数学(文)知识清单-专题07-三角恒等变换与解三角形(原卷+解析版).pdf

1专练专练1已知 x(0，)，且 cos2x2 sin2x，则 tanx4 等于()A.13B13C3D32在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c2a，bsin Basin A12asin C，则 sin B 为()A.74B.34C.73D.133已知0，4 ，且 sin cos 144，则2cos21cos4的值为()A.23B.43C.34D.324在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cb0，cos 0，所以 sin cos 3 24.所以2cos21cos4cos2sin222cos sin 2(cos sin )32.4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cbcos A，则ABC 为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得cbsin Csin Bcos A，即 sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得 sin Acos B0，cos B0，2B，7ABC 为钝角三角形5如图，在ABC 中，C3，BC4，点 D 在边 AC 上，ADDB，DEAB，E 为垂足若 DE2 2，则 cos A 等于()A.2 23B.24C.64D.63【答案】C【解析】依题意得，BDADDEsin A2 2sin A，BDCABDA2A.在BCD 中，BCsinBDCBDsin C，4sin 2A2 2sin A234 23sin A，即42sin Acos A4 23sin A，由此解得 cos A64.6若sin cos sin cos 12，则 sin cos ()A34B310C43D.43【答案】B.【解析】 解法一： 由sin cos sin cos 12， 得 2(sin cos )sin cos ， 即 tan 3.又 sin cos sin cos sin2cos2tan 1tan2310，故选 B.解法二：由题意得12sin cos 12sin cos 14，即48sin cos 12sin cos10sin cos 3即 sin cos 310，故选 B.7已知向量 a sin6 ，1 ，b(4,4cos 3)，若 ab，则 sin43 ()A34B148C.34D.14【答案】B.【解析】ab，ab4sin6 4cos 32 3sin 6cos 34 3sin3 30，sin3 14.sin43 sin3 14.8在ABC 中，若 3cos2AB25sin2AB24，则 tan Atan B()A4B.14C4D14【答案】B【解析】 由条件得 3cosAB125cos C124， 即 3cos(AB)5cos C0， 所以 3cos(AB)5cos(AB)0，所以 3cos Acos B3sin Asin B5cos Acos B5sin Asin B0，即 cos Acos B4sin Asin B，所以 tanAtan Bsin Asin Bcos Acos B14.9已知 sin613，则 cos 23的值是()A.79B.13C13D79【答案】D【解析】cos 232cos2312sin261219179.910已知在ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 A3，b2acos B，c1，则ABC 的面积等于()A.32B.34C.36D.38【答案】B【解析】由正弦定理得 sin B2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin3 3，又 B(0，)，所以 B3，又 A3，所以ABC 是正三角形，所以 SABC12bcsin A12113234.11已知ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos C32cb，若 a1， 3c2b1，则角 B 为()A.4B.6C.3D.12【答案】B【解析】因为 acos C32cb，所以 sin Acos C32sin Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以32sin Ccos Asin C，因为 sin C0，所以 cos A32，因为 A 为ABC 的内角，所以 A6，由余弦定理 a2b2c22bccos A，知 1b2c2 3bc，联立1b2c2 3bc，3c2b1，解得 c 3，b1，由asin Absin B，得 sin Bbsin Aa112112，bc，B12已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为3 34，a3，B3，则 b_.【解析】由题意可得 S12acsin B，解得 c1，由余弦定理可得 b2a2c22accos B9137，故 b7.【答案】 713已知 tan(3x)2，则2cos2x2sin x1sin xcos x_.10【解析】tan(3x)tan(x)tan x2，故 tan x2.所以2cos2x2sin x1sin xcos xcos xsin xsin xcos x1tan xtan x13.【答案】314已知234，cos()1213，sin()35，则 sin cos 的值为_【解析】由234知32，34223444004.根据已知得 sin()513，cos()45，所以 sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()35121345 5135665，所以(sin cos )21sin 215665965.因为234，所以 sincos 0，所以 sin cos 3 6565.【答案】3 656515已知函数 f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，且 f4 0，其中 aR，(0，)(1)求 a，的值；(2)若 f4 25，2，求 sin3 的值【解析】(1)因为 f(x)(a2cos2x)cos(2x)是奇函数，而 y1a2cos2x 为偶函数，所以 y2cos(2x)为奇函数，由(0，)，得2，所以 f(x)sin 2x(a2cos2x)，由 f4 0 得(a1)0，即 a1.