指数函数及其性质的应用教材课件.ppt

第2课时 指数函数及其性质的应用类型类型 一一 指数函数的图象变换问题指数函数的图象变换问题 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013吉林高一检测吉林高一检测)函数函数 (0a1)(0a1)的图象的大致形的图象的大致形状是状是()()2.2.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y y2 2x x的图象经的图象经过怎样的变换得到的过怎样的变换得到的(1)y(1)y2 2x x1 1.(2)y.(2)y2 2x x1.(3)y1.(3)y2 2|x|x|.(4)y.(4)y2 2x x.【解题探究解题探究】1.1.当函数解析式中含有绝对值符号时，处理函当函数解析式中含有绝对值符号时，处理函数图象问题的一般思路是什么？数图象问题的一般思路是什么？2.2.已知函数已知函数f(xf(x)的图象，如何用变换的方法画出函数的图象，如何用变换的方法画出函数f(xf(xa)a)(a(a0),f(x)0),f(x)b(bb(b0),f(|x|),-f(x)0),f(|x|),-f(x)的图象的图象?探究提示：探究提示：1.1.一般思路：去绝对值符号，化为分段函数处理一般思路：去绝对值符号，化为分段函数处理.2.2.由函数由函数f(xf(x)的图象画函数的图象画函数f(xf(xa)(aa)(a0)0)的图象，遵循的图象，遵循“左左加右减加右减”的法则；画函数的法则；画函数f(x)f(x)b(bb(b0)0)的图象的图象,遵循遵循“上加上加下减下减”的法则的法则;画函数画函数f(|xf(|x|)|)的图象，可将函数的图象，可将函数y=y=f(xf(x)，y y轴轴右侧的图象沿右侧的图象沿y y轴翻折到轴翻折到y y轴左侧替代轴左侧替代y y轴左侧的图象，并保留轴左侧的图象，并保留y=y=f(xf(x)在在y y轴右侧部分的图象；画函数轴右侧部分的图象；画函数-f(xf(x)的图象，根据的图象，根据f(xf(x)的图象与的图象与-f(xf(x)的图象关于的图象关于x x轴对称画出轴对称画出.【解析解析】1.1.选选D.D.当当x x0 0时，时，y=ay=ax x(0a1)(0a1)；由此可以画出函数在由此可以画出函数在y y轴右侧的图象轴右侧的图象.当当x x0 0时，时，y=-ay=-ax x(0a1).(0a0,a1)0,a1)常见的两种图象变换常见的两种图象变换(1)(1)平移变换平移变换(0),0),如图如图1 1所示所示.(2)(2)对称变换对称变换,如图如图2 2所示所示.2.2.两类常见的翻折变换两类常见的翻折变换(1)(1)函数函数y=|y=|f(xf(x)|)|的图象可以将函数的图象可以将函数y=y=f(xf(x)的图象的的图象的x x轴下方轴下方部分沿部分沿x x轴翻折到轴翻折到x x轴上方，去掉原轴上方，去掉原x x轴下方部分，并保留轴下方部分，并保留y=y=f(xf(x)的的x x轴上方部分即可得到轴上方部分即可得到.(2)(2)函数函数y=y=f(|xf(|x|)|)的图象可以将函数的图象可以将函数y=y=f(xf(x)的图象右侧部分沿的图象右侧部分沿y y轴翻折到轴翻折到y y轴左侧替代原轴左侧替代原y y轴左侧部分并保留轴左侧部分并保留y=y=f(xf(x)在在y y轴右轴右侧部分即可得到侧部分即可得到.【变式训练变式训练】要得到函数要得到函数y=8y=82 2x x的图象，只需将函数的图象，只需将函数y=()y=()x x的图象的图象()()A.A.向右平移向右平移3 3个单位个单位 B.B.向左平移向左平移3 3个单位个单位C.C.向右平移向右平移8 8个单位个单位 D.D.向左平移向左平移8 8个单位个单位【解析解析】选选A.yA.y=8=82 2x x=()=()3 3()()x x=()=()x x3 3，将函数将函数y=()y=()x x的图象向右平移的图象向右平移3 3个单位可以得到函数个单位可以得到函数y=()y=()x x3 3，即函数，即函数y=8y=82 2x x的图象的图象.类型类型 二二 指数函数单调性的综合应用指数函数单调性的综合应用 【典型例题典型例题】1.1.函数函数 的定义域为的定义域为_._.2.2.比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：(1)(1)(2)1.9(2)1.90.30.3与与1.91.92.32.3.(3)(3)【解题探究解题探究】1.1.