2022年上半年教师资格考试中学《学科知识与教学能力》考前冲刺密卷三套（含解析）初中数学.pdf

数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 1 页 共 37 页20222022 年上半年中小学年上半年中小学教师资格证考试教师资格证考试数学数学学科知识学科知识与教学能力与教学能力（初级中学初级中学）考前冲刺密卷考前冲刺密卷（一一）科目代码科目代码（30304 4）重要提示重要提示为维护您的个人权益，确保教师资格证考试的公平公正，请您协助我们监督考试实施工作。本场考试规定：监考老师要向本考场全体考生展示题本密封情况，并邀请 2 名考生代表验封签字后，方能开启试卷袋。请将此条形码揭下，请将此条形码揭下，贴在答题卡指定位置贴在答题卡指定位置条条形形码码粘粘贴贴处处准考证号姓名数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 2 页 共 37 页注意事项注意事项一、本试卷分满分 150 分，总时限 120 分钟，各部分不单独计时，答题时请注意合理分配时间。二、请按照要求在答题卡上填写好自己的姓名，涂写好准考证号，严禁折叠答题卡。三、必须在答题卡上答题：在题本上答题，一律无效。四、监考人员宣布考试开始时，方可答题；宣布考试结束时，应立即停止答题。题本、答题卡、草稿纸一律留在桌上，待监考人员确认数量无误，允许离开后，方可离开考场。如果违反了以上任何一项要求，都将影响你的成绩。五、在本套试卷中，可能有些试题较难，因此你不要在一道题上思考时间太久，遇到不会答的题目可先跳过去，如果有时间再去思考，否则，你可能没有时间完成后面的题目。六、试题答错不倒扣分。停！请不要往下翻！听候监考老师的指示。否则，会影响你的成绩。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 3 页 共 37 页一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。1.数列满足：， 且对于任意的正整数都有， 则（） 。A.B.C.D.22.已知函数的导函数为，且满足，则（） 。A.1B.1C.D.3.已知三角形的三个顶点分别为，则垂直于这个三角形所在平面的单位向量为（）。A.B.C.D.4.方程所确定的二次曲面是（） 。A.椭球面B.旋转单叶双曲面C.旋转抛物面D.圆柱面5.矩阵的秩等于（） 。A.1B.2C.3D.46.设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） 。A.B.C.D.7.我国最早提出数字三次方程数值解法的著作是（） 。A.九章算术B.缉古算经数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 4 页 共 37 页C.海岛算经D.张丘建算经8.在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（） 。A.孙子算经B.墨经C.算术书D.周髀算经二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.函数在区间上是连续函数，证明存在，使得。10.某校高二年级模仿中国诗词大会节目举办学校诗词大会，正如正赛的条件为：先参加初赛，初赛时， 电脑随机抽取 10 首不同的古诗， 参赛者能够正确背诵 6 首及以上的参赛者进入正赛， 若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率为。（1）求甲在初赛中恰好正确背诵 8 首的概率；（2）若进入正赛，则用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为 0，电脑随机抽取 4 首不同的古诗，每首古诗背诵正确加 2 分，错误减 1 分，由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为，求甲在正赛中积分的概率分布列及数学期望。11.已知是矩阵的一个特征向量，试确定参数及特征向量所对应的特征值。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 5 页 共 37 页12.简述义务教育阶段课程总目标。13.结合新课标的理念，简要谈谈如何让学生在现实情境中体验和理解数学。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.讨论函数在上是否连续、一致连续，其导函数是否一致连续？四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.函数是中学数学的重要概念，回答下列问题：（1）学习数学概念的意义。（2）结合实例简要分析数学概念的基本要求。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 6 页 共 37 页五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.案例：正比例函数教学片段：师：首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？1.圆的周长随半径的大小变化而变化。2.铁的密度为。铁块的质量随它的体积的大小变化而变化。3.每个练习本的厚度为。 一些练习本摞在一起的总厚度随这些练习本的本数的变化而变化。4.冷冻一个 0的物体，使它每分钟下降 2。物体的温度随冷冻时间的变化而变化。生：1.