量子力学课件新优秀PPT.ppt

量子力学课件新第一页，本课件共有60页（一）近似方法的重要性（一）近似方法的重要性前前几几章章介介绍绍了了量量子子力力学学的的基基本本理理论论，使使用用这这些些理理论论解解决了一些简单问题。如：决了一些简单问题。如：（1 1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题；（2 2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题；（3 3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题；（4 4）氢原子问题。）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。然然而而，对对于于大大量量的的实实际际物物理理问问题题，Schrodinger Schrodinger 方方程程能能有有精精确确解解的的情情况况很很少少。通通常常体体系系的的 Hamilton Hamilton 量量是是比比较较复复杂杂的的，往往往往不不能能精精确确求求解解。因因此此，在在处处理理复复杂杂的的实实际际问问题题时时，量量子子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。5.0 5.0 引引 言言返回返回第二页，本课件共有60页（二）近似方法的出发点（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。较复杂问题的近似（解析）解。（三）近似解问题分为两类（三）近似解问题分为两类（1 1）体系）体系 Hamilton Hamilton 量不是时间的显函数量不是时间的显函数定态问题定态问题1.1.定态微扰论；定态微扰论；2.2.变分法。变分法。（2 2）体系）体系 Hamilton Hamilton 量显含时间量显含时间状态之间的跃迁问题状态之间的跃迁问题1.1.与时间与时间 t t 有关的微扰理论；有关的微扰理论；2.2.常微扰。常微扰。第三页，本课件共有60页5.1 5.1 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论返回返回（一）微扰体系方程（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（二）态矢和能量的一级修正（三）能量的二阶修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件（五）讨论（五）讨论（六）实例（六）实例第四页，本课件共有60页微微扰扰法法不不是是量量子子力力学学所所特特有有的的方方法法，在在处处理理天天体体运运行行的的天天体体物物理理学学中中，计计算算行行星星运运行行轨轨道道时时，就就是是使使用用微微扰扰方方法法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例例如如，地地球球受受万万有有引引力力作作用用绕绕太太阳阳转转动动，可可是是由由于于其其它它行行星星的的影影响响，其其轨轨道道需需要要予予以以修修正正。在在这这种种情情况况下下，计计算算所所使使用用的的方方法法是是：首首先先把把太太阳阳和和地地球球作作为为二二体体系系统统，求求出出其其轨轨道道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。可可精精确确求求解解的的体体系系叫叫做做未未微微扰扰体体系系，待待求求解解的的体体系系叫叫做做微微扰扰体体系系。假假设设体体系系 Hamilton Hamilton 量量不不显显含含时时间间，而而且且可可分分为为两两部部分：分：（一）微扰体系方程（一）微扰体系方程第五页，本课件共有60页 H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n(0)，本，本征矢征矢|n(0)满足如下本征方程：满足如下本征方程：另一部分另一部分 H H是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于看作加于 H H(0)(0)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton Hamilton 量量 H H 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：当当H H=0 =0 时，时，|n n=|=|n n (0)(0),E,En n=E=E n n (0)(0)；当当 H H 0 0 时时，引引入入微微扰扰，使使体体系系能能级级发发生生移移动动，由由 E E n n (0)(0)E En n，状态由，状态由|n n (0)(0)|n n 。