概率论与数理统计 — 第一章 概率论的基本概念.doc

授课章节 第一章 概率论的基本概念 目的要求了解随机试验，掌握随机事件及其概率、全概率公式、独立性。重点难点重点：等可能概型，难点：贝叶斯公式。在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：确定性现象和随机现象。确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a、b的矩形，其面积必为ab等。确定性现象的特征是条件完全决定结果，它们之间的数量关系可以用函数加以描述。随机现象：在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”和“反面”情况等等。随机现象的特征是条件不能完全决定结果，它们之间的数量关系无法用函数加以描述。随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科。§1 随机试验我们遇到过各种试验。但在概率论中的试验是一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学试验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。下面举一些试验的例子：E1 ：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。E2 ：将一枚硬币抛三次，观察正面、反面出现的情况。E3 ：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。E4 ：掷一枚骰子，观察出现的点数。E5 ：记录某城市120急救电话台一昼夜接到呼叫的次数。E6 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7 ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。这些试验都具有以下的特点：1、 可以在相同的条件下重复地进行；2、 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3、 进行一次试验之前不能确定哪个结果一定出现或一定不出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。§2 样本空间、随机事件（一）样本空间对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一切可能的结果是已知的，我们把随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。例如，上面的7个随机试验的样本空间分别为：E1 ：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。；E2 ：将一枚硬币抛三次，观察正面、反面出现的情况。；E3 ：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。； E4 ：掷一枚骰子，观察出现的点数。；E5 ：记录某城市120急救电话台一昼夜接到呼叫的次数。；E6 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。；E7 ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。；这里表示最低温度，表示最高温度。并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。（二）随机事件实际上，在进行随机试验时，人们往往关心满足某种条件的那些样本点所组成的子集。例如，若规定某种灯泡的寿命（小时）少于500为次品，即在E5中，我们关心的结果是否发生。显然，是的一个子集。我们就称这样的子集为随机事件。随机事件常用大写字母表示，它是样本空间的子集合。在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点出现时，称事件发生。例如在E4中，如果用表示事件“掷出奇点数”，那么是一个随机事件。由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1，3，5中的任何一个时才称事件A发生了，所以我们把事件A表示为。同样地，若用表示事件“掷出偶点数”，那么B也是一个随机事件，。对于一个试验，在每次试验中必然发生的事件，称为的必然事件；在每次试验中都不发生的事件，称为的不可能事件。例如在中，“掷出的点数不超过6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是的样本空间.而事件“掷出的点数大于6”是不可能事件，这个事件不包括的任何一个可能结果，所以用空集表示。对于一个试验，它的样本空间是的必然事件；空集是不可能事件。必然事件与不可能事件虽已无随机性可言，但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。（三）事件间的关系与运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。下面给出这些关系和运算在概率中的提法。并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义。设试验的样本空间为，而是的子集。1°事件的包含与相等 事件“若事件A发生必然导致事件B发生”称事件B包含事件A，记为或者。若且，则称事件A与事件B相等，记。2°事件的和 事件“与至少有一个发生”称为事件与事件的和，记为。事件发生意味着：或事件发生，或事件发生，或事件与事件都发生。事件的和可以推广到多个事件的情景。设有个事件，定义它们的和事件中至少有一个发生为。3°事件的积 事件“与都发生”称为事件与事件的积事件，记为，也简记为。事件（或）发生意味着事件发生且事件也发生，即与都发生。类似的，可以定义个事件的积事件=都发生。4°事件的差 事件“发生而不发生”称为事件与事件的差事件，记为。5°互不相容事件(互斥) 若事件与事件不能同时发生，即，则称事件与事件是互斥的，或称它们是互不相容的。 若事件中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。6°对立事件 事件“不发生”称为事件的对立事件，记为.和满足：，。事件运算满足的定律 设为事件，则有交换律：；。