根据圆的周长公式可得：2.依据密度公式可得：3.据题意可知：4.据题意可知：我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和的形式一样。师：一般地，形如（是常数，）的函数叫作正比例函数，其中叫作比例系数。练习：已知是正比例函数，求的值？问题：（1）给出以上练习题的求解过程； （10 分）（2）针对上述教学过程中存在的问题进行改进。 （10 分）数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 7 页 共 37 页六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.教学内容：以下图为内容，撰写“待定系数法求一次函数”的教学片段。撰写要求：（1）写出其中主要蕴含的数学思想方法；（2）完成“待定系数法求一次函数”这节课的教学设计。要求写出教学目标、教学重点和主要教学过程（含情境导入、概念理解、概念巩固） 。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 8 页 共 37 页参考参考答案答案及及解析解析一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.【答案】A【解析】数列满足：，且对任意正整数都有，则， 则， 数 列是 首 项 为， 公 比 为的 等 比 数 列 。故本题选 A。2.【答案】C【解析】依题意得，取得，由此解得。故本题选 C。3.【答案】B【 解 析 】 由 题 意 可 知， 所 以 垂 直 于 这 个 三 角 形 所 在 平 面 的 向 量 为，又因为，故垂直于这个三角形所在平面的单位向量为。故本题选 B。4.【答案】B【解析】A 选项，椭球面的方程为，故不符合题意；B 选项，把面上的双曲线绕轴旋转， 得到旋转单叶双曲面的标准方程为， 所以方程所确定的二次曲面是旋转单叶双曲面，故符合题意；C 选项，旋转抛物面的方程为，故不符合题意；D 选项，圆柱面的标准方程为，故不符合题意。故本题选 B。5.【答案】C【解析】。所以矩阵的秩为 3。故本题选 C。6.【答案】C数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 9 页 共 37 页【解析】，线性相关。故本题选 C。7.【答案】B【解析】我国古代数学家王孝通著缉古算经是最早提出数字三次方程数值解法的著作。故本题选 B。8.【答案】D【解析】在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是周髀算经 。故本题选 D。二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.【答案】见解析【解析】函数是闭区间上的连续函数，则函数必有最大值和最小值，设的最大值 及 最 小 值 分 别 为及， 于 是， 根 据 积 分 不 等 式 的 性 质 可 得 到，即，因为是连续函数，由介值定理，必存在一点，使得，即。10.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）记“甲在初赛中恰好正确背诵 8 首古诗”为事件，学生甲在初赛中背诵每一首古诗的正确的概率为，所以甲在初赛中恰好正确背诵 8 首古诗的概率为；（2）甲的积分的可能取值为，所以，所以的分布列为852所以。11.【答案】数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 10 页 共 37 页【解析】设是矩阵的属于特征值的特征向量，即，即。12.【参考答案】通过义务教育阶段的数学学习，学生能：（1） 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、 基本技能、 基本思想、 基本活动经验。（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。（3）了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。13.【参考答案】数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过教学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。教师是学生教学活动的组织者、引导者与合作者；要根据学生的具体情况，对教材进行再加工，有创造的设计教学过程；要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展；要让学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.【答案】原函数在上一致连续，导函数也一致连续。【解析】函数在上连续，所以函数在上处处连续。因为，所以都 存 在 ， 所 以在上 一 致 连 续 。 因 为数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 11 页 共 37 页，所以导函数在上处处连续。， 所以都存在， 所以在上一致连续。四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.【参考答案】（1）数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。通过讨论数学概念的合理性，培养学生思维的深刻性；通过对概念的完整性作进一步讨论，培养学生思维的严密性，从而提高学生的数学思维能力。