九年级数学下册第二十八章锐角三角函数教案.doc

第二十八章锐角三角函数直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境“汽车爬坡”引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概念教材中通过学生熟悉的一副三角板引出对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值第二节主要是应用直角三角形知识解决一些简单的实际问题带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数让学生掌握30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度本章教学约需5课时，具体分配如下：281锐角三角函数3课时282解直角三角形及其应用2课时281锐角三角函数第1课时锐角三角函数知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比过程与方法通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用情感、态度与价值观1通过学习培养学生的合作意识2通过探究提高学生学习数学的兴趣重点锐角三角函数的概念难点锐角三角函数概念的理解一、问题引入问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了你想知道小明是怎样算出的吗？师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法下面我们一起来学习锐角三角函数二、新课教授问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为在RtABC中，C90°，A30°，BC35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB2BC70 m，即需要准备70 m长的水管思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？学生按与上面相似的过程，自主解决结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.思考2：如图，任意画一个RtABC，使C90°，A45°，计算A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在RtABC中，C90°，由于A45°，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2AC 2BC 22BC 2，ABBC，.结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.从上面这两个问题的结论中可知，在一个RtABC中，C90°，当A30°时，A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值当A45°时，A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值这就引发我们产生这样一个疑问：当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画RtABC和RtABC，使得CC90°，AA，那么与有什么关系？你能解释一下吗？分析：由于CC90°，AA，所以RtABCRtABC，则.结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A的对边与斜边的比都是一个固定值正弦的概念：在RtABC中，C90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA.例如，当A30°时，sinAsin30°；当A45°时，sinAsin45°.注意：1sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体2正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sinDEF.3sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位提问：B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？sinB.思考3：一般地，当A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：如图，在RtABC与RtABC中，CC90°，AA，那么与有什么关系？教师用类比的方法引导学生思考、讨论结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A的邻边与斜边的比是一个固定值余弦的概念：在RtABC中，C90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即cosA.思考4：当A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念正切的概念：如图，在RtABC中，C90°，a，b分别是A的对边和邻边我们把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数三、举例应用，巩固新知例1如图，在RtABC中，C90°，求sinA和sinB的值解：如图(1)，在RtABC中，由勾股定理得AB5.因此sinA，sinB.如图(2)，在RtABC中，由勾股定理得AC12.因此sinA，sinB.例2如图，在RtABC中，C90°，AB10，BC6，求sinA，cosA，tanA的值解：由勾股定理得AC8，因此sinA，cosA，tanA.四、练习新知为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角的正切值是()A.B4C.D.答案C五、课堂小结锐角三角函数概念及表示方法：sinA，cosA，tanA.本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与第2课时30°，45°，60°角的三角函数值知识与技能熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数过程与方法1培养学生把实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、分析、概括的能力情感、态度与价值观经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度重点30°，45°，60°角的三角函数值难点与特殊角的三角函数值有关的计算一、复习巩固如图，在RtABC中，C90°.(1)a，b，c三者之间的关系是_；(2)sinA_，cosA_，tanA_；sinB_，cosB_，tanB_(3)若A30°，则_二、共同探究，获取新知(1)探索30°，45°，60°角的三角函数值师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°，60°，45°，45°.师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流生：sin30°.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为a，所以sin30°.师：cos30°等于多少？tan30°呢？生：cos30°.tan30°.师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角45°，60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin60°，cos60°，tan60°.师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值含45°角的直角三角形是等腰直角三角形如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得sin45°，cos45°，tan45°1.教师多媒体课件出示：三角函数角度sincostan30°45°160°师：这个表格中的30°，45°，60°角的三角函数值需要熟记另一方面，要能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大第二列，余弦值随角度的增大而减小师：第三列呢？生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°1比较特殊随着角度的增大，正切值也在增大(2)进一步探究锐角的三角函数值如图，在RtABC中，C90°.sinA，cosA，sinB，cosB，sinAcosB，cosAsinB.AB90°，B90°A，即sinAcosBcos(90°A)，cosAsinBsin(90°A)任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值三、例题讲解，巩固新知例1计算：(1)sin30°cos45°；(2)sin260°cos260°tan45°.解：(1)sin30°cos45°；(2)sin260°cos260°tan45°()2()2110.例2(1)如图(1)，在RtABC中，C90°，AB，BC，求A的度数；(2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AOOB，求的度数解：(1)在图(1)中，sinA，A45°.