2011考研数学二真题及答案解析.pdf

2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 (1 8 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上) (1) 已知当0 x时，3sinsin3fxxx与kcx是等价无穷小，则( ) (A) 1,4kc (B) 1,4kc (C) 3,4kc (D) 3,4kc (2) 已知fx在0 x处可导，且00f，则23302limxx fxfxx=( ) (A) 20f (B) 0f (C) 0f (D) 0(3) 函数( )ln (1)(2)(3)f xxxx的驻点个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(4) 微分方程2(0)xxyyee的特解形式为( ) (A) ()xxa ee(B) ()xxax ee(C) ()xxx aebe (D) 2()xxxaebe(5) 设函数( ),( )f xg x均有二阶连续导数，满足(0)0, (0)0,fg且(0)(0)0fg，则函数( ) ( )zf x g y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.fg (B) (0)0,(0)0.fg(C) (0)0,(0)0.fg (D) (0)0,(0)0.fg(6) 设40ln sinIxdx，40ln cotJxdx，40ln cosKxdx，则,IJ K的大小关系是 ( ) (A) IJK (B) IKJ (C) JIK (D) KJI(7) 设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A( ) (A) 12PP (B) 112PP (C) 21P P (D) 121P P(8) 设1234(,)A是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1 ,0,1,0)T是方程组0Ax的一个基础解系，则*0A x的基础解系可为( ) (A) 13, (B) 12, (C) 123, (D) 234,二、填空题 (9 14 小题，每小题4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上) (9) 1012lim()2xxx(10) 微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解为(11) 曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s(12) 设函数,0,( )0,0,0,xexf xx则( )xf x dx(13) 设 平 面 区 域D由 直 线,yx圆222xyy及y轴 围 成 ， 则 二 重 积 分Dxyd(14) 二次型222123123121 323(,)3222f x xxxxxx xx xx x，则f的正惯性指数为三、解答题 (15 23 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15) (本题满分10 分 ) 已知函数20ln(1)( )xatdtF xx，设0lim( )lim( )0,xxF xF x试求a的取值范围 (16) (本题满分11 分 ) 设 函 数( )yy x由 参 数 方 程3311,3311,33xttytt确 定 ， 求( )yy x的 极 值 和 曲 线( )yy x的凹凸区间及拐点(17) (本题满分9 分) 设函数(,( )zf xy yg x，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数( )g x可导且在1x处取得极值(1)1g，求211xyzx y (18) (本题满分10 分 ) 1211112Oyx222xyy221xy设函数( )y x具有二阶导数， 且曲线:( )lyy x与直线yx相切于原点， 记为曲线l在点( ,)x y处切线的倾角，若,ddydxdx求( )y x的表达式(19) (本题满分10 分 ) (I) 证明：对任意的正整数n，都有111ln(1)1nnn成立(II)设111ln(1,2,)2nan nn，证明数列na收敛(20) (本题满分11 分 ) 一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕y轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面 ， 该 曲 线 由2212 ()2xyy y与2211()2xyy连接而成的(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？( 长度单位：m，重力加速度为2/gm s，水的密度为3310/kg m) 图(21) (本题满分11 分 ) 已知函数( , )f x y具有二阶连续偏导数，且(1, )0fy，( ,1)0f x，( , )Df x y dxdy a，其中( , )|01,01Dx yxy，计算二重积分( , )xyDIxyfx y dxdy(22) (本题满分11 分 ) 设向量组123(1, 0,1),(0,1,1),(1, 3, 5)TTT，不能由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,)Ta线性表示(I) 求a的值；(II) 将123,由123,线性表示(23) (本题满分11 分 ) A为三阶实对称矩阵，A的秩为 2，即2rA，且111100001111A(I) 求A的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题 (1 8 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上) (1) 【答案】 (C) 【解析】因为03sinsin3limkxxxcx03sinsincos2cos sin 2limkxxxxxxcx20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx304lim1kxcx所以4,3ck，故答案选 (C) (2)【答案】 (B) 【解析】23302limxx fxfxx223300220limxx fxx ffxfx33000lim2xfxffxfxx0200fff故答案选 (B) (3) 【答案】 (C) 【解析】( )ln1ln2ln3f xxxx111( )123fxxxx231211(1)(2)(3)xxxxx令( )0fx，得1,2633x，故( )f x有两个不同的驻点(4) 【答案】 (C) 【解析】 微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r，解得特征根12rr ,所以非齐次方程2xyye有特解1xyx a e, 非齐次方程2xyye有特解2xyx b e，故 由 微 分 方 程 解 的 结 构 可 知 非 齐 次 方 程2xxyyee可 设 特 解().xxyx aebe(5) 【答案】 (A) 【解析】由题意有( ) ( )zfx g yx，( )( )zf x gyy所以，0,0(0) (0)0zfgx，0,0(0)(0)0zfgy，即0,0点是可能的极值点又因为22( ) ( )zfx g yx，2( )( )zfx g yx y，22( ) ( )zgy f xy，所以，2(0,0)2|(0)(0)zAfgx，2(0,0)|(0)(0)0zBfgx y，2(0,0)2|(0)(0)zCfgy，根据题意由0,0为极小值点，可得20,ACBA C且(0)(0)0Afg，所以有(0)(0)0.Cfg由题意(0)0, (0)0fg，所以(0)0,(0)0fg，故选 (A) (6) 【答案】 (B) 【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，又因ln x是单调递增的函数，所以ln sinln cosln cotxxx故正确答案为 (B) (7) 【答案】 (D) 【解析】由于将A的第 2 列加到第1 列得矩阵B，故100110001AB，即1APB，11ABP由于交换B的第 2 行和第 3行得单位矩阵，故100001010BE，即2,P BE故122BPP因此，121AP P，故选 (D) (8) 【答案】 (D) 【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()413r A， 即130， 且0A 由 此 可 得*|A AA EO， 即*1234(,)AO，这说明1234,是*0A x的解由 于()3r A，130， 所 以234,线 性 无 关 又 由 于()3r A， 所 以*()1r A，因此*0A x的基础解系中含有413个线性无关的解向量而234,线性无关，且为*0A x的解，所以234,可作为*0A x的基础解系，故选(D) 二、填空题 (9 14 小题，每小题4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上) (9) 【答案】2【解析】原式=01 21lim (1)2xxxe00212ln 21limlimln 22222xxxxxeee(10) 【答案】sinxyex【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeex edxC( cos)xexdxC(sin)xexC由于(0)0,y故C=0所以sinxyex(11) 【解析】选取x为参数，则弧微元2211tansecdsydxxdxxdx所以4400secln sectanln(12)sxdxxx(12) 【答案】1【解析】原式00 xxx edxxde0001lim0 xxxxxxxeedxee01111limlimxxxxeee(13) 【答案】712【解析】原式2sin2sin3220044cossincossindrrrdrrdr dr4241sincos16sin4d5522444cossin4sinsindd66447sin612(14) 【答案】 2【解析】方法1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数二次型f对应矩阵为111131111A111000131131132111111112EA321412，故1230,1,4因此f的正惯性指数为2方法 2：f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数222123123121323,3222fx xxxxxx xx xx x2222212322332323232xxxxx xxxxx x2212322xxxx，令11232233,yxxxyxyx则22122fyy，故f的正惯性指数为2三、解答题 (15 23 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15) (本题满分10 分 ) 【解析】如果0a时，2200(1)limlimln(1)xxaaxxlntdtxtdtx，显然与已知矛盾，故0a当0a时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlimlimlim0 xaaaaxxxxtdtxxxxaxaxa所以30a即3a又因为223201222ln(1)ln(1)210limlimlimlim(1)(1)1xaaaaxxxxxtdtxxxxaxa