余弦定理学案-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

高一下数学学案第10课时 余弦定理1. 【学习内容分析】单元知识结构图：正弦定理和余弦定理是直角三角形中边与角关系的推广和一般化，是对三角形边角关系的定量刻画，是三角形边角变化过程中的“不变性”，是三角形中边与角相互联系与转化的桥梁和纽带.正弦定理和余弦定理产生的背景主要有三个方面：一是三角形中边与角之间有确定的关系，因此定性的“大边对大角，大角对大边”应该可以定量刻画；二是由三角形全等的判定定理可知，如果三角形的三边或两边及其夹角或两角及一边确定，那么这个三角形的其他边和角随之确定；三是直角三角形中有明确的边角关系，这些边角关系也许可以推广到一般三角形中.2. 【学习目标】（1）通过创设问题情境，探究三角形的边角关系，体会特殊到一般，提升学生数学建模、数学抽象核心素养；（2）通过定理的证明过程，掌握余弦定理及其推论，体会转化与化归的思想方法，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养；（3）经历定理三种语言的相互结合和转化，解决简单的实际问题，并能应用余弦定理初步判断三角形的形状，体会数形结合的思想方法.3. 【学习重、难点】学习重点：余弦定理的证明.学习难点：余弦定理的探究过程.4. 【知识准备】余弦定理前测班级： 姓名： (1) 利用平面向量解决几何问题的一般步骤 建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的 ，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算研究几何元素之间的关系，如 等； 把 翻译成 .(2) 用向量表示几何关系数量关系：距离，即向量的 ，公式： ；角度，即向量的 ，公式： .位置关系：平行，即向量 ，公式： ；垂直，即向量 ，公式： .5. 知识输入第一阶段 推导余弦定理环节一：提出解三角形问题引入情境：如图所示，设无法到达的两个山峰的顶点分别为.其中，利用现代的测量工具可以测得地面上可到达的一点和其它任意一点的距离，也可以测得地面上可到达的一点和其它任意两点连线的夹角.那么我们如何获得两点间的距离呢？在地面上任取一点，三点可以构成一个三角形，然后借助三角形的边角关系来求解.通过测量，可以得到两边的长度和的大小.【问题1】思考能否将这一问题进一步抽象成数学问题？环节二：用向量法解决解三角形问题问题引导语：我们已经学习过用向量方法解决几何问题，通常要先用向量表示相应几何元素，通过向量运算研究其关系，并得到相应结论.【问题2】在中，已知和，求线段的长度.探究活动1：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题.追问1：画图并回答，如何用向量表示问题中的几何元素？追问2：几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？追问3：如何在向量运算中，运用已知量中的夹角？追问4：如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？【问题3】问题2中，已知量及未知量分别为三角形中的哪些元素？有何关系？一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.像这样，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.6. 知识加工第二阶段 理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理引导语：又可表示为，这就是余弦定理的内容.【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问1：如图，你有什么发现？追问2：用文字语言和符号语言分别表述定理？文字语言： 等于 .符号语言：在中，则： ； ； .追问3：余弦定理的公式结构具有什么样的特征？环节四：余弦定理的推广与应用探究活动2：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪些应用.【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问1：余弦定理涉及几个元素？可以用于解决几类问题？因此，余弦定理又有形式： ； ； .追问2：结合三角形全等判定定理回答，何时三角形具有唯一确定性？可利用手中工具验证一下.（三根定长吸管，及一个三角板）【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？追问1：若不为直角，与间又有什么关系？7. 知识输出第三阶段 应用余弦定理引导语：请同学们解决下列问题，并验证猜想.例1 在中，求的最大内角.小结：已知 时，可以利用余弦定理的公式变形.因为三角形 ，所以 .变式 在中，判断的形状并说明原因.小结：利用 ，可以判断三角形形状.若为锐角，则 ；若为 ，则.例2 在中，已知，求.小结：已知两边一角解三角形时，若解不唯一确定，可以利用三角形边的关系进行取舍.变式 在中，已知，求.小结：已知 时，若三角形可能 ，利用 ，可以检验解是否成立.8. 【反思与小结】【问题7】本节课我们学习了哪些内容？你有哪些收获？9. 【课后作业】基础作业：BCA1.如图，、两地之间隔着一座小山,现要测量、之间即将修建的一条隧道的长度.另选一个点,可以测得的数据有：，如何求，两地之间隧道的长度.2设的内角，的对边分别为，若，则（ ） A3B4C5D63.在中，则 ， .4.在中，内角，的对边分别为，且，则（ ） ABCD5在中，若，则 拓展作业：1在中，若，则的值为（ ） A B C D2 在中，角，所对的边为，且，则的值等于 3在中，角，所对的边分别为，.求的取值范围.7高一下数学学习指南第10课时 第 页学科网（北京）股份有限公司