（2）以函数为例进行分析。数学概念的学习要以辨别为前提条件。所谓概念学习就是能概括出同类事物的共同本质特征。由于事物不仅在本质特征上有共同点，在非本质特征上也有共同点，这就给概念学习带来了困难，所以学习一个概念不仅要求学生学习与掌握一类事物的共同本质特征，而且要求他能排除非本质特征，如要及时排除学生认为“函数的定义域就是函数名称（或函数的定义） ”这样一种错误认识。概念是反映事物的共同点，而辨别是反映事物的差异。所以概念的学习要以辨别为前提条件。据此，教师在讲完函数概念之后最好要设计一组辨析题给学生做，让学生经历充分的活动和体验后明白到底什么是函数？什么是函数的定义域、值域和对应法则。数学概念教学重在把握概念的本质属性。对于函数，大多数学生都能说出它的定义，但要他们举出具体的函数，很多人只会举出有解析式的例子。在他们的头脑中存在着一种非本质属性泛化的错误观念：“有完整数学表达式的才是函数，除此之外就都不是函数” 。这说明他们还没有真正掌握函数的本质特征。只有正确认识到“数集到数集上的对应关系”才是函数的本质属性，才是函数不变的性质。除此之外的一切都是可变的，那么函数的表达式就是可变的，并不是函数的本质。函数的表达式可以是独立的解析式，也可以是其它的形式，如数表形式、图象形式、箭头形式等。无论函数关系用什么形式表示，只要具备函数的本质特征，它就是函数。数学概念的同化教学要重视“例证”的作用。高中函数概念就是对初中函数概念的同化。而同化过程是学习者认知结构中的原有观念与要学习的新观念相互作用的过程。原有观念的概括程度、包括的范围和巩固水平在新的学习中起决定作用。在教学时，教师先呈现概念的若干正例，引导学生进行辨别，提出与检验假设，最后进行概括，得出同类事物的共同本质属性。在呈现若干正例的同时，必须根据学生现有认知结构水平随之呈现适当的反例（也可请学生举例） ，如集合实数 ，正实数 ，对应法则：，则在对应法则作用下，从到能形成函数吗？又如集合本校某班同学的姓名 ，座位号 ，对应法则：分配座位，则在对应法则作用下，从到能形成函数吗？正例呈现有助于学生进行概括，反例呈现有助于学生辨别，使概念概括精确化。举例的目的是为了便于学生证实已抽象出来的特征。简单地说，在概念形成中，例子帮助学生发现概念的本质属性，在概念同化中，例子支持学生对概念本质属性的理解。要获得一个代数概念，使之成为一个数学实体，必须先经过一个相当长时期的操作性或过程性的阶段，然后进入结构性意义的建构，最后形成一个完全的代数对象。如函数概念同化教学可以进行如下设计：首选给出定义（揭示本质属性， 给出名称和符号） ， 然后与原认知结构建立联系， 明确新概念的内涵与外延，数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 12 页 共 37 页再与原有认知结构中的某些概念相区别，最后将新概念纳入原有的认知结构之中，原有的认知结构得到充实，通过练习巩固形成新的概念。遵循具体，抽象，再具体的教学规律。让学生经历领会到巩固再到应用的心理过程。贯彻概念的引入，概念的明确和理解，再达到概念的巩固和应用等基本教学环节。使学生感知概念，形成表象，通过分析、抽象和概括使学生明确和理解概念。通过练习、习题，使学生巩固和应用概念。五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.【参考答案】（1）解：因为是正比例函数，故应满足的形式，所以，解得； （2）针对上述教学问题，教师应该在学生列出算式之后，请学生认真观察这些算式，并对比与的异同，在此基础上让学生试着归纳总结正比例函数的概念，教师进行补充，并出示相关正误题的辨析，让学生在练习的过程中去发现注意。教师在引导学生回答问题之后应该给予鼓励评价，从而激发学生学习的兴趣。六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.【参考答案】（1）主要蕴含的数学思想方法：数形结合数学思想；（2）教学过程：一、回顾复习，谈话导入教师在黑板上画出一次函数的四种类型的图象，要学生判断 k 和 b 的符号。提问：试画出的图象，能准确判断出 k 和 b 的符号吗？预设学生行为：能准确判断出 k 和 b 的符号，大部分同学能画出一次函数的图象。提问：我们知道一次函数的图象是一条直线，而两点确定一条直线，那么，如果我们知道一次函数经过的两个点的坐标，能求出这一个一次函数吗？引出课题“用待定系数法求一次函数” （板书课题） 。二、合作探究，新课讲授1.分析、解决问题提出问题：给出一个一次函数的图象，如何求出函数图象的解析式，学生思考。预设学生行为：学生可能会想到找两个点，求出 k 和 b 就可以。用 PPT 呈现跟课题相关的数学问题。以教材例 4 为主。提出问题：可以利用什么方法求函数的解析式？预设学生行为：学生能根据给的两个点的坐标代到一次函数的解析式，并且解出二元一次方程组，求出 k 和 b，知道求一次函数的解析式，只需要求出 k 和 b，也就是需要找两个条件，实质上就是找两个点。自主计算得出结果。（请学生板演的形式完成板书。 ）2.待定系数法提出问题：能总结归纳什么是待定系数法吗？引导学生小组讨论探究，总结步骤。预设学生行为：待定系数法的四个步骤：设出未知数 k 和 b，得到一次函数的解析式为；根据题意列出一元二次方程；求解一元二次方程；代入求得一次函数。多媒体出示四种题型：图象、表格、点的坐标、实际应用，分别用待定系数法求一次函数的解析式。