高中数学(理)04-导数及其应用2.pdf

1专练专练1若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，则 a 的取值范围是()A1,1B.1，13C.13，13D.1，132设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x)，且 2f(x)xf(x)x2，下面的不等式在 R 上恒成立的是()Af(x)0Bf(x)xDf(x)x3对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x1)f(x)0，则有()Af(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)4设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0，且 f(3)0，则不等式 f(x)g(x)0，则函数 F(x)xf(x)1x的零点个数是()A0B1C2D38若x，y0，)，不等式 4axexy2exy22 恒成立，则实数 a 的最大值是()A.14B1C2D.129已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a()A12B.13C.12D110设函数 f(x)exax，g(x)ln(x3)4exa，其中 e 为自然对数的底数，若存在实数 x0，使得 f(x0)g(x0)2 成立，则实数 a 的值为()A2ln 2B1ln 2C1ln 2D2ln 211 已知函数 f(x)exx2k2xln x， 若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点， 则实数 k 的取值范围为()A(，e B0，eC(，e) D0，e)12 已知函数 g(x)ax21exe，e 为自然对数的底数与 h(x)2ln x 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是()A.1，1e22B1，e223C.1e22，e22De22，)13若函数 f(x)x32cx2x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 ()A.32，B.32，C.，32 32，D.，32 32，14已知 f(x)aln x12x2(a0)，若对任意两个不等的正实数 x1，x2都有fx1fx2x1x22 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A1，)B(1，)C(0,1)D(0,115已知 x2 是函数 f(x)x33ax2 的极小值点，那么函数 f(x)的极大值为()A15B16C17D1816若幂函数 f(x)的图象过点22，12 ，则函数 g(x)exf(x)的单调递减区间为()A(，0)B(，2)C(2，1)D(2,0)17若函数 f(x)2x2ln x 在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是()A1，)B1,2)C.1，32D.32，218如果函数 yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数 yf(x)在区间3，12 内单调递增；4函数 yf(x)在区间12，3内单调递减；函数 yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当 x2 时，函数 yf(x)有极小值；当 x12时，函数 yf(x)有极大值则上述判断中正确的是()ABCD19函数 f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(1,3D(1,220已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f(x)12，则 f(x)x212的解集为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1，或 x1Dx|x121已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，则()Af(2)e2f(0)Bf(2)e2f(0)Cf(2)e2f(0)Df(2)e2f(0)22直线 ya 分别与直线 y2(x1)，曲线 yxln x 交于点 A，B，则|AB|的最小值为()A3B2C.3 24D.3223已知函数 f(x)x23x2ln x，则函数 f(x)的单调递减区间为_24若函数 f(x)13x312x22ax 在23，上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_25某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数，2a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为kex(e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元(1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式；5(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值26设函数 f(x)12x2mln x，g(x)x2(m1)x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 m0 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数27已知函数 f(x)aln xbx2，a，bR.