间常数积分时间常数。25你现在浏览的是第二十五页，共48页积分环节的单位阶跃响应为积分环节的单位阶跃响应为 它它随随时时间间直直线线增增长长，当当输输入入突突然然消消失失，积积分分停停止止，输输出出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。26你现在浏览的是第二十六页，共48页上上图图为为运运算算放放大大器器构构成成的的积积分分环环节节，输输入入ui(t)，输输出出u0(t)，其传递函数为，其传递函数为 式中式中Ti=RC 27你现在浏览的是第二十七页，共48页5 振荡环节二阶振荡环节的动态方程为二阶振荡环节的动态方程为 其传递函数其传递函数 式式中中 为为无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡角角频频率率，为为阻阻尼尼比比，在在后面时域分析中将详细讨论。后面时域分析中将详细讨论。28你现在浏览的是第二十八页，共48页 图图中中所所示示为为RLC网网络络，输输入入为为ui(t)、输输出出u0(t)，其其动动态特性方程态特性方程 其传递函数其传递函数 式中式中 29你现在浏览的是第二十九页，共48页6 纯时间延时环节延延迟迟环环节节是是输输入入信信号号加加入入后后，输输出出信信号号要要延延迟迟一一段段时时间间后后才才重重现现输输入入信信号号，其其动动态态方方程为程为 其传递函数是一个超越函数其传递函数是一个超越函数 式中式中称称延迟时间延迟时间 30你现在浏览的是第三十页，共48页2.4.1 结构图 结结构构图图也也称称方方块块图图或或方方框框图图，具具有有形形象象和和直直观观的的特特点点。系系统统方方框框图图是是系系统统中中各各元元件件功功能能和和信信号号流流向向的的图图解解，它它清清楚楚地地表表明明了了系系统统中中各各个个环环节节间间的的相相互互关关系系。构构成成方方框框图图的的基基本本符符号号有有四四种种，即即信信号号线线、比较点比较点、传递环节传递环节的方框和的方框和引出点引出点。31你现在浏览的是第三十一页，共48页32你现在浏览的是第三十二页，共48页2.4.22.4.2系统方框图的构成系统方框图的构成 对对于于一一个个系系统统在在清清楚楚系系统统工工作作原原理理及及信信号号传传递递情情况况下下，可可按按方方框框图图的的基基本本连连接接形形式式，把把各各个个环环节节的的方方框框图，连接成系统方框图。图，连接成系统方框图。图图中中为为一一无无源源RC网网络络。选选取取变变量量如如图图所所示示，根根据电路定律，写出其微分方程组为据电路定律，写出其微分方程组为 33你现在浏览的是第三十三页，共48页34你现在浏览的是第三十四页，共48页零初始条件零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得下，对等式两边取拉氏变换，得 35你现在浏览的是第三十五页，共48页 RC网络方框图网络方框图 各环节方框图各环节方框图 36你现在浏览的是第三十六页，共48页2.4.3 2.4.3 环节间的连接环节间的连接 环节的连接有环节的连接有串联串联、并联并联和和反馈反馈三种基本形式。三种基本形式。1.串串联联:在在单单向向的的信信号号传传递递中中，若若前前一一个个环环节节的的输输出出就就是是后后一一个个环环节节的的输输入入，并并依依次次串串接接，这这种种联联接接方方式称为串联。式称为串联。n个环节串联后总的传递函数个环节串联后总的传递函数:37你现在浏览的是第三十七页，共48页即即环环节节串串联联后后总总的的传传递递函函数数等等于于串串联联的的各各个个环环节节传传递递函函数的乘积。数的乘积。环节的串联环节的串联RC网络网络38你现在浏览的是第三十八页，共48页2.并并联联:若若各各个个环环节节接接受受同同一一输输入入信信号号而而输输出出信信号号又又汇汇合合在在一一点点时时，称称为并联。为并联。如图所示。由图可知如图所示。由图可知 总的传递函数为总的传递函数为 环节的并联环节的并联39你现在浏览的是第三十九页，共48页3.反反馈馈：若若将将系系统统或或环环节节的的输输出出信信号号反反馈馈到到输输入入端端，与与输输入入信信号号相相比比较较，就就构构成成了了反反馈馈连连接接，如如图图所所示示。如如果果反反馈馈信信号号与与给给定定信信号号极极性性相相反反，则则称称负负反反馈馈连连接接。反反之之，则为则为正反馈正反馈连接，若反馈环节连接，若反馈环节H(s)=1称为称为单位反馈单位反馈。反馈连接反馈连接40你现在浏览的是第四十页，共48页 反反馈馈连连接接后后，信信号号的的传传递递形形成成了了闭闭合合回回路路。通通常常把把由由信信号号输输入入点点到到信信号号输输出出点点的的通通道道称称为为前前向向通通道道；把把输输出出信号反馈到输入点的通道称为信号反馈到输入点的通道称为反馈通道反馈通道。对对于于负负反反馈馈连连接接，给给定定信信号号r(t)和和反反馈馈信信号号b(t)之之差差，称为偏差信号称为偏差信号e(t)即即 通通常常将将反反馈馈信信号号B(s)与与误误差差信信号号E(s)之之比比，定定义为义为开环传递函数开环传递函数，即，即 开环传递函数开环传递函数=41你现在浏览的是第四十一页，共48页输输出出信信号号C(s)与与偏偏差差信信号号E(s)之之比比，称称为为前前向向通通道道传递函数传递函数，即，即 前向通道传递函数前向通道传递函数=而而系系统统输输出出信信号号C(s)与与输输入入信信号号R(s)之之比比称称为为闭环传递函数闭环传递函数，记为，记为(s)或或GB(s)。42你现在浏览的是第四十二页，共48页得闭环传递函数为得闭环传递函数为 对于正反馈连接，则闭环传递函数为对于正反馈连接，则闭环传递函数为 43你现在浏览的是第四十三页，共48页2.4.42.4.4方框图的变换和简化方框图的变换和简化 除除了了前前面面介介绍绍的的串串联联、并并联联和和反反馈馈连连接接可可以以简简化化为为一一个个等等效效环环节节外外，还还有有信信号号引引出出点点及及比比较较点点前前后后移移动动的规则。的规则。44你现在浏览的是第四十四页，共48页 图2-26 比较点移动示意图 放大缩小 缩小放大 45你现在浏览的是第四十五页，共48页 左图2-27 分支点移动示意图 缩小放大放大缩小右46你现在浏览的是第四十六页，共48页例例2-7化化简简图图(a)(a)所所示示系系统统方方框框图图，并并求求系系统统传传递递函数函数 47你现在浏览的是第四十七页，共48页48你现在浏览的是第四十八页，共48页