第五章 定积分练习题答案）.doc

5.1 定积分的概念与性质1.填空题(1) 根据定积分的几何意义， 12 ,_0_(2）设，则_5_，_-5_， . 2.选择题（1） 定积分值的符号为 （）大于零 小于零 等于零 不能确定（2）曲线与轴所围成的图形的面积可表示为（）； ；3.利用定义计算定积分.解：将区间等分，则每个小区间的长度，每个小区间上取右端点，于是4. 比较下列各对积分的大小：（1）与解：当时，所以，从而（2）与解：当时，所以，从而（3）与 解：因为，所以（4）与解：当时，从而5.估计积分的值：解：设，先求在上的最大、最小值， 由得内驻点，由知由定积分性质得 6.求证： .证明：在区间上的最大值、最小值分别为，由性质6可知结论成立.7.设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使.证明：设，由积分中值定理可知，存在，使从而，可知在上满足罗尔定理，所以存在，使，即.8.已知函数连续，且，求函数.解：设，则，于是，得，所以.5.2 微积分基本公式1.填空题(1) 0 , (2) , (3) (4)已知，则(5)已知，则（6）已知，则(7) 由参数方程所确定的函数的导数=2. 求由方程确定的函数的导数.解：3.求下列极限（1）解：原式=（2）解：原式=4.计算下列定积分（1）解：原式=（2）解：原式=(3) 解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=（7）解：原式= (8) 解：原式=（9） 解：原式=（10）解：原式=（11）解：当时，原式；当时，原式；当时，原式5. 设，求，并讨论在区间上的连续性。解：当时，当时，在区间上处处连续.6.设在a,b上连续,在（a, b）内可导,且,证明在（a, b）内有.证明：由于，所以当时，从而结论成立！5.3 定积分的换元法和分部积分法1.计算下列定积分（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=(7) 解：令，则原式=（8）解：令，则原式=（9）设，求。 解：令原式=(10) 解：原式（11） 解：原式（12）解：原式（13）解：原式=（14）解：原式=(15) ,其中解：因为，所以2.证明题(1) 证明证明：令，则（2）设为连续函数，证明.证明：3.设在上连续，且，求 .解：4.若函数满足，且，求.解：因为 所以两边求导数，得，取，。5.4 反常积分1.选择题下列各项正确的是（ ） 当为奇函数时， 反常积分与有相同的敛散性= 2. 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值：（1）解：由定义，反常积分发散，所以原积分发散.（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式(5) 解：令，则原式（6）解：，所以反常积分发散.(7) 解：(8) 解：令，则原式3.利用递推公式计算反常积分.解：利用分部积分，依次递推，得，而，所以4.已知，求（1）； （2）解：（1）（2）第五章综合练习题1.选择题（1）设函数在内连续，且，则的值（ ） 依赖于 依赖于 依赖于，不依赖于 依赖于，不依赖于（2）设在上令，则（ ）. （3），则为（ ）.正常数 负常数 恒为零 不为常数 提示：，而.(4) 下列反常积分发散的是（ ） 2. 计算题（1）求解：原式（2）设函数可导，且，求.解：令，则，所以（3）计算解：原式（4）计算解：原式（5）已知，求的值.解：由条件有，即所以.（6）设连续非负函数满足，求.解：令，从而，故.3.当时满足方程且在有连续一阶导数,又,求.解：两边对求导，得，令，得，对求导，得，即，所以，又由知，故.4.设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数），（1）证明：（2）利用（1）结论计算定积分证明：（1），令，所以 （2）取，且，所以5.设在上连续且单调递减，又设，证明对于任意满足的和，恒有.证明：作辅助函数，由知单调递减，故结论成立！