微专题1 基本初等函数及其它重要函数讲义--高一上学期数学人教A版必修1.docx

微专题1：重要函数汇编及应用在高一上期的学习中，总是会遇到形形色色的课本上没有但反复出现的函数，比如双钩函数，飘带函数等. 然而学生们对这些函数的学习却又及其零散，缺少无法系统的总结和练习. 即将期末，就有必要将这些函数整理汇总，总结其性质和常见题型，从而加深认识，巩固提升！一二次函数二次函数以及和或者，.函数例1.若，求该函数的值域.例2.求函数的值域.二双勾函数1.对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数2.对勾函数的图象与性质（1）定义域 （2）值域当时，（当且仅当，即时取等号）来源:学_科_网当时，（当且仅当，即时取等号）则：函数的值域为（3）奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，则对勾函数为奇函数（4）单调性函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数（5）渐近线当时，当时，说明函数的的图象在第一、第三象限当时，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，说明函数在第三象限的图象在直线的下方. 双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线 二分式函数（1） 型.对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.（2） 型.对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.（3） 型.形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.（4） 型.形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ：换元分离常数反比例函数模型. ：换元分离常数（双勾函数、伪勾函数）模型. ：同时除以分子：的模型. ：分离常数的模型.共同点：让分式的分子变为常数上述函数多出现在二次函数恒成立或者存在性问题中，利用分离参数法，经常会得到上述分式函数.例2. 求函数的值域解析：设. 于是问题转化为求的值域，由对勾函数当时取等号，即.三指数型函数 假设且.（1）. 为偶函数 （2）.为奇函数（3）.为奇函数 （4）.可转化为（2）或（3） 例3.设，函数（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知（i）判断并证明函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围四对数型函数（1）.都是奇函数.（2）.是奇函数.（3）.(且)是偶函数.例4.已知函数是偶函数.(1).并求实数的值；(2).若方程有实数根，求的取值范围；(3).设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.1.常见的几类指数型函数模型： 假设且.(1). (2).(3). (4).(5).(6).2.常见的几类对数型函数模型：假设且.(1)(2)都是奇函数.(3)是奇函数.(4)(且)是偶函数.二典型例题分析例1已知奇函数，.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并进行证明；（3）若函数满足，求实数m的取值范围.分析与解：（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由奇函数的性质有，即可求参数a，并验证奇函数.（2）利用函数单调性的定义：取，结合解析式判断的符号即可；（3）根据的奇偶性得，再由单调性有，即可求m的范围.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即，可得.，则，符合题设.（2）证明：由（1）可知，.任取，则 ，即在上单调递增.（3）为奇函数，又在上是奇函数，可化为，又由（2）知在上单调递增，解得.例2已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的取值范围；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析与解: （1），；（2）.【分析】：（1）利用奇函数定义，在中，运用特殊值求，的值,再验证即可.（2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，然后参变量分离为：即在恒成立，设，最后求的最小值即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为函数是奇函数，所以有，即，解得，从而有.又由知，得.当，则，则，所以，即，所以为奇函数. 所以，.（2）由，由上式易知，函数在是单调递减函数，又函数是奇函数，从而不等式等价于，再由函数的单调性知，上述不等式等价于，即对一切，不等式总成立，即在恒成立.考察函数，是增函数，所以，所以满足题意的实数的取值范围是.例3.设，函数（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知（i）判断并证明函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围分析与解：（1）证明见解析；（2）（i）函数为上的单调增函数，证明见解析；（ii）.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；（2）先由，求得函数的定义域为（i）再利用函数单调性的定义证明； （ii）根据（i）知，函数为上的单调增函数，结合函数在区间上的值域是，得到，进而转化为关于的方程有两个互异实根求解【详解】（1）证明：因为，所以，由得函数的定义域为，又所以函数为定义域上的奇函数（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为（i）结论：函数为上的单调增函数证明：设对任意的，且，因为，所以即因为，所以，又，所以，即，所以函数为上的单调增函数（ii）因为，所以，从而又由知，所以，因为，由（i）知，函数为上的单调增函数因为函数在区间上的值域是，所以，即从而关于的方程有两个互异实根令，所以方程有两个互异正根所以，解得.例4.已知函数，其中为常数.（1）当时，求函数的值域；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.分析与解：（1）；（2）【分析】：.（1）令，易知，于是等价转化为求函数在R上的值域，再根据二次函数的性质计算可得；（2）设，故等价于，恒成立，即等价于对恒成立，令，利用函数的性质及基本不等式求出、，即可得解；【详解】解.