双曲线及其标准方程 教学设计.doc
高二数学 选修2-1 第二章 2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程教学设计 zxf一、教学目标1.知识与技能理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法2过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力3情感、态度与价值观通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题二、重点难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线标准方程的推导三、教学方法探究法，自主练习四、教学过程（一）探究双曲线的轨迹形成1我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，（利用几何画板，演示椭圆的形成）那么与两定点距离的差（小于两定点的距离之差）为非零常数的点的轨迹是什么？如图，固定的两个点F1，F2，动点M到点F1，F2的距离MF1与MF2之差为非零常数，动点M形成的轨迹是什么？（几何画板演示，这样的动点M形成的轨迹，是双曲线。）2若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？【提示】当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距这里主要是和椭圆进行类比教学，通过椭圆向双曲线过度，也就是类比椭圆的形成，学生自由探究双曲线的形成。（二）探究双曲线的标准方程（推导）类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？【提示】以经过两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2这里主要也是和椭圆进行类比教学，回忆椭圆的标准方程是怎样推导的，自己尝试推导出双曲线的标准方程。这里也涉及了很重要的数学方法，通过繁琐的计算过程，最后推导公式，培养学生的严谨思维和分类讨论的思想。（三）双曲线的标准方程应用例1求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，且经过点A(1，)；(2)经过点P1(2，)和P2(，4)两点【思路探究】(1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求出a2、b2的值？【解答】(1)若所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则将a4代入，得1. 又点A(1，)在双曲线上，1.由此得b20， 不合题意，舍去若所求双曲线方程为1(a0，b0)，则将a4代入得1，代入点A(1，)，得b29， 双曲线的标准方程为1.(2)法一当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)P1、P2在双曲线上，解得(不合，舍去)当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1(a0，b0)又P1、P2在双曲线上，解得，即a29，b216.故所求双曲线方程为1.法二因为双曲线的焦点位置不确定，所以设曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为P1、P2在双曲线上，所以有， 解得.所求双曲线方程为1，即1.【总结】1求双曲线标准方程的两个关注点：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2、b2的数值，常由条件列方程求解2若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0.【练习】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点是(0，6)，经过点A(5,6)；(2)a5，c7.【解】(1)由已知c6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)由双曲线定义2a|8.a4，b2c2a220.所求双曲线的标准方程为1.(2)由已知a5，c7，b2c2a224，焦点不确定所求双曲线的标准方程为1或1.（四）课堂小结：1理解双曲线定义应注意以下三点：定义中的动点与定点在同一平面内；距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹2利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步.（五）课堂练习1动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线【解析】|PM|PN|2|MN|，点P的轨迹是两条射线【答案】C2(2013·徐州高二检测)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A(，0) B(，0)C(，0) D(，0)【解析】将双曲线方程化为标准形式x21，所以a21，b2，c，右焦点坐标为(，0)【答案】C3满足条件a2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦点(4,0)在x轴上，双曲线的标准方程为1.【答案】A4已知双曲线1的左支上一点M到其左焦点F1的距离为10，求点M到该曲线左焦点F2的距离【解】由1得a4，点M在双曲线的左支上|MF2|MF1|，|MF2|MF1|2a8，又|MF1|10，|MF2|18.（六）教学反思 这节课的主要目的是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程，难点是完成双曲线标准方程的推导。整个流程是，先类比椭圆的形成，探究出双曲线的形成轨迹以及标准方程，这是重点。其次，是对双曲线的标准方程进行简单应用。本节课较好的地方体现在：1、恰当的教学方法，突出教学内容中主要的、本质的东西；将课堂的具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。2. 课堂上以学生为学习的主体，课堂以学生的自主探究为主，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成。3、鼓励性评价，对学生每个过程中的表现给予几时的、鼓励性的评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，使得本节课学生在学习过程中兴趣浓厚,学得积极主动，课堂气氛比较活跃。本次课的不足之处：1本节课的知识量比较大，而且大部分是对双曲线的轨迹形成和标准方程的建立，这内容除了培养学生的推导和计算能力外，实际应用并不大。而且在接下来的课堂上发现一部分学生由于课前预习的工作不够落实，导致课堂上简单的复习效果不好，从而影响到学生在第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题。2从课堂的效果来看，这节课，前面的大部分时间，学生都用于熟悉双曲线的由来，对双曲线的实际应用偏少。练习过程中，发现学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力。3. 教学方法上还可以改进，本节课的一个重要数学思想方法是类比，虽然有提到，但仍应强调并提出更多问题让学生思考，或者让学生自主提出问题并解决问题。