预设学生行为：图象的学生基本能求出，会找两个点；对于利用表格信息确定函数解析式，学生不知道是求函数的解析式；实际应用问题，学生接触的比较多，基本上能找到两个点；利用点的坐标求函数解数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 13 页 共 37 页析式，学生对和横坐标的交点与和纵坐标的交点，理解的不够好，可以借助图形加以理解。3.渗透数形结合思想提出问题：我们在解决与图象相关的一次函数问题，经常会使用到什么思想方法呢？这种思想又是怎么引导我们解决问题的呢？大家能否用流程图的形式去描绘一下呢？预设学生行为：学生基本能说出这节课学习的主要内容，对于数形结合的思想，学生以前也接触过，并不陌生。数形结合的思想：从数到形和从形到数的思路。三、巩固应用，内化提高课件出示题目：引导学生以小组为单位，竞赛为形式解决，对于学生的表现给予肯定评价。四、回顾整理，反思提升通过今天的学习，大家有哪些收获呢？引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，总结步骤、思想和方法。五、知识拓展，布置作业1.完成课后习题 1 题；2.思考今天所学能解决生活中的哪些问题，下节课一起展示分享。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 14 页 共 37 页20222022 年上半年中小学年上半年中小学教师资格证考试教师资格证考试数学数学学科知识学科知识与教学能力与教学能力（初级中学初级中学）考前冲刺密卷考前冲刺密卷（二二）科目代码科目代码（30304 4）重要提示重要提示为维护您的个人权益，确保教师资格证考试的公平公正，请您协助我们监督考试实施工作。本场考试规定：监考老师要向本考场全体考生展示题本密封情况，并邀请 2 名考生代表验封签字后，方能开启试卷袋。请将此条形码揭下，请将此条形码揭下，贴在答题卡指定位置贴在答题卡指定位置条条形形码码粘粘贴贴处处准考证号姓名数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 15 页 共 37 页注意事项注意事项一、本试卷分满分 150 分，总时限 120 分钟，各部分不单独计时，答题时请注意合理分配时间。二、请按照要求在答题卡上填写好自己的姓名，涂写好准考证号，严禁折叠答题卡。三、必须在答题卡上答题：在题本上答题，一律无效。四、监考人员宣布考试开始时，方可答题；宣布考试结束时，应立即停止答题。题本、答题卡、草稿纸一律留在桌上，待监考人员确认数量无误，允许离开后，方可离开考场。如果违反了以上任何一项要求，都将影响你的成绩。五、在本套试卷中，可能有些试题较难，因此你不要在一道题上思考时间太久，遇到不会答的题目可先跳过去，如果有时间再去思考，否则，你可能没有时间完成后面的题目。六、试题答错不倒扣分。停！请不要往下翻！听候监考老师的指示。否则，会影响你的成绩。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 16 页 共 37 页一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。1.已知，求 a 的取值范围（） 。A.B.C.D.3.下列各组向量中，互相垂直的是（） 。A.B.C.D.4.方程的实数根有（）个。A.1B.2C.3D.45.设直线平面，则（） 。A.平行于B.在上C.垂直于D.与相交但不垂直6.甲乙两人从 1，2，3，10 中各任取一个数（不重复），已知甲取到的数是 5 的倍数，则甲数大于乙数的概率为（）。A.B.C.D.7.最早用公理法建立演绎数学体系的最早典范是（） 。A.几何原本B.缉古算经C.海岛算经D.张丘建算经8.函数，中， 初等函数的个数为 （） 。A.2B.3C.4D.5二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得的曲线方程。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 17 页 共 37 页10.设二维随机变量具有概率密度：（1）求分布函数；（2）求概率。11.已知方程组。（1）系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2。其几何意义是什么？（2）系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 2。其几何意义是什么？12.义务教育数学课程标准（2011 年版） 描述“知识与技能”领域目标的行为动词，包括“了解” 、“理解” 、 “掌握” 、 “运用” ，请以“二次根式”概念为例，说明“理解的含义” 。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 18 页 共 37 页13.列举义务教育阶段因式分解的三种主要解法。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.方程组（1）为何值时，无解，有唯一或无穷多解？（2）在有无穷多解时写出方程组的通解。四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学的教学中培养学生的数据分析能力的意义。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 19 页 共 37 页五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.案例：已知，求的取值范围。