利用指数函数的单调性求解不等式的依据是利用指数函数的单调性求解不等式的依据是什么？什么？2.2.利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么？利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么？探究提示：探究提示：1.1.对于形如对于形如a af(xf(x)a ag(xg(x)(或或a af(xf(x)a ag(xg(x)的不等式，当的不等式，当a a1 1时，转时，转化为化为f(xf(x)g(xg(x)()(或或f(xf(x)g(xg(x););当当0 0a a1 1时，转化为时，转化为f(xf(x)g(xg(x)()(或或f(xf(x)g(xg(x).).2.2.若函数若函数y=y=f(xf(x)在区间在区间D D上是增函数，则对于任意的上是增函数，则对于任意的x x1 1，x x2 2DD，由由x x1 1x x2 2可得可得f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)，反之亦然；若函数，反之亦然；若函数y=y=f(xf(x)在区间在区间D D上上是减函数，则对于任意的是减函数，则对于任意的x x1 1，x x2 2DD，由，由x x1 1x x2 2可得可得f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)，反之亦然，反之亦然.【解析解析】1.1.由由3 32x2x1 1 0 0得得3 32x2x1 1332 2.因为函数因为函数y=3y=3x x在在R R上是增函数上是增函数,所以所以2x2x112 2故故xx所以函数所以函数 的定义域为的定义域为 +).+).答案：答案：+)+)2.(1)()2.(1)()0.240.24与与 可以看作函数可以看作函数y=()y=()x x的两个函数值的两个函数值.由由于于0 0 1 1，所以指数函数，所以指数函数y=()y=()x x在在R R上是减函数上是减函数.因为因为0.240.24 所以所以()()0.240.24(2)1.9(2)1.90.30.3与与1.91.92.32.3可以看作函数可以看作函数y=1.9y=1.9x x的两个函数值的两个函数值.由于底数由于底数1.91.91 1，所以指数函数，所以指数函数y=1.9y=1.9x x在在R R上是增函数上是增函数.因为因为0.30.32.32.3，所以，所以1.91.90.30.31.91.92.32.3.(3)(3)因为函数因为函数y=()y=()x x在在R R上是减函数，上是减函数，所以所以 ()()0 0=1,=1,因为函数因为函数y=()y=()x x在在R R上是增函数，上是增函数，所以所以 ()()0 0=1,=1,所以所以【拓展提升拓展提升】1.1.指数型不等式的解法和注意事项指数型不等式的解法和注意事项(1)(1)指数型不等式指数型不等式a af(xf(x)a ag(xg(x)的解法：的解法：当当a a1 1时，时，f(xf(x)g(xg(x)；当当0 0a a1 1时，时，f(xf(x)g(xg(x).).(2)(2)注意将不等式两边的底数进行统一：注意将不等式两边的底数进行统一：如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形，如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形，此时常用到以下结论此时常用到以下结论:1=a:1=a0 0(a(a0,0,且且a1)a1)，a a-x-x=()=()x x(a(a0 0且且a1)a1)等等.2.2.比较幂值大小的三种类型及处理方法比较幂值大小的三种类型及处理方法【变式训练变式训练】(2013(2013漳州高一检测漳州高一检测)设设a=2a=20.30.3,b=0.3,b=0.32 2,c=()c=()1.51.5，则，则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是()()A.aA.abc bc B.bB.bcacaC.cC.cba ba D.bD.bacac【解题指南解题指南】解答本题首先要注意选用中间量解答本题首先要注意选用中间量“1 1”，然后，然后要注意将要注意将c=()c=()1.51.5进行恰当的变形进行恰当的变形.【解析解析】选选D.cD.c=()=()1.51.5=2=21.51.5，2 20.30.3与与2 21.51.5可以看作函数可以看作函数y=2y=2x x的两个函数值的两个函数值.