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：其中其中是很小的实数，表征微扰程度的参量。是很小的实数，表征微扰程度的参量。第六页，本课件共有60页因为因为 En、|n 都与微扰有关，可以把它们看成是都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展的函数而将其展开成开成的幂级数：的幂级数：其中其中E E n n(0)(0),E,E n n(1)(1),2 2 E E n n(1)(1),.,.分分别是能量的别是能量的 0 0 级近似，能量的一级修正和二级近似，能量的一级修正和二级修正等；级修正等；而而|n n (0)(0),|,|n n (1)(1),2 2|n n (2)(2),.,.分别是状态矢量分别是状态矢量 0 0 级近似，一级修正和二级修正等。级近似，一级修正和二级修正等。代入代入SchrodingerSchrodinger方程得：方程得：乘开得：乘开得：第七页，本课件共有60页根据等式两边根据等式两边同幂次的系数应该相等，可得到同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式如下一系列方程式:整理后得：整理后得：上上面面的的第第一一式式就就是是H H(0)(0)的的本本征征方方程程，第第二二、三三式式分分别别是是|n n (1)(1)和和|n n (2)(2)所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。第八页，本课件共有60页现在我们借助于未微扰体系的态矢现在我们借助于未微扰体系的态矢|n n(0)(0)和本征能量和本征能量 E E n n (0)(0)来导出扰动后的态矢来导出扰动后的态矢|n n 和能量和能量 E En n 的表达式。的表达式。(1)(1)能量一级修正能量一级修正 E E n n(1)(1)根根据据力力学学量量本本征征矢矢的的完完备备性性假假定定，H H(0)(0)的的本本征征矢矢|n n (0)(0)是是完完备备的的，任任何何态态矢矢量量都都可可按按其其展展开开，|n n (1)(1)也也不不例例外外。因因此此我我们们可以将态矢的一级修正展开为：可以将态矢的一级修正展开为：akn(1)=代回前面的第二式并计及第一式得：代回前面的第二式并计及第一式得：左乘左乘 为为了了求求出出体体系系态态矢矢的的一一级级修修正正，我我们们先先利利用用扰扰动动态态矢矢|n n 的的归归一一化化条条件件证证明明上上式式展展开开系系数中数中a an nn n(1)(1)=0=0（可以取为（可以取为 0 0）。）。基于基于|n n 的归一化条件并考虑上面的展开式，的归一化条件并考虑上面的展开式，证：证：由于由于归一，归一，所以所以 a an nn n (1)(1)的实部为的实部为 0 0。a an nn n (1)(1)是一个纯虚数，故可令是一个纯虚数，故可令 a an nn n (1)(1)=i =i （为实）。为实）。第十一页，本课件共有60页上式结果表明，展开式中，上式结果表明，展开式中，a an nn n(1)(1)|n n(0)(0)项的存在项的存在只不过是使整个态矢量只不过是使整个态矢量|n n 增加了一个相因子，这是无关紧增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取要的。所以我们可取 =0=0，即，即 a an nn n(1)(1)=0=0。这样一来，。这样一来，态矢的一级近似为：态矢的一级近似为：与求态矢的一阶修正一样，将与求态矢的一阶修正一样，将|n(2)按按|n(0)展开：展开：与与|n(1)展开式一起代入展开式一起代入 关关于于 2 的第三式的第三式（三）能量的二阶修正（三）能量的二阶修正第十二页，本课件共有60页左乘态矢左乘态矢 m(0)|1.当当 m=n 时时在推导中使用在推导中使用了微扰矩阵的了微扰矩阵的厄密性厄密性正交归一性正交归一性第十三页，本课件共有60页2.当当 m n 时时能量的二级修正能量的二级修正在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：第十四页，本课件共有60页总结上述，总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：欲欲使使二二式式有有意意义义，则则要要求求二二级级数数收收敛敛。