2021-2022学年福建省永春第一中学高二3月线上考试数学试题解析.doc

2021-2022学年福建省永春第一中学高二3月线上考试数学试题一、单选题1函数在点处的瞬时变化率估计是（       ）A2B3C4D5【答案】B【分析】求得函数的导数，代入，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，当时，可得.故选：B.2正方体的8个顶点可以确定的不同的有向线段的个数是（       ）A64B56C512D16【答案】B【分析】从8个顶点选出2个，再排序即可得出结论【详解】解：正方体的8个顶点可以确定的不同的有向线段的个数是，故选：B3设随机变量，若，则（       ）ABCD【答案】D【解析】根据随机变量，正态曲线关于对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，即可求出结果.【详解】随机变量，正态曲线关于对称，故选：D.【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题4甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（       ）ABCD【答案】C【分析】根据甲、乙、丙三人到三个景点旅游，甲独自去一个景点有3种，乙、丙有种，得到B事件“甲独自去一个景点”可能性，再求得A事件“三个人去的景点不相同”的可能性，然后利用条件概率求解.【详解】甲独自去一个景点有3种，乙、丙有种，则B“甲独自去一个景点”，共有种，A“三个人去的景点不相同”，共有种，所以概率P(A|B) .故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5方程的解集为（       ）ABCD【答案】A【分析】根据组合数的性质，列出方程组，即可求解.【详解】因为，根据组合数的性质，可得或，即或，解得.即方程的解集为.故选：A.6外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连且二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（       ）ABCD【答案】A【分析】根据排列数，利用捆绑法和插空法，结合概率公式即可的得解.【详解】首先总的情况为，一班的三位序号相连且二班的同学序号不相连的情况数为：，所以概率是.故选：A7若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（       ）ABCD【答案】C【解析】利用导数求出函数的极小值为，由题意可知，再由求得的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】解：由题意，当或时，；当时，.故在，上是增函数，在上是减函数，所以，函数的极小值为.作其图象如图，令得，解得或，结合图象可知，解得，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数的极小值点在区间内，通过求得，数形结合得出实数所满足的不等式组，综合性较强.8已知曲线C1：y2tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：yex11也相切，则t的值为()A4e2B4eCD【答案】A【详解】由y，得y，则切线斜率为k，所以切线方程为y2 ，即yx1.设切线与曲线yex11的切点为(x0，y0)由yex11，得yex1，则由ex01，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y1，即yxln1，所以由题意，得ln11，即ln2，解得t4e2，故选A.二、多选题9（多选题）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是（       ）A样本中支出在元的频率为0.03B样本中支出不少于40元的人数为132Cn的值为200D若该校有2000名学生，则定有600人支出在元【答案】BC【解析】根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定.【详解】样本中支出在元的频率为，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；，故n的值为200，故C正确；若该校有2000名学生，则可能有600人支出在50，60）元，故D错误.故选：BC.【点睛】此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征.10给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）ABCD【答案】ABC【分析】利用凸函数的定义逐个分析判断即可【详解】解：对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以A正确；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以B正确；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以C正确；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，所以D不合题意，故选：ABC11已知的展开式中奇数项的二项式系数之和为64，则（       ）AB所有项的系数和为0C偶数项的系数之和为D展开式的中间项为和【答案】ABC【分析】由题意得到，可判定A正确；令，求得展开式中所有项的系数的和，可判定B正确；设二项展开式为，分别令和，求得偶数项的系数和，可判定C正确；利用展开式的通项，求得展开式的中间项，可判定D错误.【详解】由题意，二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为64，可得，解得，所以A正确；由，可得二项式为，令，可得，即展开式中所有项的系数的和为，所以B正确；设二项展开式为，令，可得，令，可得，两式相加，可得，可得，所以偶数项的系数之和为，所以C正确；由二项式展开式的通项为，当时，；当时，即展开式的中间项为和，所以D错误.故选：ABC.12已知函数，表示的曲线过原点，且此曲线在的切线的斜率均为，则以下命题正确的是（       ）A，B的极值点有且仅有一个C的极大值为D的最大值与最小值之和等于零【答案】ACD【分析】根据题意得出关于、的方程组，求出、的值，可判断A选项的正误，利用导数可判断B、C、D的正误，综合可得出结论.【详解】，由题意可得，解得，则，令，得.当或时，；当时，.所以，函数有两个极值点，且函数的极大值为，极小值为.，所以，.所以，函数的最大值和最小值之和为零.综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误.故选：ACD.三、填空题13已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=_【答案】【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力14已知函数在处有极大值，则常数c的值为_.【答案】【分析】求得函数的导函数，根据在处有极大值，求得的值.【详解】依题意，所以，依题意，解得或.当时，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极小值，不符合题意.当时，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极大值，符合题意.故常数的值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题.15在的展开式中，含有项的系数是_【答案】【分析】根据组合数的计算性质，即可求解.【详解】由的展开式中，可得项的系数.故答案为：.16已知函数，则的最小值是_【答案】【详解】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.四、解答题17已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程【答案】（1）；（2）.【分析】（1）运用函数乘积的求导法则即可求出导数；（2）求导后计算出切线斜率，然后计算出切线方程.【详解】（1）由题意，故函数的导数为（2）易知所求切线的斜率存在，设斜率为，则，又当时，所以切点为（1,0），则切线的方程为即，故这个函数的图象在处的切线方程为.18已知（1）求展开式中含x的项；（2）求展开式中所有的有理项【答案】（1）；（2）有理项分别为，【分析】（1）利用通项公式即可得到展开式中含x的项；（2）要求展开式中所有的有理项，只需要让为整数可求的值，当，4，8时，进而可求得有理项.【详解】（1），令得，所以含x的项为；（2）令，且，则k=0或k=4或k=8，所以展开式中的有理项分别为，19某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）米【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得米（2）设总造价为万元，设，(0舍去)当时，；当时，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.20甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为，所以，需要进行第五场比赛的概率为；（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：、，所以，甲赢的概率为.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为.【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.21某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图，以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求，确定n的最小值.【答案】(1)分布列见解析(2)19【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；（2）根据（1）计算，结合求解.【详解】(1)解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由（1）知，所以满足时，n的最小值为19.22已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.第 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