（1）用“方程思想”方法， “函数思想”方法分别求解；（2）以这题为例，说一说“一题多解”的意义；六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）【来源：2019 年下半年 初中】 【21 年资格证 200 页题库】 【2022 资格证运营预测卷 3 套】17.“勾股定理”是初中数学教材中重要的内容。 义务教育数学课程标准（2011 年版） 要求“掌握勾股定理，理解勾股定理的证明过程” 。请完成下列任务：（1）勾股定理在中学数学课程中有哪些作用？（2）教学过程中渗透的主要数学思想方法有哪些？（3）设计一个导入，并说明设计意图。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 20 页 共 37 页参考参考答案答案及及解析解析一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.【答案】A【解析】依题意有：，故本题选 A。2.设，则是的（） 。A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点2.【答案】D【解析】判断函数在某一点连续性的方法：，由已知，可知是的连续点。故本题选 D。3.【答案】D【解析】A 选项，不垂直；B 选项， 不 垂 直 ； C 选 项 ， 不 垂 直 ； D 选 项 ，垂直。故本题选 D。4.【答案】B【 解 析 】 由 题 意 可 得 ， 方 程整 理 可 得 ， 即，由于一元二次方程的判别式小于 0，所以，一元二次方程无实数根，故方程的实数根为 0，。故本题选B。5.【答案】C【解析】直线的方向向量为，平面的法向量为，因此与平行，从而直线与平面垂直。故本题选 C。6.【答案】C【解析】甲乙两人从 1，2，3，10 中各任取一个数（不重复），甲取到的数是 5 的倍数，基本事数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 21 页 共 37 页件总数为 18，甲数小于乙数的基本事件为，所以甲数大于乙数的概率为。故本题选 C。7.【答案】A【解析】希腊欧几里得著几何原本 ，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范。故本题选 A。8.【答案】C【解析】常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。，均为初等函数，是符号函数，不是初等函数。所以初等函数有 4 个。故本题选 C。二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.【答案】【 解 析 】 设 椭 圆上 的 点在 矩 阵对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 点， 则，即，代入椭圆方程，得到，所以所求曲线的方程为。10.【答案】 （1）见解析； （2）【 解 析 】（ 1 ） 因 为所 以（ 2 ） 将看 作 是 平 面 上 随 机 点 的 坐 标 ， 即 有， 其 中平 面 为上 的 区 域 直 线 及 其 下 方 的 部 分 ， 于 是。11.【答案】 （1）见解析； （2）见解析【解析】 （1）由解析几何知：是空间内的一个平面，而是平面的法向量，是空间内的一个平面。当系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2 时，其几何意义是平面与平面平行而不重合； （2）系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 2 时，其几何意义为这两个平面不平行，因而一定相交。12.【参考答案】数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 22 页 共 37 页新课标中的理解是指对数学中的概念、定理、公式等的来龙去脉掌握得清楚些，也即在数学中我们既要知其然，也要知其所以然。以“二次根式”的概念为例，指的就是在教学过程中不是教师通过讲授的方法告诉学生什么是二次根式，也不是告诉学生纯粹的记忆方法，应该在教学中以启发引导法为主，让学生动手实践、合作交流，主动去探究归纳出二次根式的特征和规律，从而概括出二次根式的概念，在这样的过程中，学生能够参与到知识的形成过程中去，最终能深刻理解什么是二次根式。13.【参考答案】因式分解的方法有很多，常用的主要有提公因式法、公式法，十字相乘法。提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公式法：如果把乘法公式（平方差、立方差、立方和、完全平方公式等）反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。十字相乘法主要用于以上两种情况解决不了的问题或比较麻烦时，考虑采用的方法，是将二次项系数与常数项进行分解，采用十字相乘法凑出一次项的过程。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.【答案】 （1）见解析； （2）见解析【 解 析 】 方 程 组 改 写 为， 则 有 方 程 组的 增 广 矩 阵，当且时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解；（2），解为，通解为，为任意常数；当时，方程组无解。四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.【参考答案】数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。