（1）当时，令，易知，于是等价转化为求函数在R上的值域.因为，所以的值域为.（2）对，恒成立，即，恒成立，设，因为，所以.故等价于，恒成立，即等价于对恒成立，令，易知在上单调递增，所以.令，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，所以.所以，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 例5已知函数是偶函数.(1).并求实数的值；(2).若方程有实数根，求的取值范围；(3).设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.分析与解：（1）（2）的取值范围是；（3）的取值范围是。【分析】：（1）利用偶函数定义，由可以求出；（2）利用数形结合将方程有实数根转化为两个函数图像有交点，注意分离参数的技巧。（3）将函数图像有且仅有一个公共点，转化为方程只有一个正根，再用换元法转化为一元二次方程的根的分布问题。【详解】 解：（1）为偶函数，对任意，有， 对恒成立。对恒成立，对恒成立，（2）由题意知有实数根，即：有解。令，则函数的图像与直线有交点。，的取值范围是。（3）由（1）知，由题意知有且只有一个实数根。令，则关于的方程有且只有一个正根。若，则，不合题意，舍去；若，则方程的两根异号或方程有两相等正根。方程有两相等正根等价于，解得。方程的两根异号等价于，解得。综上所述，实数的取值范围是。例6.已知函数，函数是奇函数. (1).判断函数的奇偶性，并求实数的值;(2).若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围;(3).设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.分析与解：（1）是偶函数，；（2）；（3）.【详解】:（1） 函数的定义域为,任意有：是偶函数。是奇函数，得，则，经检验是奇函数，故。（2） ， 易知在上单调递增，且为奇函数， 对任意的，不等式，。即是恒成立，故时恒成立，显然,当且仅当时取最小值2。（3） ，由已知得，存在使不等式成立， 在上的最大值，而在上单调递增， ，即，可得，解得又，即。三归纳总结：四.总练习题:一、单选题1函数是的奇函数， 是常数不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为ABCD2若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为ABCD3二、解答题3已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）证明：无论为何值，在上为增函数；（3）解不等式：.4已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）若，且求的取值范围.5设函数（且）（1）若，判断的单调性（2）若，在的取值范围.6定义在上的奇函数，已知当时，（1）求在上的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围7已知函数，（且，为常数），若为上的奇函数，且满足（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）；（2）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围8已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值.9已知函数为奇函数，为偶函数（1）求的值（2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围10已知函数（1）求f（x）的定义域及单调区间；（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；（3）设函数，若不等式f（x）g（x）在x（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围11已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围12设函数，且（1）求的值；（2）若令，求实数t的取值范围；（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值13已知函数，.（1）求的值；（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）（3）若函数，且对，都有成立，求实数的取值范围.14已知函数是奇函数（1）求的值（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围参考答案1A【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把转化为，求解的最小值可得.【详解】因为是的奇函数，所以，所以；因为，所以可得，此时，易知为增函数.因为所以，即，因为，所以.故选A.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，最值问题常用基本不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2A【分析】先由函数解析式得函数在给定区间单调，根据题意列出方程，即可求出结果.【详解】易知在上单调，因此，在上的最值在区间端点处取得，由其最大值与最小值之和为可得，即，化简得，解得.故选A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数单调性的应用，熟记性质即可，属于常考题型.3（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）先根据求得，再检验即可得答案；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3），进而根据（1）（2）得为上增函数，奇函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】（1）因为为上奇函数，所以，即，解得，此时，检验满足，所以（2）.任取，则因为，所以，故.因此，在上为增函数.（3）令，由（1）（2）知，为上增函数，奇函数不等式，可化为，即.因为为上奇函数，所以，所以，又因为为上增函数，所以，解得所以不等式的解集为4（1）；（2）【分析】（1）根据，列出方程即可求得答案；（2）由，得，所以，然后逐步转化即可得到答案.【详解】（1）是奇函数，且定义域为，即，解得,经检验是奇函数；（2）由（1）得，又，即，解得，综上，.5（1）单调递增，理由见解析；（2）【分析】（1）由求出的范围，再判断单调性即可求解；（2）由求出的值，可得，再利用换元法求函数的值域即可.