(1)若 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，求 a，b 的值；(2)在(1)的条件下，求 f(x)在1e，e上的最大值；(3)若不等式 f(x)x 对所有的 b(，0，x(e，e2都成立，求 a 的取值范围28已知 e 是自然对数的底数，实数 a 是常数，函数 f(x)exax1 的定义域为(0，)(1)设 ae，求函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)判断函数 f(x)的单调性29已知函数 f(x)2ln xx22ax(a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2(x10，f(x)12(xa)2，求 a 的取值范围32已知函数 f(x)(x2)exk(x1)2.(1)当 k0 时，求函数 f(x)在0,2上的最大值和最小值；(2)讨论函数 yf(x)零点的个数33已知函数 f(x)1ln xax2.(1)讨论函数 f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)1 时，试比较 f(x)与 1 的大小，并说明理由；(2)若 f(x)有极大值，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在 xx0处有极大值，证明：1f(x0)e2.7高考押题专练高考押题专练1若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，则 a 的取值范围是()A1,1B.1，13C.13，13D.1，13【解析】取 a1，则 f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2xcos x，但 f(0)123123x2，下面的不等式在 R 上恒成立的是()Af(x)0Bf(x)xDf(x)x【解析】可令 f(x)12x212，则 f(x)满足条件，验证各个选项，知 B、C、D 都不恒成立，故选 A.【答案】A3对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x1)f(x)0，则有()Af(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)【解析】由题意得，当 x1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，f(x)的最小值为 f(1)，即对任意实数 x，都有 f(x)f(1)，f(0)f(1)，f(2)f(1)，f(0)f(2)2f(1)，故选 D.【答案】D4设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0，且 f(3)0，则不等式 f(x)g(x)0 知 x0 时，h(x)为增函数，又 f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，h(x)为奇函数且在(0，)上为增函数，且 h(3)0，所以 f(x)g(x)0，则函数 F(x)xf(x)1x的零点个数是()9A0B1C2D3【解析】当 x0 时，f(x)fxxxfxfxxxfxx0，当 x0 时，xf(x)0，则 h(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且 h(0)0，h(x)xf(x)0 在(0，)上恒成立，又1x0，F(x)0 在(0，)上恒成立，即 F(x)在(0，)上无零点当 x0 时，xf(x)0 在(，0)上恒成立，所以 F(x)xf(x)1x在(,0)上为减函数，当 x0 时，xf(x)0，1x，则 F(x)0，在(0,2)上，g(x)3)，令 u(x)0，得 x2；令 u(x)0，得3x2，所以 u(x)在(3，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以当 x2 时，u(x)取得最小值为2.若存在实数 x0，使得 f(x0)g(x0)2 成立，则当 x2 时，exa2 成立，所以 e2a2，解得 a2ln 2.故选 D.【答案】D11 已知函数 f(x)exx2k2xln x， 若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点， 则实数 k 的取值范围为()A(，e B0，eC(，e) D0，e)【解析】 f(x)x2ex2xexx4k2x21x x2exxkx2(x0) 设 g(x)exx， 则 g(x)x1exx2， 则 g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增所以 g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x)exx与 yk 的图象(图略)可知，要满足题意，只需 ke.【答案】A12 已知函数 g(x)ax21exe，e 为自然对数的底数与 h(x)2ln x 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是()A.1，1e22B1，e22C.1e22，e22De22，)11【解析】函数 g(x)ax21exe与 h(x)2ln x 的图象上存在关于 x 轴对称的点，即函数 f(x)x2a1exe与 h(x)2ln x 的图象有交点， 即 M(x)f(x)h(x)x22ln xa 在区间1e，e上有零点 因为 M(x)2x2x2x1x1x，故函数 M(x)在区间1e，1上单调递减，在区间1，e上单调递增，即 M(x)在 x1处取得最小值要使 M(x)与 x 轴有交点，只需 M(1)1a0，即 a1.