对于高中“统计”一章，学生经过数据分析的过程能够清晰明了的掌握平均数，众数，中位数，极差数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 23 页 共 37 页等概念，加深其理解。可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法；通过具体实例，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验。通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.【参考答案】（1）“方程思想”方法求解：，是方程的两根，即，或。“函数思想”方法求解：，代入到式子中可得，化简得到关于的函数为， 令， 即， 原式为， 求得的取值范围为或。（2）一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，即由多种途径获得同一数学问题的最终结论。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。而通过对典型例题和解题方法的挖掘，使知识不断向纵横两个方向发展，训练人的思维，培养人的学习习惯才是教育教学的最终目标。在高中数学的教育教学过程中，选好一道典例，通过一题多思，一题多解，一题多讲的活动，不仅可以巩固学生的知识点掌握，也能使相对枯燥乏味的数学课堂更加生动，充分调动了学生探究能力，提高积极性。更能强化思维的连贯性，知识的衔接，能够全面利用所学的知识解决实际问题。六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.【参考答案】（1） “勾股定理”是中学数学中一个非常重要的定理，很好的解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学中有关直角三角形的计算及证明问题，利用“勾股定理”往往能迎刃而解。此外“勾股定理”在中学数学和实际生活中都有广泛的应用，常与函数、圆、四边形、方程等知识综合在一起，因此在初中数学教学中应重视勾股定理的作用。（2）教学中既要掌握基础知识，也要注重数学思想方法。教材“勾股定理”的内容编排顺序大致为：方格纸呈现两个问题探究得到规律形成一般的猜想（用赵爽的弦图）对猜想进行证明定理的应用。此编排内容渗透的主要数学思想方法是一般化思想和数形结合的思想。（3）导入：利用多媒体介绍了在北京召开的 2002 年国际数学家大会的会标，其图案为“赵爽弦图”（多媒体呈现图片） ，并提问： “为什么用这个图案作为大会的会标呢？这个图案中有什么玄机吗？这就是我们这节课需要学习的内容” ，由此导入新课。【设计意图】这样的导入能够激发学生的兴趣和民族自豪感，它是课堂教学的重要一环。 “好的开始是成功的一半” ，在课的起始阶段迅速集中学生注意力，把他们的思绪带进特定的学习情境中，激发学生浓厚数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 24 页 共 37 页的学习兴趣和强烈的求知欲。多媒体展示这一有意义的图案，可有效开启学生思维的闸门，激励学生探究，使学生的学习状态由被动变为主动，在轻松愉悦的氛围中学到知识。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 25 页 共 37 页20222022 年上半年中小学年上半年中小学教师资格证考试教师资格证考试数学数学学科知识学科知识与教学能力与教学能力（初级中学初级中学）考前冲刺密卷考前冲刺密卷（三三）科目代码科目代码（30304 4）重要提示重要提示为维护您的个人权益，确保教师资格证考试的公平公正，请您协助我们监督考试实施工作。本场考试规定：监考老师要向本考场全体考生展示题本密封情况，并邀请 2 名考生代表验封签字后，方能开启试卷袋。请将此条形码揭下，请将此条形码揭下，贴在答题卡指定位置贴在答题卡指定位置条条形形码码粘粘贴贴处处准考证号姓名数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 26 页 共 37 页注意事项注意事项一、本试卷分满分 150 分，总时限 120 分钟，各部分不单独计时，答题时请注意合理分配时间。二、请按照要求在答题卡上填写好自己的姓名，涂写好准考证号，严禁折叠答题卡。三、必须在答题卡上答题：在题本上答题，一律无效。四、监考人员宣布考试开始时，方可答题；宣布考试结束时，应立即停止答题。题本、答题卡、草稿纸一律留在桌上，待监考人员确认数量无误，允许离开后，方可离开考场。如果违反了以上任何一项要求，都将影响你的成绩。五、在本套试卷中，可能有些试题较难，因此你不要在一道题上思考时间太久，遇到不会答的题目可先跳过去，如果有时间再去思考，否则，你可能没有时间完成后面的题目。六、试题答错不倒扣分。停！请不要往下翻！听候监考老师的指示。否则，会影响你的成绩。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 27 页 共 37 页一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选和未选均无分。1.设，则曲线（） 。A.仅有水平渐进线B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐进线又有垂直渐进线D.无渐进线2.方程表示的曲面是（） 。A.旋转双曲面B.旋转椭球面C.