axa ax所以32a，即1a，综合得13a (16) (本题满分 11 分) 【解析】因为221( )1dytdty xdxtdt，2222222231()12 (1)(1) 2141( ),(1)1(1)tdt tttttyxdxdttttdt令( )0y x得1t，当1t时，53x，13y，此时0y，所以13y为极小值当1t时，1x，1y，此时0y，所以1y为极大值令( )0yx得0t，13xy当0t时，13x，此时0y；当0t时，13x，此时0y所以曲线的凸区间为13，凹区间为13，拐点为1 1(,)3 3(17) (本题满分9 分) 【解析】,( )zf xy yg x12,( ),( )( )zfxy yg xyfxy yg xygxx211112,( )(,( )(,( ) ( )zfxy yg xy fxy yg x xfxy yg x g xx y21222( ),( )( ),( ),( )( )g xfxy yg xyg xfxy yg xxfxy yg x g x因为( )g x在1x可导，且为极值,所以(1)0g，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)xyd zfffdxdy (18) (本题满分10 分 ) 【解析】由题意可知当0 x时，0y，(0)1y，由导数的几何意义得tany,即arctany，由题意arctanddyydxdx，即21yyy令yp，yp，则21ppp，3dpdxpp，即21dppdpdxpp，211ln |ln(1)2ppxc，即2211xpce当0 x，1p，代入得2c，所以2121xye，则2200( )(0)212txxttdte dty xyee0022arcsin|arcsin4221 ()2ttxxxtedeee又因为(0)0y，所以2( )arcsin24xy xe(19) (本题满分10 分 ) 【解析】 ( ) 设1ln 1,0,fxxxn显然( )f x在10,n上满足拉格朗日的条件，1111110ln 1ln1ln 1,0,1ffnnnnn所以10,n时，111111111 01nnnn，即：111111nnn，亦即：111ln 11nnn结论得证（II ）设111111lnln23nnkannnk先证数列na单调递减111111111ln1lnlnln 1111nnnnkknaannkknnnn，利用（ I ）的结论可以得到11ln(1)1nn，所以11ln 101nn得到1nnaa，即数列na单调递减再证数列na有下界1111lnln 1lnnnnkkannkk，11112 3 41ln 1lnlnln11 2 3nnkkknnkkn，1111lnln 1lnln1ln0nnnkkannnnkk得到数列na有下界利用单调递减数列且有下界得到na收敛 (20) (本题满分 11 分) 【解析】 (I) 容器的容积即旋转体体积分为两部分12VVV1222211221yy dyydy232123yy+13213yy=1534=94(II) 所做的功为22(2)(1)(2)(2)dwgyydygyyydy12222112(2)(1)(2)(2)wgyy dygyyydy1232322112(22)44 )gyyydyyyy dy111224322312222221111211122242243243yyyyygyy3271033758gg(21) (本题满分11 分 ) 【解析】因为( ,1)0f x，(1, )0fy，所以( ,1)0 xfx1100( , )xyIxdxyfx y dy1100( , )xxdxydfx y111000,|,xxxdx yfx yfx y dy1100( ,1)( ,)xxxdx fxfx y dy1100( , )xxdxfx y dy1100( , )xdyxfx y dx111000( , ) |( , )dy xf x yf x y dx1100(1, )( , )dyfyfx y dx( , )Df x y dxdya(22) (本题满分11 分 ) 【解析】 (I) 由于123,不能由123,线性表示， 对123123(,)进行初等行变换：123123113101(,)12401313115a113101011112023014a113101011112005210a当5a时，1231231(,)2(,)3rr，此时，1不能由123,线性表示，故123,不能由123,线性表示(II)对123123(,)进行初等行变换：123123101113(,)0131241151351011130131240140221011130131240011021002150104210001102，故112324，2122，31235102(23) (本题满分11 分 ) 【解析】 (I) 由于111100001111A，设121,0,1,1,0,1TT，则1212,A，即1122,AA，而120,0，知A的特征值为121,1，对应的特征向量分别为1110kk，2220kk由于2r A，故0A，所以30由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为3123,Txxx，则13230,0,TT即13130,0 xxxx解此方程组，得30,1,0T，故30对应的特征向量为3330kk(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：312123123111,0,1,1,0,1,0,1,022TTT令123,Q，则110TQ AQ，TAQ Q2202222012222001102202201002222022220001222200000002210022010022