由于底数由于底数2 21 1，所以指数函数所以指数函数y=2y=2x x在在R R上是增函数上是增函数.因为因为0 00.30.31.51.5，所以，所以1=21=20 02 20.30.32 21.51.5，即，即a ac.c.又又b=0.3b=0.32 2=0.09=0.091 1，所以，所以bac.bac.类型类型 三三 指数函数性质的综合应用问题指数函数性质的综合应用问题 【典型例题典型例题】1.1.已知函数已知函数 为奇函数，则为奇函数，则m m的值等于的值等于_._.2.(20132.(2013福州高一检测福州高一检测)已知函数已知函数(1)(1)证明证明f(xf(x)为奇函数为奇函数.(2)(2)判断判断f(xf(x)的单调性，并用定义加以证明的单调性，并用定义加以证明.(3)(3)求求f(xf(x)的值域的值域.【解题探究解题探究】1.1.若函数若函数f(xf(x)是奇函数且是奇函数且f(0)f(0)有意义，则有意义，则f(0)f(0)的值是多少？的值是多少？2.(1)2.(1)判断函数奇偶性的基本步骤是什么？判断函数奇偶性的基本步骤是什么？(2)(2)定义法证明函定义法证明函数单调性的基本步骤是什么？数单调性的基本步骤是什么？(3)(3)分式型函数如何进行恰当变分式型函数如何进行恰当变形后可以更容易求值域？形后可以更容易求值域？探究提示：探究提示：1.1.若函数若函数f(xf(x)是奇函数且是奇函数且f(0)f(0)有意义，则有意义，则f(0)=0.f(0)=0.2.(1)2.(1)先求定义域，再判断先求定义域，再判断f(f(x)x)与与f(xf(x)是否相等或互为相反是否相等或互为相反数数.(2)(2)定义法证明函数单调性的基本步骤定义法证明函数单调性的基本步骤:设元、作差、变形、判号、下结论设元、作差、变形、判号、下结论.(3)(3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母或分母)含含有未知数的形式更容易求值域有未知数的形式更容易求值域.【解析解析】1.1.函数函数 为定义在为定义在R R上的奇函数，上的奇函数，即即 m=1.m=1.答案：答案：1 12.(1)2.(1)由题知由题知f(xf(x)的定义域为的定义域为R,R,所以所以f(xf(x)为奇函数为奇函数.(2)f(x)(2)f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数.证明如下：任取证明如下：任取x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1x x2 2,xx1 1x x2 2,f(xf(x2 2)f(xf(x1 1),f(x),f(x)为为R R上的增函数上的增函数.(3)(3)33x x0 0 3 3x x+1+11 1 0 0 2 2-2-2 0,0,-1-11-1-1,1,即即f(xf(x)的值域为的值域为(-1,1).(-1,1).【拓展提升拓展提升】1.1.判定函数奇偶性要注意的问题判定函数奇偶性要注意的问题(1)(1)坚持坚持“定义域优先定义域优先”的原则的原则如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数不是偶函数.(2)(2)正确利用变形技巧正确利用变形技巧耐心分析耐心分析f(xf(x)和和f(-xf(-x)的关系，必要时可利用的关系，必要时可利用f(x)f(x)f(-xf(-x)=0)=0判定判定.(3)(3)巧用图象的特征巧用图象的特征在解答有图象信息的填空题时，可根据奇函数的图象关于原在解答有图象信息的填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于点对称，偶函数的图象关于y y轴对称，进行快速判定轴对称，进行快速判定.2.2.函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用(1)(1)图象特征的应用图象特征的应用根据函数的奇偶性，可画出函数在定义域中关于原点对称的根据函数的奇偶性，可画出函数在定义域中关于原点对称的区间上的图象区间上的图象.(2)(2)奇函数奇函数f(xf(x)满足满足f(0)=0(f(0)=0(当当0 0属于定义域时属于定义域时)，偶函数，偶函数f(xf(x)满足满足f(xf(x)=)=f(|xf(|x|).|).3.3.函数单调性的判定函数单调性的判定(1)(1)解答题中通常利用定义法进行证明解答题中通常利用定义法进行证明.