另一方面 M1e 1e22a，M(e)e22a，M(e)M1e e21e240，故 M(e)e22a0，ae22，综上所述，实数 a 的取值范围是1，e22【答案】B13若函数 f(x)x32cx2x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 ()A.32，B.32，C.，32 32，D.，32 32，【答案】C【解析】若函数 f(x)x32cx2x 有极值点，则 f(x)3x24cx10 有根，故(4c)2120，从而 c32或 c32.14已知 f(x)aln x12x2(a0)，若对任意两个不等的正实数 x1，x2都有fx1fx2x1x22 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A1，)B(1，)C(0,1)D(0,1【答案】A【解析】由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于 2，所以函数的导数 f(x)axx2.可得 x a时，f(x)有最小值 2.a1.15已知 x2 是函数 f(x)x33ax2 的极小值点，那么函数 f(x)的极大值为()12A15B16C17D18【答案】D【解析】x2 是函数 f(x)x33ax2 的极小值点，即 x2 是 f(x)3x23a0 的根，将 x2 代入得a4，所以函数解析式为 f(x)x312x2，令 f(x)3x2120，得 x2，故函数在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当 x2 时函数 f(x)取得极大值 f(2)18，故选 D.16若幂函数 f(x)的图象过点22，12 ，则函数 g(x)exf(x)的单调递减区间为()A(，0)B(，2)C(2，1)D(2,0)【答案】D【解析】设幂函数 f(x)x，因为图象过点22，12 ，所以1222，2，所以 f(x)x2，故 g(x)exx2，令 g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0，故函数单调减区间为(2,0)故选 D.17若函数 f(x)2x2ln x 在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是()A1，)B1,2)C.1，32D.32，2【答案】C【解析】.f(x)4x1x2x12x1x，x0，由 f(x)0 得 x12.令 f(x)0，得 x12；令 f(x)0，得 0 x12.由题意得k10，k112k11k32.故 C 正确18如果函数 yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：13函数 yf(x)在区间3，12 内单调递增；函数 yf(x)在区间12，3内单调递减；函数 yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当 x2 时，函数 yf(x)有极小值；当 x12时，函数 yf(x)有极大值则上述判断中正确的是()ABCD【答案】D【解析】当 x(3，2)时，f(x)0，f(x)单调递减，错；当 x12，2时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(2,3)时，f(x)0，f(x)单调递减，错；当 x2 时，函数 yf(x)有极大值，错；当 x12时，函数yf(x)无极值，错故选 D.19函数 f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(1,3D(1,2【答案】D【解析】由题知 f(x)33x2，令 f(x)0，解得1x1；令 f(x)0，解得 x1 或 x1，由此得函数在(，1)上是减函数，在(1,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，故函数在 x1 处取到极小值2，判断知此极小值必是区间(a212，a)上的最小值，a2121a，解得1a 11，又当 x2 时，f(2)2，故有 a2.综上知 a(1,2，故选 D.20已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f(x)12，则 f(x)x212的解集为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1，或 x1Dx|x1【答案】D【解析】 设 F(x)f(x)x212 ， 则 F(1)f(1)1212 110， F(x)f(x)12， 对任意 xR， 有 F(x)f(x)120，即函数 F(x)在 R 上单调递减，则 F(x)0 的解集为(1，)，即 f(x)x212的解集为(1，14)，故选 D.21已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，则()Af(2)e2f(0)Bf(2)e2f(0)Cf(2)e2f(0)Df(2)e2f(0)【答案】D【解析】由题意构造函数 g(x)fxex，则 g(x)fxfxex0，则 g(x)fxex在 R 上单调递增，则有 g(2)g(0)，故 f(2)e2f(0)22直线 ya 分别与直线 y2(x1)，曲线 yxln x 交于点 A，B，则|AB|的最小值为()A3B2C.3 24D.32【答案】D【解析】解方程 2(x1)a，得 xa21.