(2)由(1)得 f(x)12sin 4x，因为 f4 12sin 25，即 sin 45，又2，从而 cos 35，所以 sin3 sin cos3cos sin3451235 3243 310.1116在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ac66b，sin B 6sin C.(1)求 cos A 的值；(2)求 cos2A6 的值【解析】(1)在ABC 中，由bsin Bcsin C，及sin B 6sin C，可得 b 6c.由 ac66b，得 a2c.所以 cos Ab2c2a22bc6c2c24c22 6c264.(2)在ABC 中，由 cos A64，可得 sin A104.于是 cos 2A2cos2A114，sin 2A2sin Acos A154.所以 cos2A6 cos 2Acos6sin 2Asin615 38.17如图所示，在四边形 ABCD 中，D2B，且 AD1, CD3，cos B33.(1)求ACD 的面积；(2)若 BC2 3，求 AB 的长【解析】(1)因为D2B，cos B33，所以 cos Dcos 2B2cos2B113.因为 D(0，)，所以 sin D 1cos2D2 23.因为 AD1，CD3，所以ACD 的面积 S12ADCDsin D12132 23 2.(2)在ACD 中，AC2AD2DC22ADDCcos D12，12所以 AC2 3.因为 BC2 3，ACsin BABsinACB，所以2 3sin BABsin2BABsin 2BAB2sin Bcos BAB2 33sin B，所以 AB4.18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B2C,2b3c.(1)求 cos C；(2)若 c4，求ABC 的面积【解析】(1)由正弦定理得，2sin B3sin C.B2C，2sin 2C3sin C，4sin Ccos C3sin C，C(0，)，sin C0，cos C34.(2)由题意得，c4，b6.C(0，)，sin C 1cos2C74，sin Bsin 2C2sin Ccos C3 78，cos Bcos 2Ccos2Csin2C18，sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C3 783418745 716.SABC12bcsin A12645 71615 74.19已知点 P( 3，1)，Q(cos x，sin x)，O 为坐标原点，函数 f(x).(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 A 为ABC 的内角，f(A)4，BC3，ABC 的面积为3 34，求ABC 的周长【解析】(1)由题易知，( 3，1)，( 3cos x,1sin x)，所以 f(x)3 3cos x1sin x42sinx3 ，所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，因为 f(A)4，所以 sinA3 0，13则 A3k，kZ，即 A3k，kZ，因为 0A，所以 A23，因为ABC 的面积 S12bcsin A3 34，所以 bc3.由 a2b2c22bccos A，可得 b2c26，所以(bc)2b2c22bc12，即 bc2 3.所以ABC 的周长为 32 3.20如图，在一条海防警戒线上的点 A，B，C 处各有一个水声监测点，B，C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米，某时刻，B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 秒后 A，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米，用 x 分别表示 B，C 到 P 的距离，并求 x 的值；(2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离【解析】(1)依题意，有 PAPCx，PBx1.58x12.在PAB 中，AB20，cosPABPA2AB2PB22PAABx2202x1222x203x325x，同理，在PAC 中，AC50，cosPACPA2AC2PC22PAACx2502x22x5025x.cosPABcosPAC，3x325x25x，解得 x31.(2)作 PDAC 于点 D(图略)，在ADP 中，由 cosPAD2531，得 sinPAD 1cos2PAD4 2131，PDPAsinPAD314 21314 21.14故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 421千米21在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 8 sin2AB22cos 2C7.(1)求 tan C 的值；(2)若 c 3，sin B2sin A，求 a，b 的值【解析】(1)在ABC 中，因为 ABC，所以AB22C2，则 sinAB2cosC2.由 8sin2AB22cos 2C7，得 8cos2C22cos 2C7，所以 4(1cos C)2(2cos2C1)7，即(2cos C1)20，所以 cos C12.因为 0C，所以 C3，于是 tan Ctan3 3.(2)由 sin B2sin A，得 b2a.又 c 3，由余弦定理得 c2a2b22abcos3，即 a2b2ab3.联立，解得 a1，b2.22在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asin BbsinA3 .(1)求 A；(2)若ABC 的面积 S34c2，求 sin C 的值【解析】(1)asin BbsinA3 ，由正弦定理得 sin AsinA3 ，即 sin A12sin A32cos A，化简得 tan A33，A(0，)，A56.(2)A56，sin A12，由 S34c212bcsin A14bc，得 b 3c，15a2b2c22bccos A7c2，则 a 7c，由正弦定理得 sin Ccsin Aa714.