由由于于不不知知道道级级数数的的一一般般项项，无无法法判判断断级级数数的的收收敛敛性性，我我们们只只能能要要求求级级数数已已知知项项中中，后后项项远远小小于于前前项项。由由此我们得到微扰理论适用条件是：此我们得到微扰理论适用条件是：这这就就是是本本节节开开始始时时提提到到的的关关于于 H H 很很小小的的明明确确表表示示式式。当当这这一一条条件件被被满满足足时时，由由上上式式计计算算得得到到的的一一级级修修正正通通常常可给出相当精确的结果。可给出相当精确的结果。（四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件第十五页，本课件共有60页微扰适用条件表明：微扰适用条件表明：（2 2）|E|En n(0)(0)E Ek k(0)(0)|要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。例例如如：在在库库仑仑场场中中，体体系系能能量量（能能级级）与与量量子子数数n n2 2成成反反比比，即即E En n=-Z=-Z2 2 e e2 2/2 /2 2 2 n n2 2 (n=1,2,3,.)(n=1,2,3,.)由由上上式式可可见见，当当n n大大时时，能能级级间间距距变变小小，因因此此微微扰扰理理论论不不适适用用于于计计算算高高能能级级（n n大大）的的修修正正，而而只只适适用用于于计计算算低低能能级级（n n小小）的修正。的修正。（1 1）|H|Hknkn|=|=|要小，即微扰矩阵元要小；要小，即微扰矩阵元要小；第十六页，本课件共有60页表明扰动态矢表明扰动态矢|n n 可以看成是未扰动态矢可以看成是未扰动态矢|k k(0)(0)的线性叠加。的线性叠加。（2 2）展开系数）展开系数 H Hk nk n/(E/(E n n(0)(0)-E-E k k(0)(0)表明第表明第k k个未扰动态矢个未扰动态矢|k k(0)(0)对第对第n n个个扰动态矢扰动态矢|n n 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态接近的态|k k(0)(0)混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。（3 3）由）由E En n=E=E n n(0)(0)+H+Hn nn n可知，扰动后体系能量是由扰动前第可知，扰动后体系能量是由扰动前第n n态能量态能量E E n n(0)(0)加上微扰加上微扰HamiltonHamilton量量 H H在未微扰态在未微扰态|n n(0)(0)中的平均值组成。该值可能是中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。正或负，引起原来能级上移或下移。（4 4）对满足适用条件）对满足适用条件微微扰扰的的问问题题，通通常常只只求求一一阶阶微微扰扰其其精精度度就就足足够够了了。如如果果一一级级能能量量修修正正H Hn n n n =0 0 就就需需要要求求二二级级修修正正，态态矢矢求求到到一一级级修修正正即可。即可。（5 5）在在推推导导微微扰扰理理论论的的过过程程中中，我我们们引引入入了了小小量量，令令：H H =HH(1)(1)只只是是为为了了便便于于将将扰扰动动后后的的定定态态SchrodingerSchrodinger方方程程能能够够按按的的幂幂次次分分出出各各阶阶修修正正态态矢矢所所满满足足的的方方程程，仅仅此此而而已已。一一旦旦得得到到了了各各阶阶方方程程后后，就就可可不不用用再再明明显显写写出出，把把H(1)理理解解为为H 即即可，可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。（1）在一阶近似下：在一阶近似下：（五）讨论（五）讨论第十七页，本课件共有60页例例1.1.一一电电荷荷为为 e e 的的线线性性谐谐振振子子，受受恒恒定定弱弱电电场场作作用用。电电场场沿沿 x x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：解：（1）电谐振子）电谐振子Hamilton 量量将将 Hamilton Hamilton 量分成量分成H H0 0+H+H 两部两部分，在弱电场下，上式最后一项分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。很小，可看成微扰。