设方程 xln xa 的根为 t(t0)，则 tln ta，则|AB|ta21|ttln t21|t2ln t21|.设 g(t)t2ln t21(t0)，则 g(t)1212tt12t(t0)，令 g(t)0，得 t1.当 t(0,1)时，g(t)0；当 t(1，)时，g(t)0，所以 g(t)ming(1)32，所以|AB|32，所以|AB|的最小值为32.23已知函数 f(x)x23x2ln x，则函数 f(x)的单调递减区间为_【解析】函数 f(x)x23x2ln x 的定义域为(0，)f(x)2x32x，令 2x32x0，即 2x23x20，解得 x2，12 .又 x(0，)，所以 x0，12 .所以函数 f(x)的单调递减区间为0，12 .24若函数 f(x)13x312x22ax 在23，上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_15【解析】对 f(x)求导，得 f(x)x2x2ax122142a.当 x23，时，f(x)的最大值为 f23 292a.令292a0，解得 a19.所以 a 的取值范围是19，.25某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数，2a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为kex(e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元(1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值【解析】(1)由题意，该产品一年的销售量为 ykex.将 x40，y500 代入，得 k500e40.故该产品一年的销售量 y(万件)关于 x(元)的函数关系式为 y500e40 x.所以 L(x)(x30a)y500(x30a)e40 x(35x41)(2)由(1)得，L(x)500e40 x(x30a)e40 x500e40 x(31ax)当 2a4 时，L(x)500e40 x(31435)0，当且仅当 a4，x35 时取等号所以 L(x)在35，41上单调递减因此，L(x)maxL(35)500(5a)e5.当 4035x31a，L(x)031ax41.所以 L(x)在35，31a)上单调递增，在31a，41上单调递减因此，L(x)maxL(31a)500e9a.综上所述当 2a4 时， 每件产品的售价为 35 元， 该产品一年的利润 L(x)最大， 最大为 500(5a)e5万元；当 40，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，由 f(x)exa0，得 xlna，当 0 xlna 时，f(x)lna 时，f(x)0，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增综上，当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增29已知函数 f(x)2ln xx22ax(a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2(x1x2)，且 f(x1)f(x2)322ln 2 恒成立，求 a 的取值范围【解析】(1)由题意知，函数 f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x2ax1x，令 x2ax10，则a24，当 02 时，0，方程 x2ax10 有两个不同的实根，分别设为 x3，x4，不妨令 x3x4，则 x3a a242，x4a a242，此时 0 x30，当 x(x3，x4)时，f(x)0，所 以 函 数 f(x) 在0，a a242上 单 调 递 增 ， 在a a242，a a242上 单 调 递 减 ， 在a a242，上单调递增(2)由(1)得 f(x)在(x1，x2)上单调递减，x1x2a，x1x21，则 f(x1)f(x2)2lnx1x2(x1x2)(x1x22a)2lnx1x2x22x21x1x22lnx1x2x2x1x1x2，令 tx1x2，则 0t1，f(x1)f(x2)2ln t1tt，令 g(t)2ln t1tt(0t1)，19则 g(t)t12t20，故 g(t)在(0,1)上单调递减且 g12 322ln 2，故 g(t)f(x1)f(x2)322ln 2g12 ，即 0t12，而 a2(x1x2)2x1x2x2x12t1t2，其中 0t12，令 h(t)t1t2，t0，12 ，所以 h(t)11t20，得 x1；f(x)1，所以 f(x)在(，1)单调递增，在(1，)单调递减所以 f(x)的极大值为 f(1)1e3e，不合题意当 a0 时，11a0，得 11ax1；f(x)0，得 x1，所以 f(x)在11a，1单调递增，在，11a ，(1，)单调递减20所以 f(x)的极大值为 f(1)2a1e3e，得 a1.综上所述 a1.(2)令 g(a)ex(x21)axex，a(，0，当 x0，)时，ex(x21)0，则 g(a)bln(x1)对a(，0恒成立等价于 g(a)g(0)bln(x1)，即 xexbln(x1)，对 x0，)恒成立当 b0 时，x(0，)，bln(x1)0，此时 xexbln(x1)，不合题意当 b0 时，令 h(x)bln(x1)xex，x0，)，则 h(x)bx1(exxex)bexx21x1ex，其中(x1)ex0，x0，)，令 p(x)bexx21，x0，)，p(x)bex2x0，则 h(x)在区间0，)上单调递增，ab1 时，p(x)p(0)b10，所以对x0，)，h(x)0，从而 h(x)在0，)上单调递增，所以对任意 x0，)，h(x)h(0)0，即不等式 bln(x1)xex在0，)上恒成立b0b1 时，由 p(0)b10 及 p(x)在区间0，)上单调递增，所以存在唯一的 x0(0,1)使得 p(x0)0，且 x(0，x0)时，p(x0)0.