【详解】（1），又因为且，所以，是上的增函数，证明如下：设任意的，则，因为，所以单调递增，所以，而，所以，即，所以在上单调递增；（2）由，解得：或（舍），所以，所以，令，则因为在单调递增，所以，因为，对称轴为，开口向上，所以当时，所以，所以在的取值范围是.6（1）；（2）.【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最大值，从而可以求出结果.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，所以，解得，所以时，当时，所以，又，所以，即在上的解析式为.（2）因为时，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数，所以，故数的取值范围是.7（1），在上单调递增；（2）.【分析】（1）由奇函数定义得值，利用复合函数单调性可得的单调性；（2）利用奇偶性和单调性把不等式变形，再用分离参数法转化为求函数的最值【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，解得此时，即函数为上的奇函数由得，单调递减，且，因此单调递增，所以在上单调递增（2）因为函数为上的奇函数所以不等式可化为 由于为上的单调增函数所以不等式等价于因为，所以有恒成立又由于当时，（当且仅当时等号成立）所以8（1）；（2）.【分析】（1）使式子有有意义可得，解不等式组即可求解.（2），讨论的取值，利用对数函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）若有意义，则，解得，故的定义域为；（2）由于令，则时，无最小值. 时，在上是减函数，又，则，即，解得或（舍）故若函数的最小值为，则.9（1）；（2）【分析】（1）由为定义在上的奇函数，得，解得；再根据偶函数满足，比较系数可得，由此即可得到的值（2）依题意函数的解析式，即可求出，再根据的单调性，求出其最小值，依题意可得，再解对数不等式即可；【详解】解：（1）因为定义域为，且为奇函数，所以，解得，所以，则，所以为奇函数，故满足条件；又为偶函数，所以，即，即，即，所以，解得，所以（2）由（1），所以，又因为在区间上是增函数，所以当时，所以由题意，得，因此，实数的取值范围是：10（1）定义域为（1，3）；f（x）的单调增区间为（1，1，f（x）的单调减区间为1，3）；（2）当x1时，函数f（x）取最大值1；（3）a2【分析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；（2）根据函数的单调性即可求解；（3）将f（x）g（x）转化为x2ax10在x（0，3）上恒成立，即a（x）在x（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.【详解】解：（1）令2x3x20，解得：x（1，3），即f（x）的定义域为（1，3），令t2x3x2，则，为增函数，x（1，1时，t2x3x2为增函数；x1，3）时，t2x3x2为减函数；故f（x）的单调增区间为（1，1；f（x）的单调减区间为1，3）（2）由（1）知当x1时，t2x3x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）g（x）在x（0，3）上恒成立，则2x3x2（a2）x4在x（0，3）上恒成立，即x2ax10在x（0，3）上恒成立，即a（x）在x（0，3）上恒成立，当x（0，3）时，x2，则（x）2，故a211（1）；（2）.【分析】（1）利用偶函数的特点，得到关于的方程，解出;（2）对于任意x恒成立，即对于任意x恒成立，令，只需求出令的最小值即可，利用基本不等式及对数函数单调性来求最小值，从而得出 的范围.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以 ，即 ， ，解得 .（2）对于任意x恒成立，即，亦即对于任意x恒成立，令，则有 ，因为 ，所以，即 ，故 .【点睛】结合偶函数的特点来求解，可以利用特殊值；第二问中分离参数是解决恒成立问题的常用办法，特别注意式子的化简，利用基本不等式以及对数函数单调性求最小值.12（1）6；（2）；（3），此时；，此时【分析】（1）根据题目函数的解析式，代入计算函数值；（2）因为，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围；（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值.【详解】（1）；（2），又，所以t的取值范围为；（3）由，令，当时，即，解得，所以，此时；当时，即，此时【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值13（1）2021；（2）定义域为，函数在上为减函数；奇函数；（3）.【分析】(1)直接代入求值；（2）利用真数大于0求定义域，复合函数判断单调性，奇偶性的定义判断奇偶性；（3）用分离参数法求m的范围.【详解】解：（1）；（2）由有，函数的定义域为.，函数在上为减函数；，且定义域关于原点对称，函数为奇函数；（3）对，都有恒成立，由（2）知在上为减函数，令，则，当时，当即时，即，的取值范围为.【点睛】(1)函数单调性和奇偶性的判断一般用定义法；（2）含双量词的不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，若，总有成立，故；若，有成立，故；若，有成立，故；若，有，则的值域是值域的子集 14（1）；（2）.【分析】（1）根据奇函数的定义建立恒等式求解即可；（2）由原不等式可得，利用对数函数的单调性转化为，分类讨论求解.【详解】（1）是奇函数，由知即（2）由（1）知即恒成立，恒成立，则，恒成立所以又，综上所述，一取整函数：也称高斯函数若x为实数， 表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数俗称为的整数部分。举例如下：等与高斯函数相伴随的是的小数部分函数，规定：例1：画出函数的图像；例2：画出函数的图像.练习：1. （2009湖北）设xR，记不超过x的最大整数为x，令xxx，则，（）A是等差数列但不是等比数列 B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列也不是等比数列1.选：B【解答】解：根据题意可得，×12，+2，为等比数列，不是等差数列2. （2018西北工业大学附中）为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数2D【解析】由题意f(1.1)1.11.10.1，f(1.1)11.11.1(2)0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数又对任意整数a，有f(ax)axaxxxf(x)，故f(x)在R上为周期函数故选D3. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）A B方程有且仅有一个解 C是周期函数D 是增函数 3. 选C4.（韶关一中博雅班招生）对于实数，定义表示不大于的最大整数，如1.51，55，3.34，若，则的取值范围是 . key : 3 x < 5 5. . 二双勾函数1.对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数2.对勾函数的图象与性质（1）定义域 （2）值域当时，（当且仅当，即时取等号）来源:学_科_网当时，（当且仅当，即时取等号）则：函数的值域为（3）奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，则对勾函数为奇函数（4）单调性由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数（5）渐近线当时，当时，说明函数的的图象在第一、第三象限当时，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，说明函数在第三象限的图象在直线的下方(为什么？)双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线 三伪勾函数1.伪勾函数的定义：形如的函数，俗称伪勾函数2.例3：自主研究函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、零点3.归纳小结：你会研究函数的图像与性质吗？思考：例4：对比研究函数和函数的图像与性质；例5：对比研究函数和函数的图像与性质四 含双绝对值的函数例6：已知函数(1)证明：函数是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；(3)在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集例7：已知函数(1)证明：函数是奇函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；(3)利用图像法解不等式：拓展：1.研究函数的对称轴2.研究函数的对称中心练习：设函数为常数）（1）a=2时，讨论函数的单调性；来源:学,科,网（2）若a>-2，函数的最小值为2，求a的值五.分式型函数1.反比例函数： 。研究其定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、渐近线特殊地： 练习：1.求的值域思路：此函数可看为的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出的范围，再得到值域解： 2. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 本题可视为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，则，所以可得 2. ：对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解。注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用手段3. ：对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而用反解法进行求解。例1：求函数的值域； 参考答案：例2： 思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为的形式，从而求解解：令 ，进而可求出值域： 注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。例3：函数的值域为_所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域： 令 4. ：形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域5. ：形如可通过换元将问题转化为4，然后进行求解。例4：求函数的值域【解析】：设问题转化为求的值域由均值不等式当时取等号，即例5：求函数 的值域解：设， ， 6. ：同时除以分子：5的模型例6：求函数的值域点评：不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（）即可化归为上面的情形7. 分式函数的终极形式总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数例7：求函数的值域分子分母最高次均为2次，可考虑进行下分离常数：，从而转化为上面例子的问题例8：函数的值域为（ ）A. B. C. D. 观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于的二次方程（其中为参数）： ，因为函数的定义域为，所以的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当，方程为，无解；当时，二次方程有解的条件为，即得到关于的不等式，求解即可解：由可得: 函数的定义域为 的取值只需让方程有解即可(1)当时，不成立，故舍去(2)当时， 即： 综上所述：函数的值域为小炼有话说：对于二次分式，若函数的定义域为，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ：换元分离常数反比例函数模型 ：换元分离常数（双勾函数、伪勾函数）模型 ：同时除以分子：的模型 ：分离常数的模型共同点：让分式的分子变为常数练习：1.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数，例如：，设函数，则函数的值域为（ ）A. B. C. D. 思路：按的定义可知，若要求出，则要将确定里面的范围，所以若求的值域，则要知道的范围。观察到为偶函数，所以只需找到的值域即可，即成立，所以为奇函数，只需确定的范围即可。对中的分式进行分离常数可得：，当时，从而，所以，由。即，可得，再利用偶函数性质可得时，。当时，所以，综上所述：的值域为答案：B2.已知函数（其中）的值域是，求实数.解：函数的定义域为.将函数变形为：，即：其判别式不等式为：即： 而函数的值域是，即：，即： 对比两式得：，即，因，故：故：实数，. 