(学案)平面向量基本定理及坐标表示.docx

平面向量基本定理及坐标表示【第一学时】学习重难点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1基底中两个向量可以共线吗？2平面向量基本定理的内容是什么？二、合作探究1平面向量基本定理的理解例1：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_（写出满足条件的序号）解析：设e1e2e1，则无解，所以e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底设e12e2（e22e1），则（12）e1（2）e20，则无解，所以e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底因为e12e2（4e22e1），所以e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底设e1e2（e1e2），则（1）e1（1）e20，则无解，所以e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一组基底答案：2用基底表示平面向量例2：如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用基底a，b表示向量，解：abba互动探究：（1）变问法：本例条件不变，试用基底a，b表示解：由平面几何知识知BGBF，故aabaab（2）变条件：若将本例中的向量“，”换为“，”，即若a，b，试用基底a，b表示向量，解：222ba222ab3平面向量基本定理的应用例3：如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN解：设e1，e2，则3e2e1，2e1e2因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得e13e2，2e1e2故（2）e1（3）e2而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得所以，所以APPM41，BPPN32互动探究：1变问法：在本例条件下，若a，b，试用a，b表示解：由本例解析知BPPN32，则，b（）babba2变条件：若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求APPM与BPPN解：如图，设e1，e2，则2e2e1，2e1e2因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得e12e2，2e1e2故（2）e1（2）e2而2e12e2，由平面向量基本定理，得解得所以，所以APPM2，BPPN2三、学习小结平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底若e1，e2不共线，把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底四、精炼反馈1如图在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则（）A（5e13e2）B（5e13e2）C（3e25e1）D（5e23e1）解析：选A（）（）（5e13e2）2已知非零向量，不共线，且2xy，若（R），则x，y满足的关系是（）Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：选A由，得（），即（1）又2xy，所以消去得xy23如图，在平行四边形ABCD中，设a，b，试用基底a，b表示，解：法一：设AC，BD交于点O，则有a，b所以ab，ab法二：设x，y，则y，又所以解得xab，yab，即ab，ab【第二学时】学习重难点学习目标核心素养平面向量的坐标表示理解向量正交分解以及坐标表示的意义数学抽象、直观想象平面向量加、减运算的坐标表示掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则数学运算平面向量数乘运算的坐标表示理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1怎样分解一个向量才为正交分解？2如何求两个向量和、差的向量的坐标？3一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？4若a（x，y），则a的坐标是什么？二、合作探究1平面向量的坐标表示例1：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60°，（1）求向量的坐标；（2）若B（，1），求的坐标解：（1）设点A（x，y），则x|cos 60°4cos 60°2，y|sin 60°4sin 60°6，即A（2，6），所以（2，6）（2）（2，6）（，1）（，7）2平面向量的坐标运算例2：（1）已知向量a（5，2），b（4，3），若c满足3a2bc0，则c（）A（23，12）B（23，12）C（7，0）D（7，0）（2）已知A（2，4），B（3，1），C（3，4），且3，2，求点M，N的坐标解：（1）选A因为a（5，2），b（4，3），且c满足3a2bc0，所以c2b3a2（4，3）3（5，2）（815，66）（23，12）（2）法一：因为A（2，4），B（3，1），C（3，4），所以（2，4）（3，4）（1，8），（3，1）（3，4）（6，3）因为3 ，2 ，所以3（1，8）（3，24），2（6，3）（12，6）设M（x1，y1），N（x2，y2），所以（x13，y14）（3，24），（x23，y24）（12，6），所以解得所以M（0，20），N（9，2）法二：设O为坐标原点，则由3 ，2 ，可得3（），2（），所以3 2 ，2 所以3（2，4）2（3，4）（0，20），2（3，1）（3，4）（9，2）所以M（0，20），N（9，2）3向量坐标运算的综合应用例3：已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），及t（1）t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？（2）四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由解：（1）t（1，2）t（3，3）（13t，23t）若点P在x轴上，则23t0，所以t若点P在y轴上，则13t0，所以t若点P在第二象限，则所以t（2）（1，2），（33t，33t）若四边形OABP为平行四边形，则，所以该方程组无解故四边形OABP不能为平行四边形互动探究：变问法：若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？