（2 2）写出）写出 H H0 0 的本征值和本征函数的本征值和本征函数 E E(0)(0),n n(0)(0)（3）计算）计算 En(1)上式积分等于上式积分等于 0 0 是因为被积函数为奇函数所致。是因为被积函数为奇函数所致。（六）实例（六）实例第十八页，本课件共有60页（4 4）计算能量）计算能量二级修正二级修正欲计算能量二级修正，欲计算能量二级修正，首先应计算首先应计算 H Hk n k n 矩阵元。矩阵元。利用线性谐振子本征函数的递推公式：利用线性谐振子本征函数的递推公式：对谐振子有；对谐振子有；E En n(0)(0)-E-En-1n-1(0)(0)=,E En n(0)(0)-E-En+1n+1(0)(0)=-=-，代入代入第十九页，本课件共有60页由此式可知，能级移动与由此式可知，能级移动与 n n 无关，即无关，即与扰动前振子的状态无关。与扰动前振子的状态无关。（6 6）讨论：）讨论：1.1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元第二十页，本课件共有60页计算二级修正：计算二级修正：代入能量二级修正公式：代入能量二级修正公式：2.2.电谐振子的精确解电谐振子的精确解实际上这个问题实际上这个问题是可以精确求解是可以精确求解的，只要我们将的，只要我们将体系体系HamiltonHamilton量量作以下整理：作以下整理：第二十一页，本课件共有60页其其中中x x =x x e/e/2 2 ，可可见见，体体系系仍仍是是一一个个线线性性谐谐振振子子。它它的的每每一一个个能能级级都都比比无无电电场场时时的的线线性性谐谐振振子子的的相相应应能能级级低低ee2 22 2 /222 2 ，而而平平衡衡点点向向右右移移动动了了e/e/2 2 距离。距离。由由于于势势场场不不再再具具有有空空间间反反射射对对称称性性，所所以以波波函函数数没没有有确确定定的的宇宇称称。这这一一点点可可以以从从下下式式扰扰动动后后的的波波函函数数n n已变成已变成n n(0)(0),n+1n+1(0)(0),n-1n-1(0)(0)的叠加看出。的叠加看出。例例2.设设Hamilton量的矩量的矩阵形式为：阵形式为：（1 1）设）设c 1c 1，应用微扰论求，应用微扰论求H H本征值到二级近似；本征值到二级近似；（2 2）求）求H H 的精确本征值；的精确本征值；（3 3）在怎样条件下，上面二结果一致。）在怎样条件下，上面二结果一致。第二十二页，本课件共有60页解：解：（1 1）c 1c 1，可取，可取 0 0 级和微扰级和微扰 Hamilton Hamilton 量分别为：量分别为：H H0 0 是是对对角角矩矩阵阵，是是Hamilton Hamilton H H0 0在在自自身身表表象象中中的的形形式式。所所以以能能量量的的 0 0 级级近近似为：似为：E E1 1(0)(0)=1 E=1 E2 2(0)(0)=3 E=3 E3 3(0)(0)=-=-2 2由非简并微扰公式由非简并微扰公式得能量一级修正：得能量一级修正：能量二级修正为：能量二级修正为：第二十三页，本课件共有60页准确到二级近准确到二级近似的能量本征似的能量本征值为：值为：设设 H H 的本征值是的本征值是 E E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：解得：解得：(3)将准确解按将准确解按 c(,|n 2,.,|n k|n1,|n 2,.,|n k n=满足本征方程：满足本征方程：于于是是我我们们就就不不知知道道在在k k个个本本征征函函数数中中究究竟竟应应取取哪哪一一个个作作为为微微扰扰波波函函数数的的 0 0 级级近近似似。所所以以在在简简并并情情况况下下，首首先先要要解解决决的的问问题题是是如如何何选选取取 0 0 级级近近似似波波函函数数的的问问题题，然然后后才才是是求求能能量量和和波波函函数数的的各各级修正。级修正。0 0 级近似波函数肯定应从这级近似波函数肯定应从这k k个个|n|n 中挑选，而它应满足中挑选，而它应满足上节按上节按 幂次分类得到的方程：幂次分类得到的方程：共轭方程共轭方程（一）简并微扰理论（一）简并微扰理论第二十六页，本课件共有60页根据这个条件，我们选取根据这个条件，我们选取 0 0 级近似波函数级近似波函数|n n(0)(0)的最好方法是将其表的最好方法是将其表示成示成 k k 个个|n|n 的线性组合，因为反正的线性组合，因为反正 0 0 级近似波函数要在级近似波函数要在|n n (=1,2,.,k)=1,2,.,k)中挑选。中挑选。