一、定义域与值域例1（I）若函数的定义域为，求实数的取值范围（II）若函数的值域为，求实数的取值范围分析：（I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，（II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集当时，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求故实数的取值范围是评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合二、定义域与有意义例2（I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围（II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围分析：（I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得（II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集三、值域与函数值的变化范围例3（I）若函数的值域为，求实数的取值范围（II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围分析：（I）因为函数，所以，即的值域为，于是有，解得或（II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值四、单调区间与区间上单调例4（I）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围（II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围分析：（I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得（II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间五、主元与次元例5（I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围（II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围分析：（I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：i）当时，即时，只要，即，此时矛盾ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾iii）当时，即时，只要，即综上，实数的取值范围（II）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是（避免讨论！），解得或或评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化练习：若,不等式恒成立,求的取值范围Key：或（求范围，无论填空题还是解答题，结果都必须用集合或区间表示）六、分离与不分离-碰到不等式有解或恒成立问题时，往往转化为函数的最值来解决例6：设，当时，恒成立，求的取值范围分析思路1：（不分离出所求的参数）恒成立不等式为，只需，由于左端是关于的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法解法1：恒成立不等式为，令则对称轴为（1）当时，在单调递增， 即（2）当时，在单调递减，在单调递增 综上所述：评注：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。分析思路二：（分离参数）从另一个角度看，本题容易进行分离，所以也可考虑参变分离法解：（1）时，则 (由于系数符号未定，故分类讨论进行参变分离）令（换元时注意更新新元的取值范围） 则（2），不等式对任意的均成立（3），(注意不等号变号！）令,则 综上所述：对比一下：此题中，哪一种方法会更好？评注：（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比（2）最后确定的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对进行的，的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集七、有解与恒成立问题-1.0版：分离参数下例7.当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解: 由得（分离参数）.令，（双勾函数）易知在上是减函数，所以时，则.评注：1.“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立（1）恒成立； （2）恒成立2.“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可（1）有解； （2）有解八、有解与恒成立问题-2.0版：构造函数例8（I）若函数，当时，求的取值范围.（II）若函数，当时，函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围.()若函数，当时，函数的图像恒在函数的图像的下方，求的取值范围.分析：（I）依题意，由得，构造函数，后面的过程同例6；（）依题意，由函数的图像恒在函数的图像的上方，得，即，构造函数，后面的过程同例6；() 依题意，由函数的图像恒在函数的图像的下方，得，即，构造函数，后面的过程同例6。评注：1.若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上函数的图像在函数的图像上方，转化为构造新函数 ，使；2.若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上函数的图像在函数的图像下方，转化为构造新函数 ，使。九、有解与恒成立问题-3.0版：双变量不等式的处理套路例9（I）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围（II）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围分析：（I）设，则；于是，对于任意的时，恒成立即；容易知道，故（II）对任意的，都有恒成立，等价当时，；容易求得，于是，故练习：1.已知函数，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A . B . C . D . key: A2.韶关一中2024届高一上学期金太阳联考2021.11.11-数学第22题（压轴题）！设函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)若是偶函数，且，成立，求实数的取值范围 Key：评注：关于双变量的混合型的一些转化套路：对于任意和任意，使得成立，则只需；对于任意和任意，使得成立，则只需；对于任意，存在，使得成立，则只需；对于任意，存在，使得成立，则只需；设函数，存在，存在，使得成立，则只需；设函数，存在，存在，使得成立，则只需；设函数，对于任意，存在，使得成立，则只需：设函数在区间上的值域为，函数在区间上的值域为，则；设