旋转抛物面D.椭圆抛物面3.分段函数在处，以下正确的是（） 。A.可导且B.可导不连续C.连续不可导D.既不连续也不可导4.曲线与的交线是（）A.抛物线B.双曲线C.圆D.椭圆5.在曲线的所有切线中与平面平行的切线有（） 。A.一条B.两条C.三条D.四条6.向量组，极大无关组所含向量的个数为（） 。A.0B.1C.2D.37.数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用（）予以表征。A.数学公式B.数学语言C.文字语言D.字母8.下图为平面直角坐标系的章节知识结构图，蕴含的数学思想不包含（） 。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 28 页 共 37 页A.数形结合B.转化C.映射D.极限二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）9.设为正实数，且。（1）求的最小值；（2）若，求的值。10.设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，试求。11.解线性方程组，其中为常数。为何值时，有无穷多解？写出方程组的通解。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 29 页 共 37 页12.数学学习的评价的根本目的是促进学生的发展。从学生、教师、家长等角度说明其实际意义。13.数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。请简述数学建模的应用和意义。三、解答题（本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分）14.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知当速度为 10 km/h，燃料费为每小时 6 元，而其他与速度无关的费用为每小时 96 元。问轮船的速度为多少时，每航行 1 km 所消耗的费用最小？四、论述题（本大题共 1 题，每题 15 分，共 15 分）15.简述函数与数学模型之间的关系。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 30 页 共 37 页五、案例分析题（本大题共 1 题，每题 20 分，共 20 分）16.以下是平方差公式一课的教学片段：师：我们已经用多项式乘法法则证明了平方差公式，现在我们能否用图形来证明平方差公式呢，这可是我们从来没有做过的，今天，我们可以大胆试一试看看从中能发现什么。生： （齐答）好！师：请大家拿起我们手头的纸卡（课前已准备） ，如图 1，同学们观察一下这种纸卡是什么图形？生：正方形。师：白色部分呢？生：也是正方形。师：请你动手把白色小正方形部分剪掉，然后求出所剩面积是多少？同学们自己独立思考下，再与小组同学交流（此时，学生开始动手探究，并与小组同学交流）师：哪个小组先来说一说？生： （代表小组发言）我们组是这样做的，先设大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积，就是剩余面积是。师：同学们再动手做一做，看看用什么方法能证明我们求得的面积是正确的，然后总结一下从中发现了什么，这个问题有一定的难度，还是小组合作学习吧！ （同学们开始合作学习，教师深入各组巡视指导，大约五分钟）师：哪个小组先来交流？生：我们小组把纸卡剩余部分分成两个长方形，再把这两个长方形如图 2，求得的这个长方形的面积与剩余面积正好相等。师：请说出你们小组的等式。生：。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 31 页 共 37 页师：那你们发现了什么呢？生：这两种计算方法构成的等式正好是平方差公式，说明平方差公式是正确的。师：那你们还发现了什么呢？生：代数问题也可以用几何方法来证明。师：同学们这一发现太重要了，这就是我们数形结合的思想，你们今天的表现太棒了！【问题】（1）分析此教学片落实了哪些数学核心的理念；（2）结合探究式教学理论阐述此教学片段的各教学环节的特色；（3）谈一谈你对上述教学过程的反思。六、教学设计题（本大题共 1 题，每题 30 分，共 30 分）17.平均数、中位数和众数是度量数据集中趋势的三个主要特征数，它们具有不同的特点和应用场合，掌握它们之间的关系和各自不同的特点，有助于我们在实际应用中选择合理的统计量来描述数据的集中趋势。请完成下列任务：（1）试说明平均数、中位数和众数的不同特点；（2）写出“平均数、中位数和众数的选用”这一课题的教学目标及重难点；（3）请你设计一道应用这三个特征数来解决的问题，并说明设计意图。数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 第 32 页 共 37 页参考参考答案答案及及解析解析一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.【答案】C【 解 析 】 由 于， 则是的 一 条 垂 直 渐 近 线 ； 又 因 为，所以是的一条水平渐近线。故既有水平渐近线又有垂直渐近线。故本题选 C。2.【答案】A【解析】常见的双曲面方程有：单叶双曲面；旋转单叶双曲面；双叶双曲面； 旋转双叶双曲面。 所以方程是一个旋转双叶双曲面。故本题选 A。3.【答案】A【解析】因为在，则函数在处连续，又因为在，即处的左导数等于右导数，并得出导数值等于 1。故本题选 A。4.【答案】C【解析】表示球心