|n(0)已是正交归一化已是正交归一化系数系数 c c 由由 一一次幂方次幂方程定出程定出左乘左乘 n|得：得：得：得：上上式式是是以以展展开开系系数数c c 为为未未知知数数的的齐齐次次线线性性方方程程组组，它它有有不不含含为为零零解解的的条条件件是是系数行列式为零，即系数行列式为零，即第二十七页，本课件共有60页解此久期方程解此久期方程 可可得得能能量量的的一一级级修修正正E En n(1)(1)的的k k个个根根：E En n(1)(1),=1,1,2,2,.,.,k.k.因因为为 E En n =E=En n(0)(0)+E+E(1)(1)n n 所以，所以，若这若这k k个根都不相等，那末一级微扰就可以将个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k k 度简并完全消除；度简并完全消除；若若E En n (1)(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。为为了了确确定定能能量量 E En n 所所对对应应的的0 0级级近近似似波波函函数数，可可以以把把 E E(1)(1)n n 之之值值代代入入线线性性方方程程组组从从而而解解得得一一组组c c (=1,2,.,k.)1,2,.,k.)系系数数，将将该该组组系数代回展开式就能够得到相应的系数代回展开式就能够得到相应的 0 0 级近似波函数。级近似波函数。为为了了能能表表示示出出 c c 是是对对应应与与第第 个个能能量量一一级级修修正正 E En n (1)(1)的的一一组组系系数数，我我们在其上加上角标们在其上加上角标 而改写成而改写成 c c 。这样一来，。这样一来，线性方程组线性方程组就改写成：就改写成：第二十八页，本课件共有60页例例1.1.氢原子一级氢原子一级 Stark Stark 效应效应（1 1）Stark Stark 效应效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。效应。我我们们知知道道电电子子在在氢氢原原子子中中受受到到球球对对称称库库仑仑场场作作用用，造造成成第第n n 个个能能级级有有 n n2 2 度度简简并并。但但是是当当加加入入外外电电场场后后，由由于于势势场场对对称称性性受受到到破破坏坏，能能级级发发生生分分裂裂，简简并并部部分分被被消消除除。Stark Stark 效效应应可可以以用用简并情况下的微扰理论予以解释。简并情况下的微扰理论予以解释。（2 2）外电场下氢原子）外电场下氢原子 Hamilton Hamilton 量量取取外外电电场场沿沿 z z 正正向向。通通常常外外电电场场强强度度比比原原子子内内部部电电场场强强度度小小得得多多，例例如如,强电场强电场 10107 7 伏伏/米，米，而而 原子内部电场原子内部电场 10101111 伏伏/米，二者相差米，二者相差 4 4个量级。个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。（二）实例（二）实例第二十九页，本课件共有60页（3 3）H H0 0 的本征值和本征函数的本征值和本征函数下面我们只讨论下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度的情况，这时简并度 n2=4。属于该能级的属于该能级的4个简并态是：个简并态是：第三十页，本课件共有60页（4 4）求）求 H H 在各态中的矩阵元在各态中的矩阵元由简并微扰理论知由简并微扰理论知,求解久期方程求解久期方程,须先计算出微扰须先计算出微扰Hamilton Hamilton 量量 H H 在以上各态的矩阵元。在以上各态的矩阵元。我们碰到角积分我们碰到角积分 Y 需要利用如下公式：需要利用如下公式：于是于是:第三十一页，本课件共有60页欲使上式不为欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：要求量子数必须满足如下条件：仅当仅当 =1,m=0 时，时，H 的矩阵元才的矩阵元才不为不为 0。因此。因此矩阵元中只有矩阵元中只有H12,H21不等于不等于0。因为因为所以所以第三十二页，本课件共有60页（5 5）能量一级修正）能量一级修正将将 H H 的矩阵元的矩阵元代入久期方程：代入久期方程：解得解得 4 4 个根：个根：由由此此可可见见，在在外外场场作作用用下下，原原来来 4 4 度度简简并并的的能能级级 E E2 2(0)(0)在在一一级级修修正正下下，被被分分裂裂成成 3 3 条条能能级级，简简并并部部分分消消除除。当当跃跃迁迁发发生生时时，原原来来的的一一条条谱谱线线就就变变成成了了 3 3 条条谱谱线线。其其频频率率一一条条与与原原来来相相同同，另另外外两两条条中一条稍高于一条稍低于原来频率。