第四章：图形试题相似.doc

第一部分：基础复习八年级数学(下)第四章：相似图形 一、中考要求：1在丰富的现实情境中，经历对图形相似问题的观察、操作、思考、交流、类比、归纳等过程，进一步发展学生的探索精神、合作意识、以及从图形相似的角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强应用数学的意识2结合现实情境了解线段的比，成比例线段；通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割，并通过图形相似的具体应用，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，加深对数学的人文价值的理解和认识3通过典型实例，了解现实生活中的相似图形4了解相似多边形，经历探索相似多边形性质的过程，知道相似多边形的对应角相等，对应过成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；探索并掌握两个三角形相似的条件5了解图形的位似，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小；利用图形的相似解决一些实际问题二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号所考知识点比率1三角形相似的条件25%2位似图形25%3比例线段23%4相似的应用710%(二)中考热点：1将图形的折叠问题、照镜问题转化为轴对称图形问题及将轴对称问题运用于综合题中是2005年的热点题型之一2将图形的平移和旋转干体的实际问题结合在一起综合考查是2005年的热点题型3运用相似三角形或相似多边形的性质解决实际问题是2005年的热点题型三、中考复习对策图形的相似这部分内容在中考中大致有两部分，一得利用比例的基本性质进行比例变形，通常以填空、选择题为主，在复习中，首先要掌握好比例的基本性质，重视图形的作用，擅于结合图形进行分析运用；二是相似多边形中主要以相似三角形的考查为主，其中包括选择题，填空题，简单的解答题，证明题，这类题一般都是证明相似，比例或等积式，计算线段长或面积，写函数关系式等，一般为811分，要想学好这部分内容不但要学会它的判定方法和性质，而且还要熟悉基本图形，能从复杂的图形中分解出基本图形 考点1：比例基本性质及运用一、考点讲解：1线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫 做比 的后项 注意：（1）针对两条线段，（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数2线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做 a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即争或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项3比例的性质 要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由推出等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc的基本性质不变4黄金分割：在线段AB上有一点C，若AC：AB=BC：AC，则C点就是AB的黄金分割点二、经典剖析： 【考题11】（2004、温州模拟，4分）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是_m. 解：设旗杆的高度为xm，由于在同一时刻旗杆的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其影长的比，可列出= 解得x=30（m） 点拨：水坑相当于一面镜子，在同一时刻，物体的高度与其影长之比等于另一物体的高度与其影长之比。 【考题12】（2004、常州模拟，3分）已知三个数1，2，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是_. 解：设所添的数为x，则从1：2=：x， 求出x=2， 从1：x =：2，求出x=，从1：2 =x：，求出x=， 故这个数为、或 点拨：这是一道开放创新题，由于题中未明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的数的位置有很大的灵活性，本题只要求填一个数，因此在解题时，不要被这种灵活性所困扰，而应避繁就简【考题13】（2004、 南京，3分）在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（ ） A320cm B320m C2000cm D2000m 解：设它的实际长度约为xcm，则1：8000=25：x 解得x=，cm=2000m故它的实际长度为2000m故选D 点拨：地图上的距离与实际距离是成比例的 三、针对性训练：( 分钟) (答案： ) 1AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，这张平面地图的比例尺为_.2已知 =3，那么的值是_-3点C把线段 AB分成两条线段AC和BC （ACBC），如果点C是线段AB的黄金分割点，那么_与_的比叫做黄金比4已知点C是线段AB的黄金分割点，带06 18，那么的近似值是_5两直角边的长分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ） A5：3 B5：4 C5：12 D25：126如果a= 2，b= 9，c= 6，d= 3, 那么（ ） Aa、b、c、d成比例 Ba、c、b、d成比例 C、 a、d、b、c成比例 D、a、c、d、b成比例7已知 x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（ ） A、= B、= C、= D、=8如果点C为线段 AB的黄金分割点，且ACBC，则下列各式不正确的是（ ） AAB：ACAC：BC BACAB C、ACAB DAC061 8AB9创新实验学校设计的矩形花坛的平面图，这个花坛的长为10m，宽为6m 在比例尺为1：50的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少cm？ 在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？ 花坛的长和宽的比为多少？ 你发现这两个比有什么关系？10 以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取 AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（如图l41）（1）求AM、MD的长；（2）你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗？考点2：相似三角形的性质和判定一、考点讲解：1相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比2相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 注：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边4在这部分的学习过程中就注意以下问题：要多观察图形，通过具体问题掌握图形相似的有关知识在学习“探索三角形相似的条件”时要与“探索三角形全等的条件”进行比较，通过类比提高解决问题的能力，注意尽可能多地挖掘题目中的隐含条件二、经典考题剖析： 【考题21】（2004、郸县，3分)下列命题中，正确的是（ ） A所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似 C所有的等边三角形都相似D所有的矩形都相似 解：C 点拨：在这四个答案中只有等边三角形既满足对应角相等，又满足对应边成比例，故选C 【考题22】（2004、海口，3分）如图l42，D、E两点分别在CAB上，且 DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_，使得ADEABC 解：1=B或2=C或AE：AC=AD：AB 点拨：这是一个条件开放题，主要考查相似三角形的判定条件【考题23】（2004、南山）如图l43，D是ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使ACD与ABC相似你添加的条件是_ 解：CDC=ACB或ACD=ABC或AD：AC =AC：AB 三、针对性训练：( 45分钟) (答案：251 ) 1、对于下列命题：（1）所有等腰三角形都相似；（2）有一个底角相等的两个等腰三角形相似；（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似；（4）顶角相等的两个等腰三角形相似其中真命题的个数是（ ） Al个 B2个 C3个 D4个2ABC中，D是AB上的一点，再在 AC上取一点 E，使得ADE与ABC相似，则满足这样条件的E点共有（ ） A0个 B1个 C2个 D无数个3若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21，则其余两边之和为（ ） A24cm B21cm C19cm D9cm4厨房角柜的台面是三角形，如图l44，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ） A B C D 5如图 145，ADBC于D，CEAB 于E，交 AD于F，图中相似三角形的对数是（ ） A3 B4 C5 D66若ABC与ABC相似，ABC的周长为15，ABC的周长为45，则ABC和ABC的面积比为_.7如图146，AD是ABC的中线，ADC=45°，把ADC沿AD对折，点C落在C的位置，则BC和BC之间的数量关系是_.8梯形ABCD中，ABDC，CD=8，AB=12，S梯形ABCD=90，两腰的延长线相交于点M，则SMCD=_9在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B点与C点重合，如图147，则折痕DE的长是多少？10 如图 l48，在yABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC 求证：ABFEAD； 若AB=4，BA=30°，求AE的长； 在、的条件下，若AD=3，求BF的长.考点3：相似多边及位似图形一、考点讲解：1定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形2相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比3位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比4在学习这部分内容时应注意以下问题：（1）要多观察图形，通过具体问题掌握图形相似的有关知识；（2）在学习“探索多边形相似条件”时要与“探索多边形全等的条件”进行比较，通过类比提高解决问题的能力，注意尽可能多地挖掘题目中的隐含的条件。二、经典考题剖析： 【考题31】（2004、宁安，3分）用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ） A原图形的外部 B原图形的内部 C原图形的边上 D任意位置 【考题32】（2004、海口）(1)请在如图149所示的方格纸中，将ABC向上平移3格，再向右平移6格，得A1B1C1，再将A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得A2B1C2，最后将A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得A3B3C2； (2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为：点C( )、点C1( )、点C2( )、解：如图149所示； 此题答案不唯一，若建立如图1410所示的坐标系，答案为0，0；6，3；3，0。三、针对性训练：(45分钟) (答案：241 ) 1、下列说法正确的是（ ） A所有的矩形都是相似形 B所有的正方形都是相似形 C对应角相等的两个多边形相似 D对应边成比例的两个多边形相似2如图1411，有三个矩形，其中是相似形的是（） A甲和乙 B甲和丙 C乙和丙 D甲、乙和丙3如图1412是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，ABCAPQ的相似比是（ ） A3：2 B2：3 C2：5 D3：54如果一个矩形与它的一半矩形是相似形，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ） A：1 B：2 C2：1 Dl：25中华人民共和国国旗上的五个五角星是_图形6已知两个相似三角形的相似比为3：4，其中一个三角形的最短边长4cm，那么另一个三角形的最短边长为_.7有一个角为120°的菱形与一个角为_的菱形相似8如图1413，梯形ABCD中，ADBC，EFBC，将梯形ABCD分成两个相似的梯形，梯形AEFD和梯形EBCF，若AD=3，BC=4，则EF的长为_.9小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm 的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上了一圈宽3 cm 的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”你认为谁说得对，并说明你的理由10 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为 15米，面积为15平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小颖与小明两位同学的力工方法分别为图1414，图1415，图1414中，CDECBA图1415中，BDE。BAC请你利用学过的知识说明哪位同学的加工方法符要求（注：加工损耗忽略不计）11 两个正六边形相似吗？为什么？12 已知四边形ABCD，作一个四边形ABCD，使四边形ABCD四边形ABCD，且相似比为2考点4：相似的应用一、考点讲解：相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对应边成比例来求一些线段的长； 可运用相似三角形的原理来进行测量等二、经典考题剖析： 【考题41】（2004、南京，6分）一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度 解：设河的宽度为xm，则= 解得x=，所以河的宽度是58m点拨：通过画图可以发现两个相似三角形，而四棵树之间的距离是 3×5=15m 三、针对性训练：(20 分钟) (答案： 251) 1在某一时刻，物体的高度与它的影长成比例，同一时刻有人测得一古塔在地面上的影长为100m，同时高为2m的测竿，其影长为5m，那么古塔的高为多少？