(2)在图(2)中，tan，60°.四、随堂练习1计算4sin60°3tan30°的值为()A.B2C3D0答案A2计算sin245°cos245°的值为()A2 B1 C0 D3答案B五、课堂小结1探索30°，45°，60°角的三角函数值sin30° ，sin45°，sin60°；cos30° ，cos45°，cos60°；tan30° ，tan45°1，tan60°.2能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算3能根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课件制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生第3课时一般锐角的三角函数值知识与技能1会使用计算器求锐角的三角函数值2会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角过程与方法在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法情感、态度与价值观经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序重点利用计算器求锐角三角函数的值难点计算器的按键顺序一、复习回顾教师多媒体课件出示：1.三角函数角度sincostan30°45°60°2.已知2sin(90°)0，求锐角的度数二、讲解新知师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin18°的值生：作一个有一个锐角为18°的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值学生作图、测量、计算生：约等于0.309 016 994.师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用今天，三角函数表又被带有、和功能键的计算器所取代教师拿出计算器师：我们学习这种计算器的使用方法请同学们拿出自己的计算器学生拿出自己的计算器师：先按键，再按有关三角函数的键教师板书：1求已知锐角的三角函数值例1求sin40°的值(精确到0.000 1)师：比如我们求sin40°的值，依次按、这几个键师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？生：0.642 8.例2求cos54°38的值(精确到0.000 1)师：我们依次按、这几个键学生操作后回答2由锐角三角函数值求锐角例3已知sinA0.508 6，求锐角A.师：你有没有注意到计算器上有个键？生：注意到了师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用我们依次按、.师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键和度分秒键.学生操作后回答结果三、巩固提高1sin0.231 6，cos0.231 6，则锐角与锐角之间的关系是()AB180°C90° D90°答案C2使用计算器计算：sin52°18_(精确到0.001)答案0.7913已知cos0.741 6，利用计算器求出的值约为_(精确到1°)答案42°四、课堂小结1用计算器求一个锐角的三角函数值2学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的sin18°的值让学生计算在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显示了其较强的计算能力282解直角三角形及其应用282.1解直角三角形知识与技能在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感、态度与价值观在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心重点直角三角形的解法难点灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？学生叙述勾股定理的内容师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？生：两锐角互余师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半二、共同探究，获取新知1概念师：由sinA，你能得到哪些公式？生甲：ac·sinA.生乙：c.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形2练习教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形(1)(2)师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1：根据cos60°，得到AB，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边的长，再用勾股定理求出BC边的长，B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到生2：先用直角三角形两锐角互余得到B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，再由sin60°得到BCAB·sin60°，从而得到BC边的长师：同学们说出的这几种做法都是对的下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形学生思考，计算三、例题讲解例1如图，在RtABC中，C90°，AC，BC，解这个直角三角形解：tanA，A60°，B90°A90°60°30°，AB2AC2.例2如图，在RtABC中，C90°，B35°，b20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)解：A90°B90°35°55°.tanB，a28.6.sinB，c34.9.四、巩固练习1在ABC中，C90°，下列各式中不正确的是()Aba·tanBBab·cosACc Dc答案B2在RtABC中，C90°，c10，b5，则A_，SABC_答案30°五、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，老师解答本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心282.2应用举例知识与技能使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题过程与方法让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途情感、态度与价值观使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义重点将实际问题转化为解直角三角形问题难点将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解一、新知讲授1讲解师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形教师在黑板上作图师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪2练习新知教师多媒体课件出示：如图，CDEB90°，FBAC，从A看D的仰角是_；从B看D的俯角是_；从A看B的_角是_；从D看B的_角是_；从B看A的_角是_答案：从A看D的仰角是2，从B看D的俯角是FBD，从A看B的仰角是BAC，从D看B的仰角是3，从B看A的俯角是1.二、例题讲解例12012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离为计算的长需先求出POQ(即)的度数解：设POQ，在图中，FQ是O的切线，FOQ是直角三角形cos0.9491.18.36°，的长为×6 400×6 4002 051(km)由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051 km.例2热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)解：如图，30°，60°，AD120.tan，tan，BDAD·tan120×tan30°120×40，CDAD·tan120×tan60°120×120.BCBDCD40120160277(m)因此，这栋楼高约为277 m.例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)解：如图，在RtAPC中，PCPA·cos(90°65°)80×cos25°72.505.在RtBPC中，B34°，sinB，PB130(n mile)因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.三、巩固提高1如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是()A250 mB250 mC. m D250 m答案A2王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，已知水平距离BD10 m，楼高AB24 m，则树CD的高度为()A(24)m B(2410) mC(245) m D9 m答案B四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入