中一条稍高于一条稍低于原来频率。（6 6）求）求 0 0 级近似波函数级近似波函数分别将分别将 E2(1)的的 4 个值代个值代入方程组：入方程组：得得 四四 元一次线性方程组元一次线性方程组第三十三页，本课件共有60页E2(1)=E21(1)=3ea0 代代入上面方程，得：入上面方程，得：所以相应于能级所以相应于能级 E2(0)+3ea0 的的 0 级近似波函数是：级近似波函数是：E2(1)=E22(1)=-3ea0 代代入上面方程，得：入上面方程，得：所以相应于能级所以相应于能级 E(0)2-3ea0 的的 0 级近似波函数是：级近似波函数是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代，代入上面方程，得：入上面方程，得：因此相应与因此相应与 E2(0)的的 0 级近似波函数可以按如下方式构成：级近似波函数可以按如下方式构成：第三十四页，本课件共有60页我我们们不不妨妨仍仍取取原原来来的的0 0级级波波函函数数，即令：即令：（7 7）讨论）讨论上述结果表明，若氢原子处于上述结果表明，若氢原子处于 0 0 级近似态级近似态1 1(0)(0),2 2(0)(0),3 3(0)(0),4 4(0)(0),那那末末，氢氢原原子子就就好好象象具具有有了了大大小小为为 3ea3ea0 0 的的永永久久电电偶偶极极矩矩一一般般。对对于于处处在在1 1(0)(0),2 2(0)(0)态态的的氢氢原原子子，其其电电矩矩取取向向分分别别与与电电场场方方向向平平行行和和反反平平行行；而而对对于于处处在在3 3(0)(0),4 4(0)(0)态态的的氢氢原原子子，其其电电矩矩取向分别与电场方向垂直。取向分别与电场方向垂直。第三十五页，本课件共有60页例例2.2.有一粒子，其有一粒子，其 Hamilton Hamilton 量的矩阵形式为：量的矩阵形式为：H=HH=H0 0+H+H，其中其中求能级的一级近似和波函数的求能级的一级近似和波函数的0级近似。级近似。解：解：H H0 0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。E E(1)(1)(E(E(1)(1)2 2-2 2 =0 =0解得：解得：E(1)=0,.记为：记为：E E1 1(1)(1)=-=-E E2 2(1)(1)=0=0E3(1)=+故能故能级一级一级近级近似：似：简并完全消除简并完全消除(1)(1)求本征能量求本征能量 由久期方程由久期方程|H|H-E-E(1)(1)I|=0 I|=0 得：得：第三十六页，本课件共有60页(2)求解求解 0 级近似波函数级近似波函数将将E1(1)=代入方程，得：代入方程，得：由归一化条件：由归一化条件：则则将将E2(1)=0 代入方程，得：代入方程，得：则则由归一化条件：由归一化条件：第三十七页，本课件共有60页（1 1）新）新 0 0 级波函数的正交归一性级波函数的正交归一性1.1.正交性正交性取复共厄取复共厄改记求和指标改记求和指标，（三）讨论（三）讨论第三十八页，本课件共有60页对对应应于于E En n =E En n(0)(0)+E En n(1)(1)和和 E En n =E En n(0)(0)+E En n(1)(1)的的 0 0 级级近近似似本本征征函函数数分别为：分别为：由由(3)式式上式表明，新上式表明，新 0 级近似波函数满足正交条件。级近似波函数满足正交条件。2.2.归一性归一性对于同一能量，即角标对于同一能量，即角标 =，则上式变为：，则上式变为：Eq.(3)Eq.(3)和和Eq.(4)Eq.(4)合合记之为：记之为：由于新由于新0 0 级近级近似波函似波函数应满数应满足归一足归一化条件，化条件，第三十九页，本课件共有60页（2 2）在新）在新 0 0 级近似波函数级近似波函数|n n(0)(0)为基矢的为基矢的 k k 维子空维子空间中，间中，H H从从而而 H H的矩阵形式是对角化的。的矩阵形式是对角化的。证：证：上上式式最最后后一一步步利利用用了了Eq.(5)Eq.(5)关关系系式式。所所以以 H H在在新新0 0级级近近似似波波函函数数为基矢的表象中是对角化的。为基矢的表象中是对角化的。证毕证毕 因因为为 H H0 0在在自自身身表表象象中中是是对对角角化化的的，所所以以在在新新0 0级级近近似似波波函函数数为为基基矢矢的的表表象象中中也也是是对对角角化化的的。当当 =时时，上式给出如下关系式：上式给出如下关系式：也也就就是是说说，能能量量一一级级修修正正是是 H H在在新新 0 0 级级波波函函数数中中的的平平均均值值。