(2)(2)选择题、填空题中可利用函数图象，也可以利用已知函数选择题、填空题中可利用函数图象，也可以利用已知函数单调性进行分析，例如由单调性进行分析，例如由y=2y=2x x是增函数可知是增函数可知y=2-2y=2-2x x是减函数，是减函数，y=x+2y=x+2x x是增函数等是增函数等.【变式训练变式训练】已知函数已知函数(1)(1)是否存在实数是否存在实数a a使得使得f(xf(x)为奇函数？若存在，求出为奇函数？若存在，求出a a的值并的值并证明；若不存在，说明理由证明；若不存在，说明理由.(2)(2)在在(1)(1)的条件下判断的条件下判断f(xf(x)的单调性，并用定义加以证明的单调性，并用定义加以证明.【解析解析】(1)(1)假设存在假设存在a a使得使得f(xf(x)为奇函数为奇函数.由由f(xf(x)定义域为定义域为R R知知f(0)=0,a=1.f(0)=0,a=1.证明：证明：a=1a=1时，时，a=1a=1时时,f(xf(x)为奇函数为奇函数.(2)f(x)(2)f(x)在在R R上为增函数上为增函数.证明如下：任取证明如下：任取x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1x x2 2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,0,即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),函数函数f(xf(x)在在R R上单调递增上单调递增.指数型复合函数的单调性问题指数型复合函数的单调性问题【典型例题典型例题】1.1.函数函数 的单调递增区间是的单调递增区间是()()A.(1A.(1，+)B.(+)B.(，1)1)C.(1C.(1，3)D.(3)D.(1 1，1)1)2.2.求下列函数的定义域、值域、单调区间：求下列函数的定义域、值域、单调区间：(1)y(1)y4 4x x2 2x+1x+11.(2)y1.(2)y【解析解析】1.1.选选A.A.由定义域为由定义域为R R，令，令t=(x+1)(3-x)=-xt=(x+1)(3-x)=-x2 2+2x+3=+2x+3=-(x-1)-(x-1)2 2+4,+4,此函数在此函数在(-(-，1)1)上为增函数；在上为增函数；在(1,+)(1,+)上为减函数，上为减函数，又又0 1,0 1a1时时,函数函数y=y=a af(xf(x)的单调性与的单调性与f(xf(x)的单调性相同的单调性相同.(2)(2)当当0a10a1时时,函数函数y=y=a af(xf(x)的单调性与的单调性与f(xf(x)的单调性相反的单调性相反.【规范解答规范解答】指数函数性质的综合问题指数函数性质的综合问题(1)(1)求求f(xf(x)的定义域的定义域.(2)(2)判断判断f(xf(x)的奇偶性，并说明理由的奇偶性，并说明理由.(3)(3)求证：求证：f(xf(x)0.0.【典例典例】【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】(1)(1)由由2 2x x1010得得2 2x x220 0，故，故x0 x0，所以函数所以函数f(xf(x)的定义域为的定义域为xR|x0.xR|x0.2 2分分(2)(2)函数函数f(xf(x)是偶函数是偶函数.3 3分分理由如下：理由如下：由由(1)(1)知函数知函数f(xf(x)的定义域关于原点对称，的定义域关于原点对称，4 4分分f(xf(x)为偶函数为偶函数.7 7分分(3)(3)由由(2)(2)知知 8 8分分对于任意对于任意xRxR,都有都有2 2x x+1+10 0，若若x x0 0，则，则2 2x x2 20 0，所以，所以2 2x x1 10 0，于是于是 0 0，即，即f(xf(x)0,0,9 9分分若若x0,x0,则则2 2x x2 20 0，所以，所以2 2x x-10-10,)0,11 11分分综上知：综上知：f(xf(x)0.)0.12 12分分【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.明确求定义域的依据明确求定义域的依据求定义域的依据有：分式的分母不为求定义域的依据有：分式的分母不为0 0，偶次根式的被开方数，偶次根式的被开方数非负，非负，0 0指数幂的底数不为指数幂的底数不为0 0，如本例中的分母不为，如本例中的分母不为0 0，即，即2 2x x-10.-10.2.2.重视常用代数变形方法的应用重视常用代数变形方法的应用如分式通分、因式分解、配方法、分母如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子或分子)有理化等变有理化等变形技巧的应用形技巧的应用.