结合律：；。分配律：；。德·摩根律：；。§3 频率与概率（一） 频率 定义设为任一随机试验，为其中任一事件，在相同条件下，把独立的重复做次，表示事件在这次试验中出现的次数（称为频数）。比值称为事件在这次试验中出现的频率。频率满足具有性质：1° ；2° ；3° 若A1、A2、 两两互斥的事件，则人们在实践中发现：在相同条件下重复进行同一试验，当试验次数很大时，某事件发生的频率具有一定的“稳定性”，就是说其值在某确定的数值上下摆动。一般说，试验次数越大，事件发生的频率就越接近那个确定的数值。因此事件发生的可能性的大小就可以用这个数量指标来描述。（二）概率定义概率的统计定义 设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件的概率，记为P（A），即。概率的这种定义，称为概率的统计定义，统计定义是以试验为基础的，但这并不是说概率取决于试验。值得注意的是事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率。通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。对于任意事件A，由频率的三个性质可得由它产生的概率P（A）也满足这三个性质，下面给出概率的公理化定义。设E是随机试验，S为它的样本空间，给E的每一个事件A赋一个实数值，记做P（A），如果它满足：（1）非负性 。（2）规范性 。（3）可列可加性， 设 A1、A2、 两两互斥的事件，则 则称P（A）为事件A的概率。 概率的性质：（1） .（2） 设 A1、A2、An 两两互斥的事件，则此性质称为有限可加性。特殊的，若，则。（3）设A、B是两个事件，若，则有 ，既有。（4）对于任意事件A，有。（5）（逆事件概率）对于任意事件A，有。（6）（加法公式）对任意两个事件，有.这条性质可以推广到多个事件。设是任意个事件，则有 。它符合“加奇减偶”法则。Example 1.2 设事件的概率分别为 .在下列三种情况下分别求的值：（）与互斥；（）（）解：由性质（5），=.（1） 因为与互斥，所以，=（2） 因为所以=（3） =§4 等可能概型（古典概型）“概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。在上节的概率模型中：E1 ：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况，。E2 ：将一枚硬币抛三次，观察正面、反面出现的情况。E4 ：掷一枚骰子，观察出现的点数，。它们相同的特点是，样本点总数有限，出现每个样本点的机会（概率）相同。我们把具有这种特点的概率模型称为等可能概型或古典概型，一般地定义如下： E是随机试验，S为样本空间，如果满足：1° 样本点总数有限，即，n为有限数。2° 试验时，发生每个样本点的机会相同。称这样的试验模型E为等可能概型或古典概型。下面给出等可能概型中事件概率的计算公式。设等可能概型E有n个样本点，即，A为事件，它包含k个样本点，即。试验时，把发生每个样本点看成事件、，显然，它们是互不相容的且满足：，这样就有，所以，对每一个i ，有 。又，所以。这就是等可能概型中事件概率的计算公式。例1 某企业有员工200人，其中男员工160人，女员工40人，现随机抽取一人参加会议，问抽取到女员工的概率？解：将200人编号1200号，其中男员工1160号，女员工161200号，样本空间为 ，显然这是等可能概型，设A = “抽取到女员工”，则，从而， 。例2 袋中有五只大小形状相同的球，其中三只黑色球，两只白色球。现从袋中随机地取出两只球，求取出的两球都是黑色球的概率。解：将五只球编号1、2、，带圈的为黑球，样本空间S = （1,2）, （1, ）,（1, ）,（1, ）,（2, ）,（2, ）,（2, ）,（, ）, （, ）,（, ），显然这是等可能概型，设A =“取出的两球都是黑色球”，则A = （, ）, （, ）,（, ），即 。在例2中，球的个数只有5只，这使得我们可以将所有的样本点一一地列出，显然，当球的个数很多时这种方法是不可取的。事实上，在计算概率时，我们不需要每个样本点的具体结果，而只需知道样本点总数和事件A包含样本点数即可。再看样本空间中的每个样本点，它正是5个元素（1、2、）取两个元素组合的结果，因此应共有不同的结果，而事件A包含样本点正是三个元素（、）取两个元素组合的结果，因此应共有不同的结果，所以， 。例3 箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。解：从100个产品中任意抽取5个产品，共有种抽取方法，就是说样本空间共有元素。设 事件=“抽得5个产品中恰有一个次品”，则包含样本点数个，故得事件的概率为例4 将n个球随机地放入N（N n）个盒子中，求每个盒子至多有一个球的概率（设盒子的容量不限）。解： 这显然也是等可能问题。先求n个球随机地放入N个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入N个盒子中的任何一个，有N种不同的放法，所以n个球放入N个盒子共有种不同的放法。设事件A =“每个盒子至多有一个球”，下面讨论共有多少种放法。第一个球可以放进N个盒子之一，有N种放法；第二个球只能放进余下的N 1个盒子之一，有N 1种放法；第n个球只能放进余下的个盒子之一，有种放法；所以共有种不同的放法。故得事件的概率为。有许多实际问题与例4具有相同的数学模型。例如，假设每一个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，那么，随机选取n（365）个人，他们的生日各不相同的概率是：，因此，n个人中至少有两个人的生日在同一天的概率是：。经计算有：n 20 23 30 40 50 64 100p0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.从表上可以看出，在一个64人的集体中，“至少有两个人的生日在同一天”这件事的概率与1相差无几。在实际调查中，几乎总是会发生的，大家可以不妨一试。在统计学中，如果这件事没发生，就有相当的理由认为这个集体的人员是刻意构造的。例4 某接待站在一周内曾接待过12位来访者，已知这12位来访者都是在周二和周四进行，问是否可以推断接待日是有规定的。解：假设接待日无规定，那么每位来访者在一周内的任一天上访是等可能的，把12位来访者看成12只球，一周7天理解为7只盒子，则12只球随机放入7只盒子共有712种不同的放法。