工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析.docx

第三章例1 设A为n阶方阵，若存在正整数k和向量，使，且.证明：向量组线性无关.证明：（利用线性无关定义证明）假设有常数，使得 （1）将（1）两边左乘，可得由已知条件，可知上式从第二项全等于零，所以，又由条件，所以.类似地，将（1）两边左乘，可得；类似地可证得，所以向量组线性无关. 例2 设向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？证明你的结论;（2）能否由线性表示？证明你的结论.解：（1）能由线性表示.证明：由于向量组线性无关，那么其部分组也线性无关。又由已知条件有线性相关，故能由线性表示.(2) 不能由线性表示.证明:假设能由线性表示,即存在不全为零的常数,使得由(1)的结论,我们可以设,代入上式,可得即可由线性表示,从而线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 不能由线性表示.例3 设两向量组已知两向量组的秩相等,且能由线性表示,求a,b.解:令由于矩阵A已知，可以先对A进行初等变换求秩.因此,且为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以,从而,即所以.又由条件能由线性表示而为(1)的一个极大无关组.所以能由线性表示,则,即,解得,所以有.例4 求向量组,的秩和一个极大无关组.解:对以为列构成的矩阵A,做初等变换当a=2且c=3时, ,B中第1、2、4列线性无关，此时向量组的秩为3，是一个极大无关组；当时，B中第1、2、3、4列线性无关，此时向量组的秩为4，是一个极大无关组；当，B中第1、2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4，是一个极大无关组.例5设向量组（1）的秩为3；向量组（2）的秩为4，证明:向量组的秩为4.证明：（要证明的秩为4，可通过证明线性无关来得到想要的结论）由向量组（2）的秩为4，可知线性无关，又由向量组（1）的秩为3，可知线性相关，从而可由线性表示，即存在不全为零的常数，使得，不妨设，将代入，可得由于线性无关，所以故线性无关，从而该向量组的秩为4.例6 设向量组的秩为r，证明向量组的秩为r证明:(由推论等价的向量组有相同的秩，此题只需证明两个向量组等价即可)由已知可由线性表示，且有下式成立从而，于是有，即也可由，故向量组与向量组等价，从而他们的秩相等，从而向量组的秩为r.