7.3.1 复数的三角表示式（解析版）.docx
7.3.1复数的三角表示式导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.知道复数的模和辐角的定义2.会求复数的模和辐角主值3.能求出复数的三角形式【自主学习】知识点1 复数的三角形式1定义：r(cosisin)叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数zabi的辐角为了与三角形式区分开来，abi叫做复数的代数表示式，简称代数形式2非零复数z辐角的多值性以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数zabi的辐角，因此复数z的辐角是2k(kZ) (kZ)3辐角主值(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值(2)定义：适合0,2)的角叫辐角主值(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化复数zabir(cosisin)的两种表示式之间的关系为【合作探究】探究一 代数形式与三角形式的转换【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z12(cosisin)； (2)z2cosisin.解(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z12(cosisin)，复平面上点Z1(2cos，2sin)在第三象限(假定为锐角)，余弦“cos”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“”将变换到第三象限z12(cosisin)2cos()isin()(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(cos，sin)在第四象限(假定为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2”或“”将变换到第四象限z2cosisincos()isin()或z2cosisincos(2)isin(2)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点定名定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z3sinicos； (2)z4sinicos； (3)z5cos60°isin30°.解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(sin，cos)在第二象限(假定为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“”将变换到第二象限z3sinicoscos()isin()(2)不是三角形式，同理(1)可得z4sinicoscos()isin()(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5cos60°isin30°i(1i)×(cosisin)(cosisin)探究二 将复数的三角形式化为代数形式【例2】将复数化为代数形式为_【答案】i解析3i.归纳总结：将复数的三角形式r(cosisin)化为代数形式abi(a，bR)时，其中arcos，brsin.【练习2】复数的代数形式是 .【答案】33i解析：633i.探究三 复数的模与辐角主值【例3】求复数z1cosisin(<<2)的模与辐角主值解z1cosisin1(2cos21)2i·sincos2cos(cosisin)，<<2，<<，cos<0，式右端2cos(cosisin)2coscos()isin()，r2cos，z的辐角为2k(kZ)<<，<<2，argz.归纳总结：复数的三角形式zr(cosisin)中，模r0，为任意角，若为辐角主值，则0，2).【练习3】将z(<<3)化为三角形式，并求其辐角主值解：zcos2isin2.<<3，<2<6，<24<2，argz24.探究四 复数辐角的应用【例4】复数z满足arg(z3)，求|z6|z3i|最小值解由arg(z3)，知z3的轨迹是射线OA，则z轨迹应是平行于OA，且过点(3,0)的射线BM(如图)，|z6|z3i|就表示射线BM上点到点P(6,0)和点Q(0,3)距离之和，连接PQ与射线BM交于点N，当复数z在复平面内的点为N点时，|z6|z3i|所取的值最小，即|z6|z3i|PN|NQ|PQ|3，所求最小值3.归纳总结：解此类题的本质是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模(距离)和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便【练习4】已知|z2i|1，求arg(z4i)最大值解：|z2i|1，点Z轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆面如图，在其上任取一点Z，连接Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则为其对应的辐角主值，显然arg(z4i)最大值为.课后作业A组 基础题一、选择题1若复数z(ai)2的辐角主值是，则实数a的值是()A1B1CD【答案】B解析：z(ai)2(a21)2ai，argz，a1，故选B.2设<<，则复数的辐角主值为()A23B32C3D3【答案】B解析：cos3isin3.<<，3<3<，<32<，故选B.3设复数2i和3i的辐角主值分别为，则等于()A135°B315°C675°D585°【答案】C4复数z满足，复数z的辐角为30°，复数z的模为()A1B1CD【答案】A解析：设zr(cos30°isin30°)，代入r·(cos30°isin30°)1，得r1.5复数sin 50°isin 140°的辐角的主值是()A150°B40°C40°D320°【答案】Dsin 50°isin 140°cos(270°50°)isin(180°140°)cos 320°isin 320°.6若复数cos isin 和sin icos 相等，则的值为()A B或C2k(kZ)Dk(kZ)【答案】D因为cos isin sin icos ，所以cos sin ，即tan 1，所以k，(kZ)7(多选)复数z3i化为三角形式正确的是()Az2(cosisin)Bz2(cosisin)Cz2(cosisin)Dz2(cosisin)【答案】AD解析：z3i2(i)2(cosisin)2(cosisin)，故选AD.二、填空题8复数的代数形式是 .【答案】i解析：cosisini.9已知复数z满足z2iz32ai(aR)，且<argz<，则a的取值范围为 .【答案】<a<010已知zcosisin，则arg z2_.【答案】因为arg z，所以arg z22arg z2×.三、解答题11下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式(1)； (2)sinicos.解：(1)不是2222.(2)不是sinicoscosisincosisin.12已知复数z满足等式，且argz，求z.解：设zr(cosisin)rri(r>0)，即3r24r40.解得r，z1i.B组 能力提升一、选择题1若复数z(ai)2的辐角的主值是，则实数a的值是()A1B1CD【答案】B因为z(ai)2(a21)2ai，arg z，所以所以a1，故选B2设，则复数的辐角的主值为()A23B32C3D3【答案】Bcos 3isin 3.因为，所以33，所以32，故选B二、填空题3已知复数z的模为2，实部为，则复数z的代数形式和三角形式为 【答案】zi或zi.解：方法一：由题，可设zbi(bR)|z|2，2，解得b±1，zi或zi.化为三角形式，得z2或z2.方法二：由题，可设z2(cosisin)(02)复数z的实部为，2cos，即cos，或，z2或z2.化为代数形式，得zi或zi.三、解答题4把下列复数转化为三角形式(1)1；(2)2i.解：(1)r1，辐角主值为arg(1)，所以1cosisin.(2)r2，辐角主值为arg(2i)，所以2i2(cosisin)5设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为、.若AOB的重心G对应的复数为i，求tan()解由题意可设z1cos isin ，z2cos isin .因为AOB的重心G对应的复数为i，所以i，即所以所以tan，故tan().6已知复数z1cosisin，z2sinicos，当0,2)，求arg(z1z2)的值解：z1z2(cossin)(cossin)i2cos()2icos()2cos()(cosisin)(1)cos()>0，即0，)(，2)，arg(z1z2).(2)cos()0，即，arg(z1z2)0,2)(3)cos()<0，即(，)，arg(z1z2).