这这一一结结论论也也是是预预料料之之中中的的事事。求求解解简简并并微微扰扰问问题题，从从本本质质上上讲讲就就是是寻寻找找一一么么正正变变换换矩矩阵阵 S S，使使 H H从从而而 H H 对对角角化化。求求解解久久期期方方程程和和线线性性方方程程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。第四十页，本课件共有60页例如：前面讲到的例例如：前面讲到的例 2 2应用简并微扰论解得的新应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是：级近似波函数是：这这是是新新 0 0 级级近近似似波波函函数数在在原原简简并并波波函函数数i i i i =1,2,3.1,2,3.为为基基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即矢所张开的子空间中的矩阵表示，即我们求解我们求解就就是是为为了了寻寻找找一一个个么么正正变变换换 S S，使使原原来来的的 H H=H H0 0 +H H 在在以以 i i 为基矢的表象中的表示变到为基矢的表象中的表示变到 (0)(0)为基矢的表象中，从而使为基矢的表象中，从而使H H 对角化。对角化。第四十一页，本课件共有60页根据表象理论，若根据表象理论，若(0)(0)在以在以i i为基矢的表象中的形式由下式给出，为基矢的表象中的形式由下式给出，则由则由表象到表象到(0)(0)表象的么正变换矩阵为：表象的么正变换矩阵为：其逆矩阵其逆矩阵H H从从表象变到表象变到(0)(0)表象由下式给出：表象由下式给出：第四十二页，本课件共有60页5.4 5.4 变分法变分法返回返回（一）能量的平均值（一）能量的平均值（二）（二）与与 E E0 0 的偏差和的偏差和试探波函数的关系试探波函数的关系（三）如何选取试探波函数（三）如何选取试探波函数（四）变分方法（四）变分方法（五）实例（五）实例微扰法求解问题的条件是体系的微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton Hamilton 量量 H H可分为两部分可分为两部分其其中中 H H0 0 的的本本征征值值本本征征函函数数已已知知有有精精确确解解析析解解，而而 H H很很小小。如如果果上上面面条条件件不不满满足足，微微扰扰法法就就不不适适用用。这这时我们可以采用另一种近似方法时我们可以采用另一种近似方法变分法。变分法。第四十三页，本课件共有60页设体系的设体系的 Hamilton Hamilton 量量 H H 的本征值由小到大顺序排列为：的本征值由小到大顺序排列为：E E0 0 E E1 1 E E2 2 .E.En n .|1 1|2 2.|.|n n.上式第二行是与本征值相应的本征函数，上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中其中 E E0 0 、|0 0 分别为基态能量和基态波函数。分别为基态能量和基态波函数。（一）能量的平均值（一）能量的平均值为为简简单单计计，假假定定H H本本征征值值是是分分立立的的，本本征征函函数数组组成成正正交交归归一一完完备系，即备系，即第四十四页，本课件共有60页设设|是是任任一一归归一一化化的的波波函函数数，在在此此态态中中体体系系能能量平均值：量平均值：证：证：则则这这个个不不等等式式表表明明，用用任任意意波波函函数数|计计算算出出的的平平均均值值 总总是是大大于于（或或等等于于）体体系系基基态态的的能能量量，而而仅仅当当该该波波函函数数等等于于体体系系基基态态波波函函数数时时，平均值平均值 才等于基态能量。才等于基态能量。若若|未归一化，则未归一化，则插入插入单位单位算符算符第四十五页，本课件共有60页基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；|(1),|(2),.,|(k),.|(1),|(2),.,|(k),.称为称为试探波函数，来计算试探波函数，来计算其其中中最最小小的的一一个个就就最最接接近近基基态态能量能量 E E0 0，即，即如如果果选选取取的的试试探探波波函函数数越越接接近近基基态态波波函函数数，则则 H H 的的平平均均值值就就越越接接近近基基态态能能量量 E E0 0。这这就就为为我我们们提提供供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。了一个计算基态能量本征值近似值的方法。