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第二章损失分布2023/2/25第一页，本课件共有22页n保险中的理赔和损失都是不确定的，而且可保险中的理赔和损失都是不确定的，而且可以用货币去度量，因此常用随机变量去描述以用货币去度量，因此常用随机变量去描述n对于随机变量的把握莫过于获得它的分布对于随机变量的把握莫过于获得它的分布n获得它的分布通常可以用一些统计的方法，获得它的分布通常可以用一些统计的方法，包括分布拟合的方法、包括分布拟合的方法、bayes方法和随机模方法和随机模拟的方法拟的方法2.1 引言引言第二页，本课件共有22页2.2 随机变量的描述随机变量的描述(1)密度函数pdf(2)分布函数cdf(3)矩母函数mgf（moment generation function)(1)和(2)都是我们所熟知的，本节重点介绍矩母函数第三页，本课件共有22页定义定义2.2.1：对一个非负随机变量：对一个非负随机变量X，其矩母函数定义为其矩母函数定义为:随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。如果如果X 和和Y 相互独立，则相互独立，则第四页，本课件共有22页X 的的k 阶矩等于阶矩等于这就是矩母函数的得名由来！这就是矩母函数的得名由来！第五页，本课件共有22页Mgf的性质：的性质：（1）与分布函数一一对应）与分布函数一一对应（2）与）与K阶原点矩的关系阶原点矩的关系（3）相互独立的随机变量的和的矩母函数的求法）相互独立的随机变量的和的矩母函数的求法（4）若）若YaXb，则，则Y的矩母函数为：的矩母函数为：第六页，本课件共有22页例例2.2.1：计算：计算possion分布的矩母函数分布的矩母函数例例2.2.2：计算：计算Gamma分布的矩母函数分布的矩母函数第七页，本课件共有22页保险损失或赔付中一般涉及两个随机变量：保险损失或赔付中一般涉及两个随机变量：索赔次数和每次索赔金额。索赔次数和每次索赔金额。索赔次数用离散的随机变量来刻画，索赔次数用离散的随机变量来刻画，索赔金额用连续的随机变量来刻画。索赔金额用连续的随机变量来刻画。因此需要大家记住一些常见的随机变量的分布因此需要大家记住一些常见的随机变量的分布（包括概率密度函数、均值、方差、矩母函数）。（包括概率密度函数、均值、方差、矩母函数）。见讲义见讲义P5，表，表1.3.1和表和表1.3.2第八页，本课件共有22页2.3 随机变量的和随机变量的和如何计算两个相互独立的随机变量的和的分布方法之一：用卷积公式方法之二：用矩母函数例2.3.1讲义P11，例1.5.2例2.3.2讲义P10，例1.5.1都可以推广到多个随机变量第九页，本课件共有22页2.4 随机和随机和称为随机和，这里为取非负整数值的随机变量为独立同分布的随机序列实际应用，N代表索赔次数，X代表每次索赔额，S代表总索赔额。第十页，本课件共有22页例2.4.1计算上述随机和S的cdf、mgf、数学期望和方差。（详见讲义P12）第十一页，本课件共有22页例2.4.2先掷一颗骰子，再根据骰子所示的点数，将一枚硬币抛掷若干次。以X表示骰子所示点数，Y表示投掷硬币时出现正面的次数，试求Y的数学期望和方差。第十二页，本课件共有22页例2.4.3一名矿工陷进一个有三扇门的矿井中，第一扇门遇到一个隧道，走2个小时可以到达安全区，第二扇门遇到又一个隧道，走3小时会使他回到这矿井中，第三扇门通到又一个隧道，走5小时也会使他回到矿井中。假定这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。第十三页，本课件共有22页2.5混合分布与复合分布2.5.1混合分布：设 为一个随机变量，当 时，N的分布为 ，令 为的 累积分布，为 的pdf，则N的分布列为或者：N的分布称为混合分布。为泊松分布时，N的分布称为混合泊松分布。第十四页，本课件共有22页例2.5.1负二项分布可以看作是Gamma分布与poisson分布的混合（详见讲义P9）第十五页，本课件共有22页如何求混合分布的期望和方差？第十六页，本课件共有22页例2.5.2假设投保车险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为0.11，坏的一类的泊松参数为0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为0.94和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数分布时多少？第十七页，本课件共有22页n例2.5.3Actuaries have modeled auto windshield claim frequencies.They have concluded that the number of windshield claims filed per year per driver follows the Poisson distribution with parameter ，where follows the gamma distribution with mean 3 and variance 3.Calculate the probability that a driver selected at random will file no more than 1 windshield claim next year.第十八页，本课件共有22页 n解：设gamma分布参数为 和 。由gamma分布的均值和方差公式有 解得 ，。由前面的定理知，N服从负二项分布，于是计算得到第十九页，本课件共有22页n2.5.2复合分布：设 和 分别为两个随机变量，与 的分布相同，且Mi与N独立则 的分布称为的复合分布 背景：N表示单位时间内损失事故的发生数表示单位时间内损失事件产生的索赔额表示一年内索赔的总次数 第二十页，本课件共有22页当为poisson分布时的分布称为复合poisson分布注意：复合poisson分布的卷积仍为复合poisson分布第二十一页，本课件共有22页2.6损失分布的拟合一般步骤：（1）充分利用历史数据，获得损失分布的大致轮廓（2）从已知的理论分布中选择一种看上去类似可行的分布函数（3）利用样本估计上述分布中的参数，可以用矩估计、极大似然估计等（4）检验本节详见word文档“第2.6节”第二十二页，本课件共有22页