如本例中对如本例中对 的变形用到了通分，对的变形用到了通分，对 的变形用到了分子分母同乘以的变形用到了分子分母同乘以2 2x x.3.3.强化定义域优先的意识强化定义域优先的意识解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为xR|x0 xR|x0，所以第，所以第(3)(3)问要分别证明问要分别证明x x0,x0,x0 0时都有时都有f(xf(x)0.0.【类题试解类题试解】已知函数已知函数f(xf(x)=2)=2ax+2ax+2(a(a为常数为常数)，(1)(1)求函数求函数f(xf(x)的定义域的定义域(2)(2)若若a a0 0，试证明函数，试证明函数f(xf(x)在在R R上是增函数上是增函数.(3)(3)当当a=1a=1时，求函数时，求函数y=y=f(x),xf(x),x(1,31,3的值域的值域【解析解析】(1)(1)函数函数f(xf(x)=2)=2ax+2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域对任意实数都有意义，所以定义域为实数集为实数集R R(2)(2)任取任取x x1 1,x,x2 2RR，且，且x x1 1x x2 2，由由a a0 0得得axax1 1+2+2axax2 2+2.+2.因为因为y=2y=2x x在在R R上是增函数上是增函数.所以有所以有 即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2).).所以函数所以函数f(xf(x)在在R R上是增函数上是增函数.(3)(3)由由(2)(2)知知当当a=1a=1时，时，f(xf(x)=2)=2x+2x+2在在(1,31,3上是增函数上是增函数.所以所以f(-1)f(-1)f(x)f(3)f(x)f(3)，即，即2 2f(x)32.f(x)32.所以函数所以函数f(xf(x)的值域为的值域为(2(2，3232.1.1.若若0 0a a1 1，则函数，则函数f(xf(x)=a)=ax x2 2的图象不经过的图象不经过()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选A.A.画函数画函数y=ay=ax x的图象的图象(过第一、二象限过第一、二象限)，向下平移，向下平移2 2个单位得函数个单位得函数y=ay=ax x2 2的图象的图象.由此可知，函数由此可知，函数f(xf(x)=a)=ax x2 2的的图象不经过第一象限图象不经过第一象限.2.2.已知已知0.50.5m m0.5n n B.mB.m=n=nC.mC.mn D.n D.不能确定不能确定【解析解析】选选A.yA.y=0.5=0.5x x在在R R上是减函数，上是减函数，且且0.50.5m m0.5n.mn.3.f(x)3.f(x)()()|x|x|，xRxR，那么，那么f(xf(x)是是()()A.A.奇函数且在奇函数且在(0(0，)上是增函数上是增函数B.B.偶函数且在偶函数且在(0(0，)上是增函数上是增函数C.C.奇函数且在奇函数且在(0(0，)上是减函数上是减函数D.D.偶函数且在偶函数且在(0(0，)上是减函数上是减函数【解析解析】选选D.D.因为函数因为函数f(xf(x)()()|x|x|图象如图图象如图由图象可知答案显然是由图象可知答案显然是D.D.4.4.函数函数 的定义域为的定义域为_._.【解析解析】由由3 3x x1010得得3 3x x330 0.y=3y=3x x在在R R上是增函数，上是增函数，x0.x0.函数函数 的定义域为的定义域为x|x0.x|x0.答案：答案：x|x0 x|x05.5.函数函数f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，并且当上的奇函数，并且当x(0,+)x(0,+)时，时，f(xf(x)=2)=2x x，那么，那么f(f(1)=_.1)=_.【解析解析】函数函数f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，f(f(1)=1)=f(1)=f(1)=2.2.答案：答案：-2-26.6.解不等式解不等式()()3x+23x+2()()-2x-3-2x-3.【解析解析】原不等式可化为原不等式可化为3x+2-2x-33x+2-2x-3，解得，解得x-1.x-1.原不等式的解集为原不等式的解集为 x|xx|x-1.-1.