使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1 1）试试探探波波函函数数|与与|0 0 之之间间的的偏偏差差和和平平均均值值 与与 E E0 0 之间偏差的关系；之间偏差的关系；（2 2）如何寻找试探波函数。）如何寻找试探波函数。第四十六页，本课件共有60页由由上上面面分分析析可可以以看看出出，试试探探波波函函数数越越接接近近基基态态本本征征函函数数，就就越越接接近近基基态态能能量量 E E0 0 .那那末末，由由于于试试探探波波函函数数选选取取上上的的偏差偏差|-|-|0 0 会引起会引起 -E-E0 0 的多大偏差呢？的多大偏差呢？为为了了讨讨论论这这个个问问题题，我我们们假假定定已已归归一一化化的的试试探探波波函函数数为：为：其中其中是一常数，是一常数，|是任一波函数，满足是任一波函数，满足|0 0 所满足的同样的边界条件。所满足的同样的边界条件。显显然然|有有各各种种各各样样的的选选取取方方式式，通通过过引引入入|就就可可构构造造出出在在|0 0 附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：（二）（二）与与 E E0 0 的偏差的偏差 和试探波函数的关系和试探波函数的关系第四十七页，本课件共有60页 结结论论 上上述述讨讨论论表表明明，对对本本征征函函数数附附近近的的一一个个任任意意小小的的变变化化，本本征征能能量量是是稳稳定定的的。因因此此，我我们们选选取取试试探探波波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。这也就是说，这也就是说，是小量，是小量，|与与|0 0 很接近，则很接近，则与与 E E0 0更接更接近。当且仅当近。当且仅当|=|=|0 0 时，才有时，才有=E=E0 0可可见见，若若 是是一一小小量量，即即波波函函数数偏偏差差|-|0 0 =|是是一一阶小量，那末阶小量，那末是二阶小量。是二阶小量。第四十八页，本课件共有60页试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的直觉去猜测。则，通常是根据物理上的直觉去猜测。（1 1）根据体系）根据体系 Hamilton Hamilton 量的形式和对称性推测量的形式和对称性推测 合理的试探波合理的试探波函数；函数；（2 2）试探波函数要满足问题的边界条件；）试探波函数要满足问题的边界条件；（3 3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或 多个待多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；调整的参数，这些参数称为变分参数；（4 4）若体系）若体系 Hamilton Hamilton 量可以分成两部分量可以分成两部分 H=HH=H0 0+H+H1 1，而而 H H0 0 的本征函数已知有解析解，则该解析解的本征函数已知有解析解，则该解析解可可作作为为体系的试探波函数。体系的试探波函数。（三）如何选取试探波函数（三）如何选取试探波函数第四十九页，本课件共有60页例：一维简谐振子试探波函数例：一维简谐振子试探波函数一维简谐振子一维简谐振子Hamilton Hamilton 量：量：其本征函数是：其本征函数是：下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法方法 I：试探波函数可写成：试探波函数可写成：显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。1.1.因为谐振子势是关于因为谐振子势是关于 x=0 x=0 点对称的，我们的点对称的，我们的试探波函数也是关于试探波函数也是关于 x=0 x=0 点对称的；点对称的；2.2.满足边界条件，即当满足边界条件，即当|x|x|时，时，0 0；3.3.含有一个待定的含有一个待定的参数。参数。第五十页，本课件共有60页方法方法 II:亦可选取如下试探波函数：亦可选取如下试探波函数：A A 归归一一化化常常数数，是是变变分分参参量量。这这个个试试探探波波函函数数比比第第一一个好，因为个好，因为1.1.(x)(x)是光滑连续的函数；是光滑连续的函数；2.2.关于关于 x=0 x=0 点对称，满足边界条件点对称，满足边界条件 即即当当|x|x|时，时，0 0；3.3.(x)(x)是是 高高 斯斯 函函 数数，高高 斯斯 函函 数数 有有 很很 好好 的的 性性 质质，可作解析积分，且有积分表可查。可作解析积分，且有积分表可查。第五十一页，本课件共有60页有了试探波函数后，我们就可以计算有了试探波函数后