而事实上，12只球仅放入2只盒子（周二和周四）共有212种不同的放法。这样，12位来访者都是在周二和周四进行的概率是。人们在长期的实践中得出一个实际推断原理“概率很小的事件在一次实验时几乎是不发生的”。由此，可以推断出：“接待日是有规定的”。那么，接待日规定在哪些天呢? 同样的方法可以推断接待日就是周二和周四。§5 条件概率材色（一） 条件概率在实际问题中，常常会遇到这样的问题：在得到某个信息以后（即在已知事件发生的条件下），求事件发生的概率。这时，因为求的概率是在已知发生的条件下，所以称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率，记为。同理称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。例1 袋中有球22只，其颜色和材质分布如下：木质玻璃白色57黑色46从中摸球一只，记A =“摸到木质球”，B =“摸到白色球”，则，如果求在摸到木质球的条件下，该球为白色球的概率，即，同理，。在这个例子中，这个结果具有普遍性，即对任意的事件A和B 有：。它称为条件概率公式。（二）乘法公式由条件概率公式，可得乘法公式： 或 。乘法公式还可以推广到多个事件乘积的概率，如，还有其它顺序的乘法公式。， 例2 袋中有r只红球，t只白球。每次自袋中摸球一只，观察颜色后放回，并同时再放入同颜色的球a只。若在袋中连续摸球四次，试求第一、二次摸到红球，第三、四次摸到白球的概率。解：设Ai =“第i次摸到红球”，i = 1、2、3、4 ，则所求概率为 。（三）全概率公式和贝叶斯公式为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率。首先给出划分的定义。定义：设E是随机试验，S是样本空间，B1、B2、Bn 为E的一组事件，如果（i）B1、B2、Bn 为两两互不相容，即Bi Bj = ，（ii）B1B2Bn = S ，则称B1、B2、Bn 为样本空间S的一个划分。定理1 设E是随机试验，S是样本空间，B1、B2、Bn 为E的一组事件，A为E的事件，则此公式称全概率公式。定理2 设E是随机试验，S是样本空间，B1、B2、Bn 为E的一组事件，A为E的事件，则此公式称贝叶斯公式也称逆概率公式。例3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下数据：元件制造厂次品率提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合放置的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机抽取一只元件，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机抽取一只元件，若已知它是次品，求它是来自每个厂的概率。 解：设A =“取到的是一只次品”，Bi =“取到的是第i厂制造的”，i = 1、2、3 。易知B1、B2、B3是样本空间的一个划分。（1）由全概率公式，（2）由贝叶斯公式由此可见，这只次品来自第2个厂家的概率最大。例4 七人分得三张参观票，采用轮流抓阄的方式分配这张参观票，问这种方式是否公平？解： 设=“第人抓到参观票”(i = 1，2，7)，于是， ，。从这道题，我们可以看到，第一个人、第二个人、 抓到参观票的概率一样。这就是“抓阄不分先后原理”。例5 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“· ”和“”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“· ”时，收报台未必收到信号“· ”，而是分别以0.8和0.2收到“· ”和“”；同样，发出“”时分别以0.9和0.1收到“”和“· ” 。如果收报台收到“· ”，问它没收错的概率？解： 设=“发报台发出信号· ”，=“发报台发出信号 ”，“收报台收到· ” ，“收报台收到 ”；于是，；按贝叶斯公式，有所以没收错的概率为.例6 根据以往的记录，某种诊断癌症的试验有如下效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 ， 。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求。解：，而，所以，即 ，本题的结果表明，虽然，这两个概率都很高。但若将此实验用于普查，则有，即其正确性只有8.7%.如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断。这也说明，若将和搞混了会造成不良的后果。§5 独立性设A，B是两个事件，一般而言，这表示事件B的发生对事件A的发生的概率有影响，只有当时才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影响，这时称事件B独立于事件A ；同理， 称事件A独立于事件B 。如果，由乘法公式得，另一方面，由 可导出 ，即两个事件独立是互称的。定义： 若两事件A，B满足,则称A，B相互独立。若三事件A，B，C 满足：，则称A，B，C相互独立。同理给出更多个事件独立的定义。注意，多个事件中两两独立并不能保证它们相互独立。定理1 若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的。证明：设相互独立，即。因为，所以，即相互独立。同理可证其它。在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件，是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。常见的独立模型有两个：射击模型和有放回的抽样。例1 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.1，乙炮击中敌机的概率为0.2，求敌机被击中的概率？解： 设=甲炮击中敌机，=乙炮击中敌机，那么敌机被击中=；因为与相互独立，所以，有注意：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。例1 某种类型的高射炮击中敌机的概率是0.1，问至少需配备多少门这样的高射炮，才能以99%的把握击中来犯的敌机？解：设至少需配备n门这样的高射炮。再设Ai =“第i门炮击中敌机”，i = 1、2、n，则事件“击中敌机”就是“至少有一门炮击中敌机”，即，这样，本题的问题就是选择最小的n，使。因为即