解：由t，得t所以当t2时，2，B为线段AP的中点4向量共线的判定（1）已知向量a（1，2），b（3，4）若（3ab）（akb），则k_（2）已知A（1，1），B（1，3），C（2，5），判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：（1）3ab（0，10），akb（13k，24k），因为（3ab）（akb），所以0（1030k）0，所以k故填（2）因为（1（1），3（1）（2，4），（2（1），5（1）（3，6），因为2×63×40，所以，所以与共线又，所以与的方向相同互动探究：变问法：若本例（1）条件不变，判断向量（3ab）与（akb）是反向还是同向？解：由向量（3ab）与（akb）共线，得k，所以3ab（3，6）（3，4）（0，10），akbab（1，2）（3，4）（0，10），所以向量（3ab）与（akb）同向5三点共线问题（1）已知（3，4），（7，12），（9，16），求证：点A，B，C共线；（2）设向量（k，12），（4，5），（10，k），求当k为何值时，A，B，C三点共线解：（1）证明：由题意知（4，8），（6，12），所以，即与共线又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线（2）法一：因为A，B，C三点共线，即与共线，所以存在实数（R），使得因为（4k，7），（10k，k12），所以（4k，7）（10k，k12），即解得k2或k11所以当k2或k11时，A，B，C三点共线法二：由已知得与共线，因为（4k，7），（10k，k12），所以（4k）（k12）7（10k）0，所以k29k220，解得k2或k11所以当k2或k11时，A，B，C三点共线6向量共线的应用如图所示，在AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），AD与BC相交于点M，求点M的坐标解：因为（0，5），所以C因为（4，3），所以D设M（x，y），则（x，y5），因为，所以x2（y5）0，即7x4y20又，因为，所以x40，即7x16y20联立解得x，y2，故点M的坐标为三、学习小结1平面向量坐标的相关概念2平面向量的坐标运算（1）若a（x1，y1），b（x2，y2），R，则ab（x1x2，y1y2）；ab（x1x2，y1y2）；a（x1，y1）（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标3两向量共线的充要条件设a（x1，y1），b（x2，y2），其中b0则a，b（b0）共线的充要条件是x1y2x2y10四、精炼反馈1已知向量a（2，4），b（1，1），则2ab（）A（5，7）B（5，9）C（3，7）D（3，9）答案：A2已知A（1，2），B（2，3），C（2，0），D（x，y），且2，则xy_解析：因为（2，0）（1，2）（1，2），（x，y）（2，3）（x2，y3），又2，即（2x4，2y6）（1，2），所以解得所以xy答案：3已知点B（1，0）是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b（3，4），c（1，1）与a的关系为a3b2c，求向量a的起点坐标解：a3b2c3（3，4）2（1，1）（7，10），设a的起点为A（x，y），则a（1x，y），所以所以所以A（8，10）即a的起点坐标为（8，10）4已知向量a（1，2），b（m，4），且ab，那么2ab（）A（4，0）B（0，4）C（4，8）D（4，8）解析：选C因为向量a（1，2），b（m，4），且ab，所以1×4（2）×m，所以m2，所以2ab（2m，44）（4，8）5若三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，则下列式子一定正确的是（）A2mn3Bnm1Cm3，n5Dm2n3解析：选A因为三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，所以，所以（1，m3）（2，n3），所以，所以m3（n3），即2mn36平面内给定三个向量a（3，2），b（1，2），c（4，1）（1）求满足ambnc的实数m，n的值；（2）若（akc）（2ba），求实数k的值解：（1）因为ambnc，所以（3，2）m（1，2）n（4，1）（m4n，2mn）所以解得（2）因为（akc）（2ba），又akc（34k，2k），2ba（5，2），所以2×（34k）（5）×（2k）0所以k【第三学时】学习重难点学习目标核心素养平面向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1平面向量数量积的坐标表示是什么？2如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？二、合作探究1数量积的坐标运算例1：已知向量a（1，1），b（1，2），则（2ab）·a（）A1B0C1D2解析：因为a（1，1），b（1，2），所以（2ab）·a（1，0）·（1，1）1答案：C2平面向量的模例2：（1）设平面向量a（1，2），b（2，y），若ab则|3ab|等于（）ABCD（2）已知|a|2，b（2，3），若ab，求ab的坐标及|ab|解：（1）选A因为ab，所以1×y2×（2）0，解得y4，从而3ab（1，2），|3ab|（2）设a（x，y），则由|a|2，得x2y252由ab，解得2x3y0联立，解得或所以a（6，4）或a（6，4）所以ab（8，1）或ab（4，7），所以|ab|3平面向量的夹角（垂直）例3：已知a（4，3），b（1，2）（1）求a与b夹角的余弦值；（2）若（ab）（2ab），求实数的值解：（1）因为a·b4×（1）3×22，|a|5，|b|，设a与b的夹角为，所以cos （2）因为ab（4，32），2ab（7，8），又（ab）（2ab），所以7（4）8（32）0，所以 三、学习小结1平面向量数量积的坐标表示已知a（x1，y1），b（x2，y2），则a·bx1x2y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2两个公式、一个充要条件（1）向量的模长公式：若a（x，y），则|a|（2）向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a（x1，y1），b（x2，y2），是a与b的夹角，则cos （3）两个向量垂直的充要条件设非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），则abx1x2y1y20四、精炼反馈1已知向量a（2，0），ab（3，1），则下列结论正确的是（）Aa·b2BabCb（ab）D|a|b|解析：选C因为向量a（2，0），ab（3，1），设b（x，y），则解得所以b（1，1），ab（1，1），b·（ab）1×1（1）×（1）0，所以b（ab）2在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，（1，2），（2，1），则·_解析：由四边形ABCD为平行四边形，知（3，1），故·（2，1）·（3，1）5答案：53已知a（1，），b（2，m）（1）当3a2b与a垂直时，求m的值；（2）当a与b的夹角为120°时，求m的值解：（1）由题意得3a2b（1，32m），由3a2b与a垂直，得192m0，所以m（2）由题意得|a|2，|b|，a·b2m，所以cos 120°，整理得2m0，化简得m22m0，解得m2或m0（舍去）所以m2