2在同一块四边形地上有甲、乙两张地图，比例尺分别为l：200和1：500求甲、乙两地图的相似比和面积比3某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得15米长的竹竿影长09米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是24米，留在墙上部分的影高是1.5米，求松树的高度(II)2005年新课标中考题一网打尽【回顾1】（2005、内江，3分）如图 1416，上是 RtABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过P点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条 A1 B2 C3 D4 【回顾2】（2005、江西,10分）有一个测量弹跳力的体育器材，如图1417所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就将EG与EF的差值（厘米）作为此人此次的弹跳成绩.（1）设CE=（厘米），EF=（厘米），求出由和算出的计算公式；（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为厘米，=205厘米，请你计算C同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩。甲组乙组A同学B同学C同学a同学b同学c同学弹跳成绩()3639424434【回顾3】（2005、湖州，4分）如图1418，在等边三角形ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F若=6，则ABC的边长为（ ） A、 B、 C、 D、1【回顾4】（2005、金华，4分）如图1419是跷跷板的示意图支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点 ，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，OAC=20°，横板上下可转动的最大角度(即AOA）是（ ） A80° B60° C40° D20°【回顾5】（3分)小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1420所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是30，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ）A50cm B500cm C60cm D、600cm 【回顾6】（2005、重庆，10分）如图1421，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，APQ与AOB相似？ (3)当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？【回顾7】（2005、衢州）如图，正方形的网格中，1+2+3+4+5等于 ( ) A.175° B180° C210 ° D225°【回顾8】（2005、衢州，14分)如图1423，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N (1)求过A、C两点直线的解析式； (2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围； (3)过点A作M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标 【回顾9】（2005、武汉，5分）已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE。若BDEBCE180°.（1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由【回顾10】（2005、自贡，3分）如图1425，ABC中，DE BC，且AD= DB，DE=4cm，则 BC等于（ ） A14cm B12cm C10cm D8cm【回顾11】（2005、自贡）在相同时刻，物高与影长成正比例，如果高为15米的测竿的影长为25米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ） A2 0米 B18米 C、16米 D、15米【回顾12】（2005、杭州，7分）我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形 现给出下列4对几何图形：两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由(III)2006年中考题预测( 100分 60分钟) 答案(252 ) 一、基础经典题( 36分)(一)选择题(每题4分，共16分)【备考1】下列各组线段中能成比例的是（ ） A3，6，7，9 B2，5，6，8 C3）6，9，18 D1，2，3，4 【备考2】下列说法中正确的是（ ） A两个直角三角形一定相似 B两个等腰三角形一定相似 C两个等腰直角三角形一定相似 D两个等腰梯形一定相似【备考3】两个相似多边形的面积比是9。16，其中小多边形的周长为36 cm，则大多边形的周长为（ ） A54cm B56cm C64cm D48cm【备考4】某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9：4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ） A24米 B54米 C24米或54米 D36米或54米（二）填空题（每题5分，共20分）【备考5】图 1426各组图形中相似的是_（只填序号）【备考6】一个四边形的边长分别为3，4，5，6另一个和它相似的四边形的最小边长为6，那么后一个四边形的周长为_.【备考7】位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于_.【备考8】如图l427，在两个直角三角形中，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2，那么当AB 的长等于 时，使得两个直角三角形相似二、学科内综合题(10分）【备考9】如图l428，RtABC中，有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ三、渗透新课标理念题（每题12分，共 36分）【备考10】针孔成像问题：根据图l429中尺寸(AB AB，可以知道物像AB的长与物AB的长之间的关系是_. 【备考11】如图l43 0，某市要在宽河上修两座桥，一座车行，一座人行，如今又在岸边的D点与车行桥上的E点间要修建一条便捷通道，且= =，市里还计划修建一块草坪FGH，且SABC： SFGH=4：1，那么SAED： SFGH=？人行桥与便捷通道具有怎样的位置关系？五、渗透新课标理念题（每题12分，共36分）【备考12】开放题）如图l431，已知RtABC与 Rt DEF不相似，其中C、F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC分成的两个三角形与ADEF所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案【备考13】(探究题）如图l432，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3的速度向A点运动，设运动的时间为x.当x为何值时，PQBC？当 APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由【备考14】（新情境题）王明同学为了测量河对岸树AB的高度他在河岸边放一面平面镜MN，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A如图l433，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12米，他的身高是174米他这种测量的方法应用了物理学科的什么知识？请简要说明；请你帮他计算出树AB的高度