从而 x(0，x0)时，h(x)0，所以 h(x)在区间(0，x0)上单调递减，则 x(0，x0)时，h(x)h(0)0，即 bln(x1)0，f(x)12(xa)2，求 a 的取值范围【解析】(1)证明：f(x)ex21,令 f(x)ex210，解得 x2，当 x(，2)时，f(x)单调递减，当 x(2，)时，f(x)单调递增，所以 f(x)f(x)minf(2)3，21故 f(x)3.(2)对任意 x0，f(x)12(xa)2，故 ex2x12(xa)20，设 g(x)ex2x12(xa)2，g(x)ex21xa,由(1)知 g(x)单调递增，g(0)e2a1.当 a1e2时，g(0)0，g(x)0，所以 g(x)单调递增，则 g(0)e212a20，即 2ea 2e.当 a1e2时，g(0)0，当 x(0，x0)时， g(x)0，故当 x(0，x0)时，g(x)单调递减，g(0)e212a2e212(1e2)20，所以 g(x0)g(0)0，所以存在 x(0，x0)，使得 g(x)0，故不满足题意.综上所述， 2ea 2e.32已知函数 f(x)(x2)exk(x1)2.(1)当 k0 时，求函数 f(x)在0,2上的最大值和最小值；(2)讨论函数 yf(x)零点的个数【解析】由题设，f(x)(x1)(ex2k)，(1)当 k0，令 f(x)0，得 x1，f(x)在(1，)上单调递增，令 f(x)0，得 x0 得 x1，则 g(x)在(1，)上单调递增，令 g(x)0，得 x1，则 g(x)在(，1)上单调递减，当 x1 时，g(x)当 x时，g(x).当 x时，g(x)0，且当 x0 时，g(x)0.故 g(x)的图象如图：所以，当 k0 时，yf(x)有两个零点，当 k0 时，yf(x)有一个零点33已知函数 f(x)1ln xax2.(1)讨论函数 f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)0)，f(x)12ax2x当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)的单调增区间为(0，)，无减区间；当 a0 时，x0，12a ，f(x)0，当 x12a，f(x)0，f(x)单调增区间为0，12a ，单调减区间为12a，.(2)证明：法一： 要证 xf(x)0，令(x)2e2exxln x，(x0)，(x)2x1exe2xe2x2，令 r(x)2(x1)exe2x，r(x)2xexe2，r(x)在(0，)上单调递增，r(1)0，故存在唯一的 x0(1,2)使得 r(x)0，r(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，23r(0)0;所以(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)(2)1ln 20，得证法二：要证 xf(x)2e2exxax3，即证：2e2exx2ln xx，令(x)2e2exx2(x0)，(x)2x2exe2x3，当 x(0,2)时，(x)0；所以(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)(2)12；令 r(x)ln xx，r(x)1ln xx2，当 x(0，e)时，r(x)0，x(e，)时，r(x)1er(x)，2e2exx2ln xx，得证34已知函数 f(x)xa(ln x)2，aR.(1)当 a1，x1 时，试比较 f(x)与 1 的大小，并说明理由；(2)若 f(x)有极大值，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在 xx0处有极大值，证明：1f(x0)1 时，f(x)x(ln x)2，x1.f(x)12(ln x)1xx2ln xx.令 g(x)x2ln x，x1，则 g(x)12xx2x，当 x(1,2)时，g(x)0，g(x)单调递增；g(x)g(2)22ln 20，即 f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增f(x)f(1)1.故当 a1，x1 时 f(x)1.(2)f(x)12aln xxx2aln xx(x0)，24令 h(x)x2aln x(x0)，则 h(x)12axx2ax，当 a0 时，f(x)x 无极大值当 a0，h(x)在(0，)上单调递增；h(1)10，h(e12a)e12a10，x1(e12a，1)，使得 h(x1)0.当 x(0，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在 xx1处有极小值，f(x)无极大值当 a0 时，h(x)在(0,2a)上单调递减，h(x)在(2a，)上单调递增，f(x)有极大值，h(2a)2a2aln(2a)2a(1ln 2a)e2，又 h(1)10，h(e)e2a0，f(x)单调递增，当 x(x0，e)时，f(x)e2.(3)证明：由(2)可知：aln x0 x02，f(x0)x0a(ln x0)2x0 x0ln x02(1x0e)，设 p(x)xxln x2(1x0，p(x)在(1，e)上单调递增，p(1)p(x)p(e)，即 1p(x)e2，故 1f(x0)e2.25